S8-4磁场的高斯定理和安培环路定理一、磁场的高斯定理(Gausstheorem ofmagnetic field)根据毕奥-萨伐尔定律，电流元的磁场以其为轴对称分布，垂直于电流元的平面内的磁感线是头尾相接的闭合同心圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必等于零，任意闭合曲面的都为零由叠加原理，整个电流回路的磁Idl场中任意闭合曲面的磁通量必定都等于零，这就是磁场的高斯定理BF,B:ds =0
1 §8-4 磁场的高斯定理和安培环路定理 一、磁场的高斯定理(Gauss’theorem of magnetic field) 根据毕奥-萨伐尔定律，电流元的磁场以其为轴对 称分布，垂直于电流元的平面内的磁感线是头尾相 接的闭合同心圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线 的净条数必等于零，任意闭合曲面的都为零。 由叠加原理，整个电流回路的磁 场中任意闭合曲面的磁通量必定都 等于零，这就是磁场的高斯定理。 S B dS = 0 B Idl
一、安培环路定理(Ampere's circulation theorem)1.安培环路定理的表述恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的积分等于此环路所包围的电流代数和的μ.倍f,B.di = μoZI表达式n+1符号规定：若穿过回路L的电n+k流方向与L的环绕方向服从右手关系，则I为正，否则为负。不穿过回路边界所围面积的电流不计在内
2 二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem) 1. 安培环路定理的表述： 恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路 的积分等于此环路所包围的电流代数和的 0倍。 表达式 = i i L B l I d 0 符号规定：若穿过回路L的电 流方向与L的环绕方向服从右手 关系，则I为正，否则为负。 不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。 1 I i I n+1 I n k I + 2 I
2.安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路LB.di = Brdp1NdodBf B-ar-1 do-o51在围绕单根载流导线的dl垂直平面内的任一回路：LdB7B.dl = Brdpdpf.B-ar-1.r-rdp = μol. y
3 2. 安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场 在围绕单根载流导线的 垂直平面内的任一回路： 在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路： I L B d d Bdl = Brd r I r I B l L L 0 0 d 2π d = = I L B d Bdl = Brd r I r I B l L L 0 0 d 2π d = = d l d r
闭合路径L不包围电流，在垂直平面内的任一回路1f, B.dI = J, B. di + [, B. dlOLMolL[β+(-β)]= 02元L2围绕单根载流导线的任一回路L：对L，每个线元dl以过垂直导线平面作参考，分解为分量dl,和垂直于该平面的分量dl，有B.dl=dli·B=0(df, B.di = f. B.dln: f, B. d/ = f,B. dl, = μol证明步骤同上
4 I L1 L2 闭合路径L不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路： = + 1 2 d d d L L L B l B l B l [ ( )] 0 2π 0 = + − = I 围绕单根载流导线的任一回路 L： 对L，每个线元 以过垂直导线平面作参考，分 解为分量 和垂直于该平面的分量 ，有 l d d // l l ⊥ d ⊥ ⊥ = + L L L B l B l B l d d d // // d = 0 l ⊥ B B l B l I L L // 0 // d = d = 证明步骤同上
围绕多根载流导线的任一回路L：设I,I,,...,I,电流过回路,In+1,In+2,··,In+k电流不穿过回路L。令 B,B,,..,B,+ 分别为单根导线产生的磁场，则有f, B, - d/ = μol, .... f Br+ d/ = 0所有电流的总场f, B, dl = μgin., f, B.k - di = o穿过回路f, B.di = μoZl的电流JL任意回路
5 围绕多根载流导线的任一回路 L： n I ,I , ,I 1 2 n n n k I I I + + + , , , 设 电流过回路， 1 2 电流不穿过回路L。令 分别为单根 导线产生的磁场，则有 B B Bn+k , , , 1 2 d , , 1 0 1 = B l I L d , , 0 = n L n B l I 1 d = 0 + L n B l d = 0 + L n k B l = i i L B l I d 0 所有电流的总场 穿过回路 的电流 任意回路
B.di = μ.I推广到一般情形：在恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的积分等于此闭合环路所包围的电流代数和的u倍。这个结论就是安培环路定理安培环路定理的存在说明磁场不是保守场，不存在标量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十分重要的性质。安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定对称性的恒磁场问题，就像用高斯定理来处理电荷分布具有一定对称性的静电场问题一样
6 安培环路定理的存在说明磁场不是保守场，不存 在标量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十 分重要的性质。 安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定对 称性的恒磁场问题，就像用高斯定理来处理电荷分 布具有一定对称性的静电场问题一样。 在恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的 积分等于此闭合环路所包围的电流代数和的0倍。 这个结论就是安培环路定理。 推广到一般情形： = i i L B l I d 0
例1求载流无限长直螺线管内任一点的磁场解一个单位长度上有n匝线圈的无限长直螺B线管由于是密绕，所以00000000每匝视为圆线圈。由对称性分析场结构：1.磁场只有与轴平行的水平分量；2.因为是无限长，在与轴等距离的平行线上磁感应强度相等
7 例1 求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。 由对称性分析场结构： B 1. 磁场只有与轴平行 的水平分量； 2. 因为是无限长，在 与轴等距离的平行线 上磁感应强度相等。 解 一个单位长度上有 n匝线圈的无限长直螺 线管由于是密绕， 所以 每匝视为圆线圈。 × ×
a福取矩形回路L,ab 边在轴上，cd边与轴平行，另b两个边bc、da垂直于轴。B根据安培环路定理，有f, B.di = B.di +[. B.di +[ B.di +I. B.diJabJdacd无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为f B.di = Blab = Bab = μon abI :. B = Llonl其方向与电流满足右手螺旋法则
8 取矩形回路L, ab 边在 轴上，cd 边与轴平行，另 两个边bc、da 垂直于轴。 根据安培环路定理，有 = + + + L a b b c c d d a B l B l B l B l B l d d d d d B nI = 0 其方向与电流满足右手螺旋法则。 无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零， 因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为 c b a d B B B ab Bab n ab I 0 dl = = ×