《热学热力学与统计物理》课程教学资源（教材讲义，下）各章习题与答案

221 习题与答案 第一章习题 1．在城市的某街区 A 住着一位年轻人，B 处住着他的女友，B 在 A 的东边 m 个街区，在 A 的北边 n 个街区（例如，当 n=3, m=4 时如图 1.1 所示）。年轻人步行到他女友的住处，所走 的路线总是一步一步更接近她，从不走回头路。试问年轻人从 A 到 B 共有多少种不同的行 走路线？ 图 1.1 【答：共有 ( )! ! ! m n m n + 种行走路线】 2．（1）若左右各有一个方格，一个球可能进入左边格子，也可能进入右边格子，概率各为 1 2 。证明 N 个球中有 N1 个进入左边格子，其余 N N− 1 个进入右边格子的概率为 ( ) ( ) 1 1 1 1 ! 2 ! ! N N P N N N N = − 若一个球进入左边格子的概率为 p，进入右边格子的概率为 q p = −1 ，证明 N 个球中有 N1 个进入左边格子，其余 N N− 1 个进入右边格子的概率为 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ! ! ! N N N N P N p q N N N − = − （2）证明： ( ) 1 1 0 1 N N P N =  = ； （3）证明： ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 0 , N N N N P N Np N N Npq = = = − =  。 3．一个醉汉从一路灯处开始行走，每一步走过长为 l 的距离，每一步的方向随机地取东南 西北四个方向中的一个。问醉汉在走了三步以后仍处于以路灯为中心、半径为 2l 的圆内的 概率是多少？

222 【答： ( ) 9 3 16 P = 】 4．证明在 N p 1 1 与 的情形下，二项式分布 ( ) ( ) ! ! ! N n N n P n p q n N n − = − 可近似用泊松 分布 ( ) ! n n n P n e n − = 来表示，式中 n Np = 。 5．证明在 N 1 及 p、q 相差不大的情形下，二项式分布 ( ) ( ) ! ! ! N n N n P n p q n N n − = − 可近 似用高斯分布 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 exp 2 2 n n P n  n n   − = −        来表示，式中 n Np = 为 n 的平均值， ( ) ( ) 2 2  = − = n n n Npq 为 ( ) 2 n n − 的平均值。 6．已知质量为 m、弹性常数为 k 的一维经典谐振子的能量为 E，但它的位置是不确定的。 试求谐振子的位置在 x x dx + 之间的概率 p x dx ( ) 。 【答： ( ) 1 2 2 1 2 k p x dx dx  E kx   =     − 】 7 ．设一维自由粒子的运动范围为 x  0 ,在 x x dx + 间隔内出现粒子的概率为 ( ) x x dx Ce dx   − = ，其中   0, C 为归一化常数，求 （1） ( ) 2 n x x 及  ； （2）若 2 y x = ，试求 n y 。 【答：（1） ( ) 2 2 ! 1 , n n n x x   =  = ；（2） 2 1 1 2 n n n y    =  +     】 第二章习题 1．一个质量为 m 的粒子在一个边长为 L 的立方体的盒子中作自由运动，粒子的能量

223 ( ) 2 2 2 h n n mL  = ，式中 h 为普朗克常数， 2 2 2 x y z n n n n = + + ，量子数 , , 0, 1, 2, x y z n n n =   。 试分别给出当 n = 0,1,2,3,4 时能级  (n) 所包含的量子态 (n n n x y z , , ) 及简并度 (n) 。 【答：      (0 1, 1 6 , 2 12, 3 8 , 4 6 ) = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 】 2．一个由 N 个可分辩的近独立的三维谐振子组成的系统，其个体量子态用 量子数 (n n n x y z , , ) 标记，态 (n n n x y z , , ) 的能量为 ( ) 3 2 x y z   n n n n h   = + + +     式 中 h 为普朗克常数，  为谐振子的振动频率， x y z n n n n = + + ， 量 子 数 , , 0,1,2, x y z n n n = 。写出谐振子个体能级及简并度的表达式；设达到平衡态时系统的温 度为 T，求系统的内能、熵和自由能。 【 答 ： ( ) ( ) ( )( ) 3 1 , 1 2 2 2    n n h n n n   = + = + +     ， 1 1 3 , 2 1 h kT U Nh e     = +     − ( ) ( ) 3 ln 1 , 3 ln 1 2 1 h h kT kT h kT h kT h S Nk e F NkT e kT e      − −     = − − = − +         −   】 3．试求在极端相对论情形下，分子的能量和动量的关系为  = pc 的玻尔兹曼理想气体的内 能、熵、定容热容量、自由能和压强。 【答： 8 3 , ln 3ln 4 , 3 V V kT U NkT S Nk C Nk N hc        = = + + =             3 ln 8 , V kT N F NkT e p kT N hc V      = − =           】 4．被吸附在固体表面上的单原子分子能在表面上自由运动，可把它看成二维理想气体。试 求分子的平均速率、最概然速率和方均根速率。 【答： 2 , , 2 P S kT kT kT v v v m m m  = = = 】 5．设质量为 m 的单原子分子组成的理想气体处于温度为 T 的热力学平衡态，从气体中任取 两个分子，求其总能量在    + d 范围内的概率    ( )d 和平均能量的表达式

224 【答： ( ) ( ) 3 1 2 , 3 2 kT d kT e d kT        − − = = 】 6．用 1 2 3 , , , N q q q 表示 3N 个自由度系统状态的广义坐标，相应于坐标 i q 的广义力是 Xi ， 若系统的哈密顿量是 H ，则 i i H X q  = −  ，试证明维里定理 3 1 3 N i i i q X NkT =  = − 其中 T 是气体的温度。 特别是当具有相互作用势能为 ( ) 1 2 3 , , , U q q q N 的 N 个分子组成的气体被封闭在体积 为 V 的容器中时，维里定理取如下形式 3 1 1 3 N i i i U pV NkT q = q  = −   其中 p 是气体分子施加于容器壁的压强。这里 1 2 3 , , , N q q q 是确定 N 个分子位置的笛卡儿 坐标。 7．设一维振子系统处于温度为 T 的平衡态，振子的势能 4 u ax a = , 为常数，试根据维里定 律和能量均分定理求振子的平均能量。 【答： 3 4  = kT 】 8．在狭义相对论中，质量为 m 质点的动量和能量分别为 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , , 1 1 i i mv p i x y z v c mc v c  = = − = − 其中 c 是光速， 2 2 2 x y z v v v v = + + 是质点的速率。证明由麦克斯韦－玻尔兹曼分布给出 ( ) 2 2 1 1 2 2 1 mv kT v c = − 9 ． 假 设 一个角动量为 J 的 磁 矩 沿磁场 H 方向的分量可取任意一个分立值

225 ( , 1, , 1, ) B g m m J J J J  = − − + − ，其中 J 为角动量量子数，m 为磁量子数，g 为旋磁比。 磁矩之间的相互作用可以忽略不计。试计算单位体积内含有 n 个磁矩的物体的磁化强度 M； 计算在高温和弱磁场情形下 ( ) B g J kT  的 磁 化 率  。考察 当 1 2 J = 和 0 , 0 B B J g J →  → →    而 时的磁化率  。 【答： B B J g JH M ng JB kT     =     ，其中 ( ) 2 1 2 1 1 coth coth 2 2 2 2 J J J x B x x J J J J + +     = −         在高温和弱磁场下 ( ) 2 2 2 2 1 1 , 4 3 2 B B J J g ng n J kT kT     + = = = 当 时， ；当 J →  ， 2 0 0 3 B B o n g J kT      → → = 及 时， 】 10．考虑一个由 N N( 1) 个可分辩的、不能自由运动的、无相互作用的原子组成的系统， 每个原子可以占据两个非简并能级：0 和   0， E N 为每个原子的平均能量。 （1） E N 的最大可能值是多少？（注意：系统不一定处于平衡态）。如果系统处于热平衡 态， E N 可达到的最大值是多少？ （2）在热平衡下，由 E N 来表示每个原子的熵 S N 。 【答：（1） ( )max E N =  ，若系统处于平衡态 ( )max 2 E N  = ； （2） ln ln 1 ln E E S E E N N k N N N             = − − − −                 】 11．设粒子的能量和动量间的关系为 s  = p （  为常数，s＝1,2； ( ) 1 2 2 2 2 1 2 n p p p p = + + + ） 的粒子组成的 n 维理想气体，不论这些粒子是服从玻尔兹曼分布、玻色分布还是费米分布， 证明气体的内能 U 和压强 p 都满足同样的关系： s pV U n = ，其中 V 为气体的体积。 12．一分子晶体由 N 个同核双原子分子 A2 组成，每个分子可以在它所在的格点上自由转动， 转动惯量为 I，每个分子的两个核作相对振动，振动的圆频率为  ，设 A 原子核的自旋为 零。试求晶体的定容热容量 CV 与晶体温度 T 之间的关系

226 【答： 2 2 1 ln 4sinh 2 v r C C C Nk N Z V V V r kT T kT          = + = −          ，其中转动配分函数 ( ) ( ) 2 0,2,4, 2 1 exp 1 2 r l Z l l l I  =   = + − +      】 13．证明在玻尔兹曼统计中，熵 S 可表示为 ln s s s S k f f = − +  常数，式中 l s l a f  = 是每 个量子态上的平均粒子数，常数 = Nk N ln ，N 为系统的粒子数，求和遍及单粒子的所有量 子态 s。 14 ． 设 一 个 双原子分子具有电偶极矩 0 p ， 在 电 场 E 中 分 子 的 转 动 能 2 2 2 0 1 1 cos 2 sin r p p p E I        = + −     ，其中  为电偶极矩与电场的夹角，已知分子的数密 度为 n，求转动配分函数 Z r 和电极化强度 P。 【答： 2 0 0 0 0 0 2 sinh , coth r I kT kT p E p E Z P np p E kT kT p E       = = −             】 15．N 个弱耦合的粒子服从玻尔兹曼分布，每个粒子可处于能量为 −     , 0, ( 0) 3 个能级 中的任何一个，设系统与温度为 T 的大热源接触，试计算： （1） T=0K 时系统的熵； （2） 系统熵的极大值 max S 和极小值 min S ； （3） 系统的配分函数 Z 和内能 U. 【答：（1）S＝0；（2） max min S Nk S = = ln3 0 ， ； （3） (1 2cosh ) 2 sinh ! 1 2cosh N N Z U N     + = = − + ， 】 16．一系统由两个全同粒子组成，每个粒子可有三个量子态，其能量分别是 0, 2   和 。系 统与温度为 T 的大热源接触，就下列诸情况写出系统的配分函数。 （1）粒子可分辩，服从经典统计； （2）粒子不可分辩，服从玻尔兹曼统计； （3）粒子服从费米－狄拉克统计；

227 （4）粒子服从玻色－爱因斯坦统计。 【答：（1） ( ) 2 2 Z e e 1 − −   = + + ；（2） ( ) 2 1 2 1 2! Z e e − −   = + + ； （3） 2 3 Z e e e − − −    = + + ；（4） 2 3 4 Z e e e e 1 2 − − − −     = + + + + 】 17．一系统由两个全同粒子组成，每个粒子可占据能级 , 0,1, 2 n   = = n n 中的任何一个， 最低能级 0  = 0 是双重简并的。系统与温度为 T 的大热源接触，就下列诸情况写出系统的 配分函数和能量。 （1）粒子服从费米－狄拉克统计； （2）粒子服从玻色－爱因斯坦统计； （3）粒子不可分辩，服从经典统计； 【答：（1） ( ) 2 3 2 Z e e e E e e e 1 2 2 , 2 4 3 Z − − − − − −        = + + + = + + ； （2） ( ) 2 3 4 2 3 Z e e e e E e e e e 3 2 3 , 2 6 3 4 Z − − − − − − − −          = + + + + = + + + ； （3） ( ) 2 3 4 2 3 2 Z e e e e E e e e e 4 4 5 2 , 2 5 3 2 Z − − − − − − − −          = + + + + = + + + 】 18．一拉链有 N 节，只能从一端打开，即只有前面的 s −1 个节相继打开后，第 s 节才能打 开。每节闭合时能量为 0，打开时能量为  。这是一种表示两股不交缠 DNA 分子的简单模 型。试求： （1）拉链的配分函数； （2）求当 N 很大，   kT 时开节的平均数，T 为拉链的温度。 【答：（1） ( ) ( ) 1 1 exp 1 exp N kT Z kT     + − −    = − − ；（2）当 N 很大， 1 1 kT kT s e    = − 时 】 19．n 维宇宙。在我们这个三维宇宙中由热力学与统计物理得到下列熟知的结果： （1）黑体辐射的能量密度以 T  形式依赖于温度 T，其中  = 4 ； （2）在固体的德拜模型中，低温下的比热容以 T  形式依赖于温度 T，其中  = 3 ； （3）单原子分子理想气体的定压比热容与定容比热容的比值 5 3  = 。 试导出在 n 维宇宙中相应的指数    , 和 各是多少？ 【答：（1）  = +n 1 ；（2）  = n ；（3） n 2 n  + = 】

228 20．液体自由表面上的表面张力波具有色散关系 3  2 k  = ，式中 与k 分别是液体表面 波的圆频率与波数，   与 分别为液体的表面张力系数与密度，这一关系对波长大于原子间 距的那些波成立。试计算热激发表面波对比热的贡献，并讨论它的低温极限。已知积分 ( ) 4 3 7 0 3 1 1 7 1.685 3 1 x l x dx e l   = =  = −   【答： ( ) 7 3 4 3 7 3 1 D D kT B C a T T T e   = − − ，其中 2 3 1 3 4 2 8 , 3 D A N B A              = =             ， ( ) 4 4 3 3 0 1 D kT x k x a T Bk dx e    =     −  ； 在低温时， 2 4 3 3 4 3 0 , , 1.31 0 D D Ak k T x C T kT         → = →   →         时 】 21．一系统由 N 个质量为 m 的近独立粒子组成，在高温下达到热平衡，经典统计适用，粒 子绕其平衡位置作一维运动，就下列情况求系统的热容量： （1）恢复力和位移 x 成正比； （2）恢复力和位移 x 的立方成正比； 不必具体计算积分，利用维里定理即可算出结果。 【答：（1） C Nk V = ；（2） 3 4 C Nk V = 】 22．容积为 V1 的容器内有温度为 T、压强为 1 p 、分子数为 N 的理想气体，分子的能量可表 示为 ( ) 1 2 2 2 2 E p p p i x y z i m = + + +  其中 i  表示分子的内部能级。 （1）求自由能 F kT Z Z = − ln , 为气体的配分函数，以显式表示 F 对 N V T , , 的依赖关系； （2）现考虑另一个容器，体积为 V2 ，温度也为 T，含有相同个数的同种气体分子，压强为 2 p ，求两个容器内气体的总熵（用 1 2 V V T N , , , 表示）； （3）两个容器连接起来，使气体无功混合，求气体的熵变。特别检验在 V V 1 2 = （即 1 2 p p = ） 时你的答案是否有意义。 【答：（1） 2 0 0 3 2 ln ln ln 1 , 2 i i V mkT F NkT z z e N h      − = − + + + =          ；

229 （2） 1 2 0 1 2 0 0 0 2 3 2 5 ln 2 ln ln , ln 2 2 V V mkT z S S S Nk s s z N h           = + = + + + = −            ； （3） 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ln 2 ln 2 2 V V p p S S S Nk Nk VV p p + +  = − = =  ，当 1 2 V V S =  = 时， 0 】 23．（1）质量为 m 的 N 个粒子组成的理想气体，体积为 V，温度为 T，设粒子是不可分辩 的。用经典近似下的配分函数求化学势  ； （2）质量为 m 的 N 个粒子被面积为 A 的表面吸收，形成温度为 T 的二维气体，粒子的能 量为 2 0 2 p m   = − ，其中 ( ) 0 , , x y p p p =  为束缚能，计算该气体的化学势  ； （3）温度为 T 时，被吸附的粒子和环境的气体达到平衡，这意味着它们的化学势之间有一 关系，利用这一关系求单位面积吸附的平均粒子数 n，设环境气体的压强为 p。 【答：（1） 3 2 3 2 ln ln 2 V mkT kT N h       = − +         ；（2） 0 2 2 2 ln ln A mkT kT N h kT        = − + +          （3）平衡时 0 1 2 2 3 2 , 2 N p h kT n e A kT mkT        = = =     】 24．考虑由两个不同原子组成的双原子分子理想气体，分子对通过质心并垂直于两原子轴的 转动惯量为 I。对于下述两种极限情况考虑转动对比热容和摩尔熵的贡献。 （1） 2 kT I ； （2） 2 kT I ，计算不为零的最低阶的贡献。 【答：（1） 2 2 , ln 1 V IkT C Nk S Nk   = = +     ； （2） ( ) 4 2 2 2 2 2 2 3 3 1 3 0 IkT IkT IkT C Nk e S Nk e Nk e V IkT IkT IkT − − −   = = +  →     ， 】 25．由 N 个自旋为 1 2 的粒子组成的理想气体，体积为 V，粒子的态矢量为 i j , , ，其中 i 是主量子数，j 是轨道角动量量子数，  是自旋量子数，可取 1 2  。粒子的能级 i  只依赖于 量子数 i，因而能级是简并的，简并度为 i 。假设每个态最多只能有一个粒子占据，并且 i 和 j 都相同的量子态 1 1 , , , , 2 2 i j i j 和 − 不能同时被占据，试导出处于平衡态时能级 i  上的

230 粒子数 i a 。 【答： 2 i i i a e    + = + 】 26．一个一维链由 n n( 1) 个节组成，当节和链平行时，节的长度为 a ，当节和链垂直时， 长度为零，每个节只有这两个非简并的状态，平衡时链的长度为 nx。 （1）用 x 表示链的熵； （2）设铰点可以自由活动，求温度 T、张力 F 与长度 x 之间的关系； （3）在什么情况下，你的结论将给出胡克定律？ 【答：（1） ( ) ( ) ! ln ! ! n S k nx nx n a a = − ；（2） ( ) ( ) exp 1 exp Fa na kT nx Fa kT = + ； （3）高温时 ( 0 0 ) 2 4 , , , 2 kT na Fa kT F L L L nx L na  − = = 式中 】 27．设一介质的折射率 n 依赖于辐射频率  ，辐射的波数为 ( ) ( ) 2 q n n c c   = =   ，试证 明这种色散介质中的普朗克热辐射定律为 ( ) ( ) ( ) 1 3 3 3 8 ln , 1 ln h kT n h d n u T e c d         −       = −     28．由于热激发，在固体中存在着色散关系为 n  = Aq 的波动，其中  为圆频率，q 为波数， A 和 n 为常数。证明在低温下这种波对固体的热容量贡献正比于 3 n T 。 （提示：仿照德拜模型求固体热容量的方法。） 29．仿照三维德拜模型，讨论一维和二维固体的热容量。 【答： 1 1 2 2 3 , 6 C NkD C NkD V V T T       = =         ，式中 ( ) ( ) 1 2 0 1 1 n y x n n y y e D x dy x e + = −  ， ( 1, 2 , ) D n k  =  = 为德拜温度】 30．N 个原子有规则地排列成理想晶体，如果从点阵上取下 n 个原子 (1  n N) 填到点阵 间隙处，它就变成了带有 n 个夫仑克尔（Frenkel）型缺陷的非理想晶体。原子可进入的间隙 位置的个数 N 和 N 具有相同的量级，原子在点阵上和间隙位置上的能量分别为 1 2   和 ，以 2 1 w = −    0 表示从点阵上移走一个原子填到间隙位置所需的能量