
221 习题与答案 第一章习题 1.在城市的某街区 A 住着一位年轻人,B 处住着他的女友,B 在 A 的东边 m 个街区,在 A 的北边 n 个街区(例如,当 n=3, m=4 时如图 1.1 所示)。年轻人步行到他女友的住处,所走 的路线总是一步一步更接近她,从不走回头路。试问年轻人从 A 到 B 共有多少种不同的行 走路线? 图 1.1 【答:共有 ( )! ! ! m n m n + 种行走路线】 2.(1)若左右各有一个方格,一个球可能进入左边格子,也可能进入右边格子,概率各为 1 2 。证明 N 个球中有 N1 个进入左边格子,其余 N N− 1 个进入右边格子的概率为 ( ) ( ) 1 1 1 1 ! 2 ! ! N N P N N N N = − 若一个球进入左边格子的概率为 p,进入右边格子的概率为 q p = −1 ,证明 N 个球中有 N1 个进入左边格子,其余 N N− 1 个进入右边格子的概率为 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ! ! ! N N N N P N p q N N N − = − (2)证明: ( ) 1 1 0 1 N N P N = = ; (3)证明: ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 1 0 , N N N N P N Np N N Npq = = = − = 。 3.一个醉汉从一路灯处开始行走,每一步走过长为 l 的距离,每一步的方向随机地取东南 西北四个方向中的一个。问醉汉在走了三步以后仍处于以路灯为中心、半径为 2l 的圆内的 概率是多少?

222 【答: ( ) 9 3 16 P = 】 4.证明在 N p 1 1 与 的情形下,二项式分布 ( ) ( ) ! ! ! N n N n P n p q n N n − = − 可近似用泊松 分布 ( ) ! n n n P n e n − = 来表示,式中 n Np = 。 5.证明在 N 1 及 p、q 相差不大的情形下,二项式分布 ( ) ( ) ! ! ! N n N n P n p q n N n − = − 可近 似用高斯分布 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 exp 2 2 n n P n n n − = − 来表示,式中 n Np = 为 n 的平均值, ( ) ( ) 2 2 = − = n n n Npq 为 ( ) 2 n n − 的平均值。 6.已知质量为 m、弹性常数为 k 的一维经典谐振子的能量为 E,但它的位置是不确定的。 试求谐振子的位置在 x x dx + 之间的概率 p x dx ( ) 。 【答: ( ) 1 2 2 1 2 k p x dx dx E kx = − 】 7 .设一维自由粒子的运动范围为 x 0 ,在 x x dx + 间隔内出现粒子的概率为 ( ) x x dx Ce dx − = ,其中 0, C 为归一化常数,求 (1) ( ) 2 n x x 及 ; (2)若 2 y x = ,试求 n y 。 【答:(1) ( ) 2 2 ! 1 , n n n x x = = ;(2) 2 1 1 2 n n n y = + 】 第二章习题 1.一个质量为 m 的粒子在一个边长为 L 的立方体的盒子中作自由运动,粒子的能量

223 ( ) 2 2 2 h n n mL = ,式中 h 为普朗克常数, 2 2 2 x y z n n n n = + + ,量子数 , , 0, 1, 2, x y z n n n = 。 试分别给出当 n = 0,1,2,3,4 时能级 (n) 所包含的量子态 (n n n x y z , , ) 及简并度 (n) 。 【答: (0 1, 1 6 , 2 12, 3 8 , 4 6 ) = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 】 2.一个由 N 个可分辩的近独立的三维谐振子组成的系统,其个体量子态用 量子数 (n n n x y z , , ) 标记,态 (n n n x y z , , ) 的能量为 ( ) 3 2 x y z n n n n h = + + + 式 中 h 为普朗克常数, 为谐振子的振动频率, x y z n n n n = + + , 量 子 数 , , 0,1,2, x y z n n n = 。写出谐振子个体能级及简并度的表达式;设达到平衡态时系统的温 度为 T,求系统的内能、熵和自由能。 【 答 : ( ) ( ) ( )( ) 3 1 , 1 2 2 2 n n h n n n = + = + + , 1 1 3 , 2 1 h kT U Nh e = + − ( ) ( ) 3 ln 1 , 3 ln 1 2 1 h h kT kT h kT h kT h S Nk e F NkT e kT e − − = − − = − + − 】 3.试求在极端相对论情形下,分子的能量和动量的关系为 = pc 的玻尔兹曼理想气体的内 能、熵、定容热容量、自由能和压强。 【答: 8 3 , ln 3ln 4 , 3 V V kT U NkT S Nk C Nk N hc = = + + = 3 ln 8 , V kT N F NkT e p kT N hc V = − = 】 4.被吸附在固体表面上的单原子分子能在表面上自由运动,可把它看成二维理想气体。试 求分子的平均速率、最概然速率和方均根速率。 【答: 2 , , 2 P S kT kT kT v v v m m m = = = 】 5.设质量为 m 的单原子分子组成的理想气体处于温度为 T 的热力学平衡态,从气体中任取 两个分子,求其总能量在 + d 范围内的概率 ( )d 和平均能量的表达式

224 【答: ( ) ( ) 3 1 2 , 3 2 kT d kT e d kT − − = = 】 6.用 1 2 3 , , , N q q q 表示 3N 个自由度系统状态的广义坐标,相应于坐标 i q 的广义力是 Xi , 若系统的哈密顿量是 H ,则 i i H X q = − ,试证明维里定理 3 1 3 N i i i q X NkT = = − 其中 T 是气体的温度。 特别是当具有相互作用势能为 ( ) 1 2 3 , , , U q q q N 的 N 个分子组成的气体被封闭在体积 为 V 的容器中时,维里定理取如下形式 3 1 1 3 N i i i U pV NkT q = q = − 其中 p 是气体分子施加于容器壁的压强。这里 1 2 3 , , , N q q q 是确定 N 个分子位置的笛卡儿 坐标。 7.设一维振子系统处于温度为 T 的平衡态,振子的势能 4 u ax a = , 为常数,试根据维里定 律和能量均分定理求振子的平均能量。 【答: 3 4 = kT 】 8.在狭义相对论中,质量为 m 质点的动量和能量分别为 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , , 1 1 i i mv p i x y z v c mc v c = = − = − 其中 c 是光速, 2 2 2 x y z v v v v = + + 是质点的速率。证明由麦克斯韦-玻尔兹曼分布给出 ( ) 2 2 1 1 2 2 1 mv kT v c = − 9 . 假 设 一个角动量为 J 的 磁 矩 沿磁场 H 方向的分量可取任意一个分立值

225 ( , 1, , 1, ) B g m m J J J J = − − + − ,其中 J 为角动量量子数,m 为磁量子数,g 为旋磁比。 磁矩之间的相互作用可以忽略不计。试计算单位体积内含有 n 个磁矩的物体的磁化强度 M; 计算在高温和弱磁场情形下 ( ) B g J kT 的 磁 化 率 。考察 当 1 2 J = 和 0 , 0 B B J g J → → → 而 时的磁化率 。 【答: B B J g JH M ng JB kT = ,其中 ( ) 2 1 2 1 1 coth coth 2 2 2 2 J J J x B x x J J J J + + = − 在高温和弱磁场下 ( ) 2 2 2 2 1 1 , 4 3 2 B B J J g ng n J kT kT + = = = 当 时, ;当 J → , 2 0 0 3 B B o n g J kT → → = 及 时, 】 10.考虑一个由 N N( 1) 个可分辩的、不能自由运动的、无相互作用的原子组成的系统, 每个原子可以占据两个非简并能级:0 和 0, E N 为每个原子的平均能量。 (1) E N 的最大可能值是多少?(注意:系统不一定处于平衡态)。如果系统处于热平衡 态, E N 可达到的最大值是多少? (2)在热平衡下,由 E N 来表示每个原子的熵 S N 。 【答:(1) ( )max E N = ,若系统处于平衡态 ( )max 2 E N = ; (2) ln ln 1 ln E E S E E N N k N N N = − − − − 】 11.设粒子的能量和动量间的关系为 s = p ( 为常数,s=1,2; ( ) 1 2 2 2 2 1 2 n p p p p = + + + ) 的粒子组成的 n 维理想气体,不论这些粒子是服从玻尔兹曼分布、玻色分布还是费米分布, 证明气体的内能 U 和压强 p 都满足同样的关系: s pV U n = ,其中 V 为气体的体积。 12.一分子晶体由 N 个同核双原子分子 A2 组成,每个分子可以在它所在的格点上自由转动, 转动惯量为 I,每个分子的两个核作相对振动,振动的圆频率为 ,设 A 原子核的自旋为 零。试求晶体的定容热容量 CV 与晶体温度 T 之间的关系

226 【答: 2 2 1 ln 4sinh 2 v r C C C Nk N Z V V V r kT T kT = + = − ,其中转动配分函数 ( ) ( ) 2 0,2,4, 2 1 exp 1 2 r l Z l l l I = = + − + 】 13.证明在玻尔兹曼统计中,熵 S 可表示为 ln s s s S k f f = − + 常数,式中 l s l a f = 是每 个量子态上的平均粒子数,常数 = Nk N ln ,N 为系统的粒子数,求和遍及单粒子的所有量 子态 s。 14 . 设 一 个 双原子分子具有电偶极矩 0 p , 在 电 场 E 中 分 子 的 转 动 能 2 2 2 0 1 1 cos 2 sin r p p p E I = + − ,其中 为电偶极矩与电场的夹角,已知分子的数密 度为 n,求转动配分函数 Z r 和电极化强度 P。 【答: 2 0 0 0 0 0 2 sinh , coth r I kT kT p E p E Z P np p E kT kT p E = = − 】 15.N 个弱耦合的粒子服从玻尔兹曼分布,每个粒子可处于能量为 − , 0, ( 0) 3 个能级 中的任何一个,设系统与温度为 T 的大热源接触,试计算: (1) T=0K 时系统的熵; (2) 系统熵的极大值 max S 和极小值 min S ; (3) 系统的配分函数 Z 和内能 U. 【答:(1)S=0;(2) max min S Nk S = = ln3 0 , ; (3) (1 2cosh ) 2 sinh ! 1 2cosh N N Z U N + = = − + , 】 16.一系统由两个全同粒子组成,每个粒子可有三个量子态,其能量分别是 0, 2 和 。系 统与温度为 T 的大热源接触,就下列诸情况写出系统的配分函数。 (1)粒子可分辩,服从经典统计; (2)粒子不可分辩,服从玻尔兹曼统计; (3)粒子服从费米-狄拉克统计;

227 (4)粒子服从玻色-爱因斯坦统计。 【答:(1) ( ) 2 2 Z e e 1 − − = + + ;(2) ( ) 2 1 2 1 2! Z e e − − = + + ; (3) 2 3 Z e e e − − − = + + ;(4) 2 3 4 Z e e e e 1 2 − − − − = + + + + 】 17.一系统由两个全同粒子组成,每个粒子可占据能级 , 0,1, 2 n = = n n 中的任何一个, 最低能级 0 = 0 是双重简并的。系统与温度为 T 的大热源接触,就下列诸情况写出系统的 配分函数和能量。 (1)粒子服从费米-狄拉克统计; (2)粒子服从玻色-爱因斯坦统计; (3)粒子不可分辩,服从经典统计; 【答:(1) ( ) 2 3 2 Z e e e E e e e 1 2 2 , 2 4 3 Z − − − − − − = + + + = + + ; (2) ( ) 2 3 4 2 3 Z e e e e E e e e e 3 2 3 , 2 6 3 4 Z − − − − − − − − = + + + + = + + + ; (3) ( ) 2 3 4 2 3 2 Z e e e e E e e e e 4 4 5 2 , 2 5 3 2 Z − − − − − − − − = + + + + = + + + 】 18.一拉链有 N 节,只能从一端打开,即只有前面的 s −1 个节相继打开后,第 s 节才能打 开。每节闭合时能量为 0,打开时能量为 。这是一种表示两股不交缠 DNA 分子的简单模 型。试求: (1)拉链的配分函数; (2)求当 N 很大, kT 时开节的平均数,T 为拉链的温度。 【答:(1) ( ) ( ) 1 1 exp 1 exp N kT Z kT + − − = − − ;(2)当 N 很大, 1 1 kT kT s e = − 时 】 19.n 维宇宙。在我们这个三维宇宙中由热力学与统计物理得到下列熟知的结果: (1)黑体辐射的能量密度以 T 形式依赖于温度 T,其中 = 4 ; (2)在固体的德拜模型中,低温下的比热容以 T 形式依赖于温度 T,其中 = 3 ; (3)单原子分子理想气体的定压比热容与定容比热容的比值 5 3 = 。 试导出在 n 维宇宙中相应的指数 , 和 各是多少? 【答:(1) = +n 1 ;(2) = n ;(3) n 2 n + = 】

228 20.液体自由表面上的表面张力波具有色散关系 3 2 k = ,式中 与k 分别是液体表面 波的圆频率与波数, 与 分别为液体的表面张力系数与密度,这一关系对波长大于原子间 距的那些波成立。试计算热激发表面波对比热的贡献,并讨论它的低温极限。已知积分 ( ) 4 3 7 0 3 1 1 7 1.685 3 1 x l x dx e l = = = − 【答: ( ) 7 3 4 3 7 3 1 D D kT B C a T T T e = − − ,其中 2 3 1 3 4 2 8 , 3 D A N B A = = , ( ) 4 4 3 3 0 1 D kT x k x a T Bk dx e = − ; 在低温时, 2 4 3 3 4 3 0 , , 1.31 0 D D Ak k T x C T kT → = → → 时 】 21.一系统由 N 个质量为 m 的近独立粒子组成,在高温下达到热平衡,经典统计适用,粒 子绕其平衡位置作一维运动,就下列情况求系统的热容量: (1)恢复力和位移 x 成正比; (2)恢复力和位移 x 的立方成正比; 不必具体计算积分,利用维里定理即可算出结果。 【答:(1) C Nk V = ;(2) 3 4 C Nk V = 】 22.容积为 V1 的容器内有温度为 T、压强为 1 p 、分子数为 N 的理想气体,分子的能量可表 示为 ( ) 1 2 2 2 2 E p p p i x y z i m = + + + 其中 i 表示分子的内部能级。 (1)求自由能 F kT Z Z = − ln , 为气体的配分函数,以显式表示 F 对 N V T , , 的依赖关系; (2)现考虑另一个容器,体积为 V2 ,温度也为 T,含有相同个数的同种气体分子,压强为 2 p ,求两个容器内气体的总熵(用 1 2 V V T N , , , 表示); (3)两个容器连接起来,使气体无功混合,求气体的熵变。特别检验在 V V 1 2 = (即 1 2 p p = ) 时你的答案是否有意义。 【答:(1) 2 0 0 3 2 ln ln ln 1 , 2 i i V mkT F NkT z z e N h − = − + + + = ;

229 (2) 1 2 0 1 2 0 0 0 2 3 2 5 ln 2 ln ln , ln 2 2 V V mkT z S S S Nk s s z N h = + = + + + = − ; (3) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ln 2 ln 2 2 V V p p S S S Nk Nk VV p p + + = − = = ,当 1 2 V V S = = 时, 0 】 23.(1)质量为 m 的 N 个粒子组成的理想气体,体积为 V,温度为 T,设粒子是不可分辩 的。用经典近似下的配分函数求化学势 ; (2)质量为 m 的 N 个粒子被面积为 A 的表面吸收,形成温度为 T 的二维气体,粒子的能 量为 2 0 2 p m = − ,其中 ( ) 0 , , x y p p p = 为束缚能,计算该气体的化学势 ; (3)温度为 T 时,被吸附的粒子和环境的气体达到平衡,这意味着它们的化学势之间有一 关系,利用这一关系求单位面积吸附的平均粒子数 n,设环境气体的压强为 p。 【答:(1) 3 2 3 2 ln ln 2 V mkT kT N h = − + ;(2) 0 2 2 2 ln ln A mkT kT N h kT = − + + (3)平衡时 0 1 2 2 3 2 , 2 N p h kT n e A kT mkT = = = 】 24.考虑由两个不同原子组成的双原子分子理想气体,分子对通过质心并垂直于两原子轴的 转动惯量为 I。对于下述两种极限情况考虑转动对比热容和摩尔熵的贡献。 (1) 2 kT I ; (2) 2 kT I ,计算不为零的最低阶的贡献。 【答:(1) 2 2 , ln 1 V IkT C Nk S Nk = = + ; (2) ( ) 4 2 2 2 2 2 2 3 3 1 3 0 IkT IkT IkT C Nk e S Nk e Nk e V IkT IkT IkT − − − = = + → , 】 25.由 N 个自旋为 1 2 的粒子组成的理想气体,体积为 V,粒子的态矢量为 i j , , ,其中 i 是主量子数,j 是轨道角动量量子数, 是自旋量子数,可取 1 2 。粒子的能级 i 只依赖于 量子数 i,因而能级是简并的,简并度为 i 。假设每个态最多只能有一个粒子占据,并且 i 和 j 都相同的量子态 1 1 , , , , 2 2 i j i j 和 − 不能同时被占据,试导出处于平衡态时能级 i 上的

230 粒子数 i a 。 【答: 2 i i i a e + = + 】 26.一个一维链由 n n( 1) 个节组成,当节和链平行时,节的长度为 a ,当节和链垂直时, 长度为零,每个节只有这两个非简并的状态,平衡时链的长度为 nx。 (1)用 x 表示链的熵; (2)设铰点可以自由活动,求温度 T、张力 F 与长度 x 之间的关系; (3)在什么情况下,你的结论将给出胡克定律? 【答:(1) ( ) ( ) ! ln ! ! n S k nx nx n a a = − ;(2) ( ) ( ) exp 1 exp Fa na kT nx Fa kT = + ; (3)高温时 ( 0 0 ) 2 4 , , , 2 kT na Fa kT F L L L nx L na − = = 式中 】 27.设一介质的折射率 n 依赖于辐射频率 ,辐射的波数为 ( ) ( ) 2 q n n c c = = ,试证 明这种色散介质中的普朗克热辐射定律为 ( ) ( ) ( ) 1 3 3 3 8 ln , 1 ln h kT n h d n u T e c d − = − 28.由于热激发,在固体中存在着色散关系为 n = Aq 的波动,其中 为圆频率,q 为波数, A 和 n 为常数。证明在低温下这种波对固体的热容量贡献正比于 3 n T 。 (提示:仿照德拜模型求固体热容量的方法。) 29.仿照三维德拜模型,讨论一维和二维固体的热容量。 【答: 1 1 2 2 3 , 6 C NkD C NkD V V T T = = ,式中 ( ) ( ) 1 2 0 1 1 n y x n n y y e D x dy x e + = − , ( 1, 2 , ) D n k = = 为德拜温度】 30.N 个原子有规则地排列成理想晶体,如果从点阵上取下 n 个原子 (1 n N) 填到点阵 间隙处,它就变成了带有 n 个夫仑克尔(Frenkel)型缺陷的非理想晶体。原子可进入的间隙 位置的个数 N 和 N 具有相同的量级,原子在点阵上和间隙位置上的能量分别为 1 2 和 ,以 2 1 w = − 0 表示从点阵上移走一个原子填到间隙位置所需的能量