第三章 晶格振动 L tti Vib ti Lattice Vibration
固体物理的研究范式之一：波在介质中的传播问题 Dispersion relation 色散关系 Dispersion relations describe the interrelations of wave properties like wavelength, frequency, velocities et.al 色散关系描述波在传播过程中波长 、频率 、速度等等的关系 速度等等的关系。（ 在 我们的课程中主要指频率（对于物质波来说对应于能量）与波数的 关系） Dispersion may be caused either by geometric boundary conditions (waveguides, shallow water) or by interaction of the waves with th t itti di El t ti l ith the transmitting medium. Elemen tary parti cles, considered as matter waves, have a nontrivial dispersion relation even in the absence of geometric constraints and other media. 色散有时是由几何边界条件引起的，有时由波传播的介 质决定。基本粒子，也可以认为是物质波的色散关系即 使在没有边界条件或者传播媒介时也不 定是线性的 使在没有边界条件或者传播媒介时也不 一定是线性的
真空中的电磁波？ 真空中的电子？ 水波 弦波
固体? 我们这一章将研究原子振动波在固体中的传播问题
晶格的振动对应固体的什么宏观性质？ 固体热容，热膨胀，热传导，融化， 声的传播 ，电导率 ，压电现象 ， 某些光学和介电性质， 位移性相变 ， 超导现象
第三章 晶格振动 3.1 晶格振动的经典理论 3 2. 晶格振动的量子化 晶格振动的量子化－声子 3.3 固体热容的量子理论 3.4 非简谐效应：晶体的热膨胀和热传导 3.5 晶格振动的实验研究
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解 （ 即 晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严 格的周期性排列 ，在该框架内 ，我们讨论了 X 光衍射 发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将在此框 架内 ，建立能带论 ，计算金属大量的平衡性质 计算金属大量的平衡性质 。然而 它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或 离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的 ，而是在 固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振 动 。只有深入地了解了晶格振动的规律 ，更多的晶体 性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导， 融化 ，声的传播 ，电导率 ，压电现象 ，某些光学和介 电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相 互作用等等
晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过 Dulong-Petit 定律 3 ,( 3 ) V AB AB V E c Nk E NkT T 认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到 20世纪初才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什 V 20世纪初才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什 么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子 振动的研究，1912年玻恩 (Born，1954 年 Nobel物理学奖获得者 物理学奖获得者 ) 和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使 用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发 表的更为简单的Debye热容理论 （弹性波近似 ）已经可以很好的 已经可以很好的 说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye 模型不足，所以1935 年Blakman Blakman才重新利用Born 和Von -Karman 近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先 生在晶格振动研究 在晶格振动研究 成就突出 上 ，特别是1954年和Born共同写作 的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作
我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。 黄昆院士简介: （摘录） 1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学 习，获哲学博士学位 获哲学博士学位；发表 《稀固溶体的 X光漫散射 》论文， 理论上预言“黄散射”。 1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博士后研究 员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念， 并与李爱扶（A.Rhys）建立了多声子跃迁理论。 1947 -1952 年，与玻恩教授合著 与玻恩教授合著 《晶格动力学 》 一 书 （ 英 国牛津出版社，1954年）。（2006年中文版） 黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡 献。他的名字与多声子跃迁理论、 X光漫散射理论、晶格振动 长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在 起 维体系光学声子模联系在 一 起 。他是 “ 极 化激元”概念的最早阐述者
一 . 一维单原子链的振动 MMMM 运动方程： 考虑N个质量为 m 的同种原子组成的一维单原子链的。设 un-2 un-1 F un un+1 L FR 考虑N个质量为 m 的同种原子组成的 维单原子链的。设 平衡时相邻原子间距为 a（即原胞大小），在 t 时刻第 n 个原 子偏离其平衡位置的位移为 un u 1 u 2 u 1 u u n u n 1 u n 2 u n 1 u n 2 u