5.7 晶体能带的对称性 晶体具有对称性，因而晶体中电子的运动状态也会具 有对称性，所以表述运动状态的本征能量和本征态也具有 对称性，了解了这种对称性，对于我们理解能带性质、简 化要处理的问题会很有帮助。比如在计算和绘制 k 空间的 能带图时，就可以充分利用其对称性质。 晶体的对称性包括点对称操作和平移对称性，它们都 会反映到本征能量的对称性上。 晶体能带的对称性和晶格振动色散关系所具有的对称 性相同，我们可以参照理解。 一. E n ( k)函数的对称性 二. E n ( k)图示 三. 空格模型的能带 见黄昆书 4.6 节 p202
一、 En(k)函数的对称性 Bloch定理一节中曾指出简约波矢 k 表示原胞之间电 子波函数位相的变化，如果 k 改变一个倒格矢量，它们 所标志的原胞之间波函数位相的变化是相同的，也就是 说 k 和 k+Gh 是等价的，从这点出发我们也可认为 是 k 空间的周期函数，其周期等于倒格矢。简约波矢的 取值范围就是倒易空间的Wigner-Seitz原胞，即第一布里 渊区内。我们利用这种平移对称性可以将第二Brillouin区 的每一块各自平移一个倒格矢而与第一Brillouin区重合。 同理，更高的Brillouin区也可通过适当的平移与第一区重 合，因此我们可以把注意力仅限制在第一区内，它包含 了晶体能带的所有必要信息。 应特别注意，这个表达式只是对同一能带才正确。 ( ) ( ) n n Gh E k E k 1. En k 平移对称性
Simple Cubic Lattice, FBZ; 2nd BZ; 3rd BZ FBZ 2nd BZ 3rd BZ 正方晶格的头三个布里渊区。 一、三两章 已经讲过
E (k ) E ( k ) n n 该式表明能带与晶格有相同的对称性。 为晶体所属 点群的任一点对称操作。证明如后： 2. 点群对称性 Simple Cubic Lattice, FBZ; 2nd BZ; 3rd BZ; 4th BZ FBZ 2nd BZ 3rd BZ 4th BZ
应为具有同样本征值的另一本征函数。 设 nk(r)为晶体哈密顿量的本征函数，本征值为 E n(k) 。 ( ) ( ) ( ) ˆH r E k r nk n nk 由于晶体在所属点群操作下保持不变，则点群操作 作用 于本征函数的结果 () ( ) n nk r r ( r R ) e ( r ) nk ik R nk n n A B A B A B A B A B A B 1 1 ( ) 又由于晶体点群操作应保持点乘积不变，则有：
因此有： 1 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ) () n n n ik R n n nk n nk i kR i kR nk n rR rR e r e re r n(r)是本征函数之一，所以可以写成： 所以 n(r) 的波矢标记应该是： k 1 1 (r) n k 从而有： 1 (r) ( r) nk n k
从上式可得有 -1k 和 k 所对应的能量本征值相等， 即有： ( ) ( ) 1 E k E k n n E (k ) E ( k ) n n 由于-1遍历晶体点群的所有的对称操作，所以有： 证毕。 这表明，在 k 空间中 En(k) 具有与晶体点群完全相同 的对称性。这样就可以在晶体能带计算和表述中把第 一布里渊区分成若干个等价的小区域，只取其中一个 就足够了。区域大小为第一布里渊区的 1/f，f 为晶体 点群对称操作元素数。如三维立方晶体 f = 48
在晶体中电子运动的哈密顿算符 2 2 2 H U m r 是实算符， H* ＝ H 。 如果 n k ( r) 是方程的解，那么 * n k ( r) 也是方程的解， 且这两个解具有相同的能量本征值。即有 3. E ( k ) E ( k ) n n ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ H r E k r H r E k r nk n nk nk n nk 反演对称性
同时按照Bloch定理有： ( ) ( ) ( ) ( ) r R e r r R e r n k ik R n k n nk ik R nk n n n 因此，*nk(r) 和n-k(r) 是相同的，因而nk(r) 和n-k(r) 能量 简并： E (k ) E ( k ) n n 这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否 有对称中心，在 k 空间中 En(k) 总是有反演对称的。这 实际上是时间反演对称性的结果。 下面通过对具体对象的讨论来理解和应用能带的对称性
P P’’ P’ kx ky 以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是C4V(4mm), 所以，对于一般位置 P，在简约区中共有 8个点与 P点对称 相关。在这些点，电子都有相同的 能量 En(k)。因此，我们只需研究 清楚简约区中 1/8 空间中电子的能 量状态，就可以知道整个 k 空间中 的能量状态了。我们将这部分体积 称为简约区的不可约体积。依此类 推，对于立方晶系的 Oh(m3m) 点 群，只需研究 (1/48)b即可。减少 在确定、计算能带时所要做的工作 是对称性研究的意义之一。 二、 En(k)图示