5.7晶体能带的对称性一.E,(k)函数的对称性二. E,(k)图示三。空格模型的能带见黄昆书4.6节p202晶体具有对称性，因而晶体中电子的运动状态也会具有对称性，所以表述运动状态的本征能量和本征态也具有对称性，了解了这种对称性，对于我们理解能带性质、简化要处理的问题会很有帮助。比如在计算和绘制k空间的能带图时，就可以充分利用其对称性质。晶体的对称性包括点对称操作和平移对称性，它们都会反映到本征能量的对称性上。晶体能带的对称性和晶格振动色散关系所具有的对称性相同，我们可以参照理解
5.7 晶体能带的对称性 晶体具有对称性，因而晶体中电子的运动状态也会具 有对称性，所以表述运动状态的本征能量和本征态也具有 对称性，了解了这种对称性，对于我们理解能带性质、简 化要处理的问题会很有帮助。比如在计算和绘制 k 空间的 能带图时，就可以充分利用其对称性质。 晶体的对称性包括点对称操作和平移对称性，它们都 会反映到本征能量的对称性上。 晶体能带的对称性和晶格振动色散关系所具有的对称 性相同，我们可以参照理解。 一. E n ( k)函数的对称性 二. E n ( k)图示 三. 空格模型的能带 见黄昆书 4.6 节 p202
一、E,(k)函数的对称性平移对称性1. E,(k)=E,(k +G)Bloch定理一节中曾指出简约波k表示原胞之间电子波函数位相的变化，如果k改变一个倒格量，它们所标志的原胞之间波函数位相的变化是相同的，也就是说k和k+G是等价的，从这点出发我们也可认为E,(k）是k空间的周期函数，其周期等于倒格矢。简约波矢的取值范围就是倒易空间的Wigner-Seitz原胞，即第一布里渊区内。我们利用这种平移对称性可以将第二Brillouin区的每一块各自平移一个倒格矢而与第一Brillouin区重合。同理，更高的Brillouin区也可通过适当的平移与第一区重合，因此我们可以把注意力仅限制在第一区内，它包含了晶体能带的所有必要信息。应特别注意，这个表达式只是对同一能带才正确
一、 En(k)函数的对称性 Bloch定理一节中曾指出简约波矢 k 表示原胞之间电 子波函数位相的变化，如果 k 改变一个倒格矢量，它们 所标志的原胞之间波函数位相的变化是相同的，也就是 说 k 和 k+Gh 是等价的，从这点出发我们也可认为 是 k 空间的周期函数，其周期等于倒格矢。简约波矢的 取值范围就是倒易空间的Wigner-Seitz原胞，即第一布里 渊区内。我们利用这种平移对称性可以将第二Brillouin区 的每一块各自平移一个倒格矢而与第一Brillouin区重合。 同理，更高的Brillouin区也可通过适当的平移与第一区重 合，因此我们可以把注意力仅限制在第一区内，它包含 了晶体能带的所有必要信息。 应特别注意，这个表达式只是对同一能带才正确。 ( ) ( ) n n Gh E k E k 1. En k 平移对称性
三两章已经讲过。FBZ2nd BZ3rd BZ正方晶格的头三个布里渊区
Simple Cubic Lattice, FBZ; 2nd BZ; 3rd BZ FBZ 2nd BZ 3rd BZ 正方晶格的头三个布里渊区。 一、三两章 已经讲过
FBZ2nd BZ3rd BZ4th BZSimpleCubicLattice,FBZ:2ndBZ:3rdBZ:4thBZE,(k)= E,(αk)2点群对称性该式表明能带与晶格有相同的对称性。α为晶体所属点群的任一点对称操作。证明如后：
E (k ) E ( k ) n n 该式表明能带与晶格有相同的对称性。 为晶体所属 点群的任一点对称操作。证明如后： 2. 点群对称性 Simple Cubic Lattice, FBZ; 2nd BZ; 3rd BZ; 4th BZ FBZ 2nd BZ 3rd BZ 4th BZ
设nk(r)为晶体哈密顿量的本征函数，本征值为E,(k)。Hyn(r)= E,(k)ymk(r)由于晶体在所属点群操作下保持不变，则点群操作α作用于本征函数的结果pn(r)= nk(αr)应为具有同样本征值的另一本征函数。Vm (ar + aR,) = ei-aRry m (ar)又由于晶体点群操作应保持点乘积不变，则有：A.B= α(A.B)= αA·αBα-A.B=α-'αA.αB= A.αB
应为具有同样本征值的另一本征函数。 设 nk(r)为晶体哈密顿量的本征函数，本征值为 E n(k) 。 ( ) ( ) ( ) ˆH r E k r nk n nk 由于晶体在所属点群操作下保持不变，则点群操作 作用 于本征函数的结果 () ( ) n nk r r ( r R ) e ( r ) nk ik R nk n n A B A B A B A B A B A B 1 1 ( ) 又由于晶体点群操作应保持点乘积不变，则有：
因此有：P,(r + R,) = Vm[α(r+ R,) =eik-aRy mk(ar- ela".Rr (ar) - ea-k.R, ,(r)所以Φ,(r)的波矢标记应该是：α-'kΦ,(r)是本征函数之一，所以可以写成：na-k(r)从而有：na-k(r)=nk (or)
因此有： 1 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ) () n n n ik R n n nk n nk i kR i kR nk n rR rR e r e re r n(r)是本征函数之一，所以可以写成： 所以 n(r) 的波矢标记应该是： k 1 1 (r) n k 从而有： 1 (r) ( r) nk n k
从上式可得有α-1k和k所对应的能量本征值相等，即有：E,(α-lk)= E,(k)由于α-1遍历晶体点群的所有的对称操作，所以有：证毕。E,(k)= E,(αk)这表明，在k空间中Ek)具有与晶体点群完全相同的对称性。这样就可以在晶体能带计算和表述中把第一布里渊区分成若于个等价的小区域，只取其中一个就足够了。区域大小为第一布里渊区的1/f，f为晶体点群对称操作元素数。如三维立方晶体f=48
从上式可得有 -1k 和 k 所对应的能量本征值相等， 即有： ( ) ( ) 1 E k E k n n E (k ) E ( k ) n n 由于-1遍历晶体点群的所有的对称操作，所以有： 证毕。 这表明，在 k 空间中 En(k) 具有与晶体点群完全相同 的对称性。这样就可以在晶体能带计算和表述中把第 一布里渊区分成若干个等价的小区域，只取其中一个 就足够了。区域大小为第一布里渊区的 1/f，f 为晶体 点群对称操作元素数。如三维立方晶体 f = 48
反演对称性3.E,(k)=E,(-k)在晶体中电子运动的哈密顿算符h2v? +U(r)H :2m是实算符，H*=H。如果ynk(r)是方程的解，那么y*nk(r)也是方程的解，且这两个解具有相同的能量本征值。即有Hym(r) = E,(k)ym()Hym(r)= E,(k)wm(r)
在晶体中电子运动的哈密顿算符 2 2 2 H U m r 是实算符， H* ＝ H 。 如果 n k ( r) 是方程的解，那么 * n k ( r) 也是方程的解， 且这两个解具有相同的能量本征值。即有 3. E ( k ) E ( k ) n n ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ( ) ˆ H r E k r H r E k r nk n nk nk n nk 反演对称性
同时按照Bloch定理有：Vik(F+R,)=e-i-Rrym(F)Vn-k(r + R,) = e-ik.Ray n- (r)因此，y/*nk(r)和 y/n-k(r)是相同的，因而 ynk(r)和yn-k(r)能量简并：E,(k)= E,(-k)这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否有对称中心，在k空间中E(K)总是有反演对称的。这实际上是时间反演对称性的结果。下面通过对具体对象的讨论来理解和应用能带的对称性
同时按照Bloch定理有： ( ) ( ) ( ) ( ) r R e r r R e r n k ik R n k n nk ik R nk n n n 因此，*nk(r) 和n-k(r) 是相同的，因而nk(r) 和n-k(r) 能量 简并： E (k ) E ( k ) n n 这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否 有对称中心，在 k 空间中 En(k) 总是有反演对称的。这 实际上是时间反演对称性的结果。 下面通过对具体对象的讨论来理解和应用能带的对称性
二、E,(k)图示以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是C4v(4mm)所以，对于一般位置P，在简约区中共有8个点与P点对称相关。在这些点，电子都有相同的能量E(k)。因此，我们只需研究清楚简约区中1/8空间中电子的能量状态，就可以知道整个k空间中的能量状态了。我们将这部分体积O称为简约区的不可约体积。依此类k推，对于立方晶系的O(m3m)点群，只需研究（1/48)2即可。减少在确定、计算能带时所要做的工作是对称性研究的意义之一
P P’’ P’ kx ky 以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是C4V(4mm), 所以，对于一般位置 P，在简约区中共有 8个点与 P点对称 相关。在这些点，电子都有相同的 能量 En(k)。因此，我们只需研究 清楚简约区中 1/8 空间中电子的能 量状态，就可以知道整个 k 空间中 的能量状态了。我们将这部分体积 称为简约区的不可约体积。依此类 推，对于立方晶系的 Oh(m3m) 点 群，只需研究 (1/48)b即可。减少 在确定、计算能带时所要做的工作 是对称性研究的意义之一。 二、 En(k)图示