《固体物理学》课程教学课件（讲稿，Solid State Phyics）Chapter 10 Quantum Theory of the Harmonic Crystal

3.2 晶格振动的量子化－声子 参考黄昆书 3.1节（p79-82） 及p88 92 一 . 简谐近似和简正坐标 二 晶格振动的量子化 及p88-92 Kittel 书 4.3和4.4 两节 二. 晶格振动的量子化 三. 声子 引入简正坐标，用分析力学的方法重新处理晶格振动问题 将分析力学中的哈密顿量过渡到量子力学中 – 谐振子方程 晶格振动的能量量子化 – 声子

分析力学的回顾 牛顿定律 – 质点组运动 – 大量的微分方程组 – 质点组受到约束因而变得非常复杂 拉格朗日 – 分析力学 – 数学分析方法解决力学问题 – 二阶微分方程组/拉格朗日方程 哈密顿 – 将坐标和动量作为独立变量 将坐标和动量作为独立变量 - 微分方程降为 阶一 – 哈密顿正则方程 运用变分法提出哈密顿原理 – 与牛顿定律等价 哈密顿 - 雅科比方程 (Hamilton – Jacobi equation)

分析力学解决问题的基本模式 • 引入广义坐标 ，减少约束变量 • 写出广义坐标下动能项 T和势能项 V • 写出拉格朗日量 LTV • 计算广义动量   i L p     • 计算广义速度 • 计算哈密顿量 qi          i L qi pi L q L H q   计算哈密顿量  • 利用哈密顿方程得到系统运动方程 i  qi i H p     j j H q q p     j j p q  

一.简谐近似和简正坐标： 从经典力学的观点看，晶格振动是一个典型的小振动 问题，由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动使用 正则方程处理比上节中使用的牛顿方程要简单明了。本节 采用简正坐标重新处理 采用简正坐标重新处理。（见黄昆书p79-82） N个原子组成的晶体，平衡位置为 ，偏离平衡位置的 位移矢量为 R n ： ( ) R t R ut '() ()   ( ) n u t 所以原子的位置表示为： () () 所以原子的位置表示为： R t R ut n nn 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 简正坐标 M M x1 x2 K K K ❀ 两端固定的双谐振子的哈密顿量： Hˆ qho2 = p 2 1 2M + p 2 2 2M + 1 2 Kx2 1 + 1 2 Kx2 2 + 1 2 K(x2 ´ x1) 2 (16) ❀ 其中势能项可以写成 V(x1, x2) = 1 2 K [ x1 x2 ] [ 2 ´1 ´1 2 ] [x1 x2 ] (17) ☞ 对对称矩阵 A，存在正交矩阵 U，使得 D = UTAU 是一个对角矩阵。 V(x1, x2) = 1 2 K [ x1 x2 ]   ? 2 2 ´ ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2   [ 1 0 0 3]   ? 2 2 ? 2 2 ´ ? 2 2 ? 2 2   [ x1 x2 ] (18) 中国科学技术大学 2024 年 4 月 8 日 12 / 29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 简正坐标 M M x1 x2 K K K ❀ 两端固定的双谐振子的哈密顿量： Hˆ qho2 = p 2 1 2M + p 2 2 2M + 1 2 Kx2 1 + 1 2 Kx2 2 + 1 2 K(x2 ´ x1) 2 (16) ❀ 做变量替换 Q1 = ? 2 2 [x1 + x2] Q2 = ? 2 2 [x1 ´ x2] Π1 = ? 2 2 [p1 + p2] Π2 = ? 2 2 [p1 ´ p2] (19) 则式(16)变成 Hˆ qho2 = [ Π2 1 2M + 1 2 KQ2 1 ] + [ Π2 2 2M + 1 2 K 3 2 Q 2 2 ] (20) ☞ 式(20)描述的是两个独立谐振子之和，Q1 和 Q2 是所谓的正则坐标（Normal Coordinate）或 者简正坐标，Q1 反映的是整体的运动，Q2 则是相对运动（质心不动）。 中国科学技术大学 2024 年 4 月 8 日 12 / 29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 简正模 ❀ 简正模反映的不是某一个原子的振动，而是所有原子都参与的运动。 Asymmetric Stretching Mode Symmetric Stretching Mode Bending Mode 图 – H2O 分子的几种简正模式示意图。 ☞ 对于有限大小的非线性分子，简正模的数目为 3N ´ 6，N 为原子数目。 中国科学技术大学 2024 年 4 月 8 日 13 / 29

一维单原子链 动能 1 ： N 2 1 2 1 n N n T  mu             N n n n n N V un un u u u u 1 21 2 2 1 ( 2 ) 2 ( ) 2  交叉项 n1 2 2 n1

目的：重新选择正则坐标，消去交叉项，使动能项与势能项对角化 使动能项与势能项对角化 i( t naq) u Ae    unq Ae 1         q i t inaq q q q i t naq n nq q NmA e e Nm U U A e ( ) 1     q inaq q Q e Nm1 （傅立叶变换：实空间-动量空间）

3 2 1 1 2 N i i T Q    3 2 2 1 1 2 N i i i V Q   2 i1 2 i1 系统的拉格朗日量为： L  T V i i i L p Q Q     正则动量：         N i i i i i H Qi pi L p Q 3 1 2 2 2 ( ) 21  