3.2晶格振动的量子化一声子一，简谐近似和简正坐标参考黄昆书3.1节（p79-82）及p88-92二.晶格振动的量子化三.声子Kittel书4.3和4.4两节引入简正坐标，用分析力学的方法重新处理晶格振动问题将分析力学中的哈密顿量过渡到量子力学中一谐振子方程晶格振动的能量量子化一声子
3.2 晶格振动的量子化－声子 参考黄昆书 3.1节（p79-82） 及p88 92 一 . 简谐近似和简正坐标 二 晶格振动的量子化 及p88-92 Kittel 书 4.3和4.4 两节 二. 晶格振动的量子化 三. 声子 引入简正坐标，用分析力学的方法重新处理晶格振动问题 将分析力学中的哈密顿量过渡到量子力学中 – 谐振子方程 晶格振动的能量量子化 – 声子
分析力学的回顾牛顿定律一质点组运动一大量的微分方程组一质点组受到约束因而变得非常复杂拉格朗日一分析力学－数学分析方法解决力学问题一二阶微分方程组/拉格朗日方程哈密顿一将坐标和动量作为独立变量-微分方程降为一阶一哈密顿正则方程运用变分法提出哈密顿原理一与牛顿定律等价哈密顿-雅科比方程（Hamilton一Jacobiequation）
分析力学的回顾 牛顿定律 – 质点组运动 – 大量的微分方程组 – 质点组受到约束因而变得非常复杂 拉格朗日 – 分析力学 – 数学分析方法解决力学问题 – 二阶微分方程组/拉格朗日方程 哈密顿 – 将坐标和动量作为独立变量 将坐标和动量作为独立变量 - 微分方程降为 阶一 – 哈密顿正则方程 运用变分法提出哈密顿原理 – 与牛顿定律等价 哈密顿 - 雅科比方程 (Hamilton – Jacobi equation)
分析力学解决问题的基本模式·引入广义坐标，减少约束变量·写出广义坐标下动能项T和势能项V·写出拉格朗日量L=T-VaL·计算广义动量P, =aqi·计算广义速度aL-L=Zqip,-LH=Zi.·计算哈密顿量aq/·利用哈密顿方程得到系统运动方程aHoqjadopi
分析力学解决问题的基本模式 • 引入广义坐标 ，减少约束变量 • 写出广义坐标下动能项 T和势能项 V • 写出拉格朗日量 LTV • 计算广义动量 i L p • 计算广义速度 • 计算哈密顿量 qi i L qi pi L q L H q 计算哈密顿量 • 利用哈密顿方程得到系统运动方程 i qi i H p j j H q q p j j p q
一.简谐近似和简正坐标：从经典力学的观点看，晶格振动是一个典型的小振动问题，由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动使用正则方程处理比上节中使用的顿方程要简单明了。本节采用简正坐标重新处理。（见黄昆书p79-82）N个原子组成的晶体，平衡位置为R，，偏离平衡位置的位移矢量为：u,(t)R, (t)= R, +u,(t)所以原子的位置表示为：
一.简谐近似和简正坐标： 从经典力学的观点看，晶格振动是一个典型的小振动 问题，由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动使用 正则方程处理比上节中使用的牛顿方程要简单明了。本节 采用简正坐标重新处理 采用简正坐标重新处理。（见黄昆书p79-82） N个原子组成的晶体，平衡位置为 ，偏离平衡位置的 位移矢量为 R n ： ( ) R t R ut '() () ( ) n u t 所以原子的位置表示为： () () 所以原子的位置表示为： R t R ut n nn
简正坐标O-KKKMM两端固定的双谐振子的哈密顿量：+P01Agho2KK(-)2(16)K22M2M富其中势能项可以写成LIk[n(17)V(r1,22) =232B对对称矩阵A，存在正交矩阵U，使得D=UTAU是一个对角矩阵。1[]K]2(18)V(z1,2) =n0004月8日12/29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 简正坐标 M M x1 x2 K K K ❀ 两端固定的双谐振子的哈密顿量： Hˆ qho2 = p 2 1 2M + p 2 2 2M + 1 2 Kx2 1 + 1 2 Kx2 2 + 1 2 K(x2 ´ x1) 2 (16) ❀ 其中势能项可以写成 V(x1, x2) = 1 2 K [ x1 x2 ] [ 2 ´1 ´1 2 ] [x1 x2 ] (17) ☞ 对对称矩阵 A，存在正交矩阵 U，使得 D = UTAU 是一个对角矩阵。 V(x1, x2) = 1 2 K [ x1 x2 ] ? 2 2 ´ ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 [ 1 0 0 3] ? 2 2 ? 2 2 ´ ? 2 2 ? 2 2 [ x1 x2 ] (18) 中国科学技术大学 2024 年 4 月 8 日 12 / 29
简正坐标OKKKMM两端固定的双谐振子的哈密顿量：p1Hgho2K+K(-）2K+(16)2M2M022做变量替换V2V2Qi=IIi=[+2][p1+p2]2(19)V2V2II2=Q2 =[31 2][P1 p2]22则式(16)变成[+k] +[+]Hgho2=(20)式(20)描述的是两个独立谐振子之和，Q1和Q2是所谓的正则坐标（NormalCoordinate）或者简正坐标，Q1反映的是整体的运动，Q2则是相对运动（质心不动）。000年4月8日12/29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 简正坐标 M M x1 x2 K K K ❀ 两端固定的双谐振子的哈密顿量： Hˆ qho2 = p 2 1 2M + p 2 2 2M + 1 2 Kx2 1 + 1 2 Kx2 2 + 1 2 K(x2 ´ x1) 2 (16) ❀ 做变量替换 Q1 = ? 2 2 [x1 + x2] Q2 = ? 2 2 [x1 ´ x2] Π1 = ? 2 2 [p1 + p2] Π2 = ? 2 2 [p1 ´ p2] (19) 则式(16)变成 Hˆ qho2 = [ Π2 1 2M + 1 2 KQ2 1 ] + [ Π2 2 2M + 1 2 K 3 2 Q 2 2 ] (20) ☞ 式(20)描述的是两个独立谐振子之和，Q1 和 Q2 是所谓的正则坐标（Normal Coordinate）或 者简正坐标，Q1 反映的是整体的运动，Q2 则是相对运动（质心不动）。 中国科学技术大学 2024 年 4 月 8 日 12 / 29
简正模简正模反映的不是某一个原子的振动，而是所有原子都参与的运动。BendingAsymmetric StretchingSymmetric StretchingModeModeMode图-H2O分子的几种简正模式示意图。对于有限大小的非线性分子，简正模的数目为3N-6，N为原子数目。Daa2024年4月8日13/29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 简正模 ❀ 简正模反映的不是某一个原子的振动，而是所有原子都参与的运动。 Asymmetric Stretching Mode Symmetric Stretching Mode Bending Mode 图 – H2O 分子的几种简正模式示意图。 ☞ 对于有限大小的非线性分子，简正模的数目为 3N ´ 6，N 为原子数目。 中国科学技术大学 2024 年 4 月 8 日 13 / 29
一维单原子链(n+1g(n+2)g: (n-2)a(n-1)an8009L889L0088007N动能：2Tmun2n=l交叉项N入βB22Z2u,u,uun-22n=ln=
一维单原子链 动能 1 ： N 2 1 2 1 n N n T mu N n n n n N V un un u u u u 1 21 2 2 1 ( 2 ) 2 ( ) 2 交叉项 n1 2 2 n1
目的：重新选择正则坐标，消去交又项，使动能项与势能项对角化Ung = Aei(ot-nag)ng1iot-nag）NmA.eio0-inagZU-ZUnmg-ZAgeA/Nmqqq12-inaq（傅立叶变换：实空间-动量空间）/Nmq
目的：重新选择正则坐标，消去交叉项，使动能项与势能项对角化 使动能项与势能项对角化 i( t naq) u Ae unq Ae 1 q i t inaq q q q i t naq n nq q NmA e e Nm U U A e ( ) 1 q inaq q Q e Nm1 （傅立叶变换：实空间-动量空间）
3N3N1Zo,Q?Zo?VR22i=li1系统的拉格朗日量为：L=T-VaL= 0,正则动量：P003N/Z(p? +0'g')H-Zop-L=2i=1
3 2 1 1 2 N i i T Q 3 2 2 1 1 2 N i i i V Q 2 i1 2 i1 系统的拉格朗日量为： L T V i i i L p Q Q 正则动量： N i i i i i H Qi pi L p Q 3 1 2 2 2 ( ) 21