5.5克勒尼希-彭尼（Kronig-Penny）模型：我们从近自由电子近似（NFE）和紧束缚近似（TB）两种极端情形下的讨论中得出了共同的结论，即：晶体中电子的能级形成充带和禁带，但为了能和实际晶体的实验结果相比较，使用尽可能符合晶体实际情况的周期势，求解具体Schrodinger方程的尝试从没有停止过，最早的一个模型是1931年Kronig-Penney一维方形势场模型，它可以用简单的解析函数严格求解，也得出了周期场中运动的粒子允许能级形成能带，能带之间是禁带的结论，但这是一维周期势场，还不能算是真正的尝试。不过近来却常使用Kronig-Penney势讨论超晶格的能带。见：Kittel8版7.3节p1197.4.4节p124方俊鑫书5.6节p204；冯端《凝聚态物理学》5.2.4节p150
我们从近自由电子近似（NFE）和紧束缚近似（TB ） 两种极端情形下的讨论中得出了共同的结论，即：晶体中 电子的能级形成允带和禁带，但为了能和实际晶体的实验 结果相比较，使用尽可能符合晶体实际情况的周期势,求解 具体 Schrodinger 方程的尝试从没有停止过，最早的一个 模型是 1931 年 Kronig-Penney 一维方形势场模型，它可 以用简单的解析函数严格求解，也得出了周期场中运动的 粒子允许能级形成能带，能带之间是禁带的结论，但这是 一维周期势场，还不能算是真正的尝试。不过近来却常使 用 Kronig-Penney 势讨论超晶格的能带。 5.5 克勒尼希 -彭尼（Kronig-Penny） 模型： 见： Kittel 8 版 7.3 节 p119；7.4.4 节p124 方俊鑫 书5.6 节 p204; 冯端《凝聚态物理学》5.2.4 节p150
在两种近似之间的区域的真实情况如何？是我们关心的。金属中的价电子既不像自由电子那样自由，也不像孤立原子中的电子。的情况真实晶体FreeNearly freeElectronsElectronsLargeInfiniteSpacingSpacing-(tight binding)(freeatoms)(m/a)(/a)0(m/a)00(m/a)0(m/a)0ReducedWaveVectorFigure 3-28A one-dimensional visualization of the dependence of energy onwave-vectorfor electron states as the coupling between adjacent atoms varies from zero(atomsinfinitelyseparated)tothetotalabolitionofinteratomicbarriers.见Blakemore:SolidStatePhysicsP214,该书也有关于Kronig-Penney模型的叙述
在两种近似之间的区域的真实情况如何？是我们关心的。金属中 的价电子既不像自由电子那样自由，也不像孤立原子中的电子。 ? 的情况 真实晶体 见Blakemore:Solid State Physics P214,该书也有关于Kronig-Penney模型的叙述
U(x)Uot-(a+b)-b 0aa+bx1931年Kronig-Penney一维方形势场是最早提出的周期势场模型，它由方型势阱势垒周期排列而成。势宽α,势垒宽b因此晶体势的周期是：α+b=c,势垒的高度是：U。其解应具有Bloch函数形式：(x)= eiku(x)W(代入一维Schrodinger方程：n? d'yd'y2m(E-U.)y=0 -b<x<0+Uoy=Eydx?2m dx?n?h? d?yd'y2mEy=0= Ey0<x<adx22m dx?n?
1931年 Kronig-Penney 一维方形势场是最早提出的周期势 场模型，它由方型势阱势垒周期排列而成。势阱宽 a ,势垒宽 b, 因此晶体势的周期是：a + b = c ,势垒的高度是： 其解应具有Bloch 函数形式： U x( ) U0 ( ) ( ) ik x ψ x e ux ⋅ = 代入一维Schrödinger方程： ( ) 2 2 2 0 2 2 2 d 2 0 d d 2 0 d m E U x m E x ψ ψ ψ ψ + − = + = = = −b x < < 0 0 < x a < 2 2 2 0 2 2 2 d 2 d d 2 d U E m x E m x ψ ψ ψ ψ ψ − += − = = =
U.= 01.在区域0<x<a：d'u(x)du(x)2m+2ik=(+dx?Rdx2mE令：Q2h?d’u(x)du(xu(x)= 0+2ikdx?dx这是一个二阶常系数微分方程，它的解为：u(x)= Aei(α-k)x + Be-i(α+k)xry (x)= Aeia-x + Be-iα-x其中AB都是任意常数。这个区域内的本征函数是向右和向左行进的平面波的线性组合。而能量：h?α?E:2m
1. 在区域 ： 0 < < x a 0 U = 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 d d 2 2 0 d d ux ux m ik E k u x x x ⎡ ⎤ + +− = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 令： 2 2 2mE = α = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 d d 2 0 d d ux ux ik k u x x x + +− = ⎡ ⎤ α⎣ ⎦ 这是一个二阶常系数微分方程，它的解为： ( ) i kx i kx ( ) ( ) u x Ae Be α α − −+ = + 其中A,B都是任意常数。这个区域内的本征函数是向右 和向左行进的平面波的线性组合。而能量： 2 2 2 E m α = = ( ) ix ix x Ae Be α α ψ ⋅ − ⋅ = +
2.在区域：-b<x<0d’u(x)du(x)2m+2ikkz)=(71dx?dxh2mU。-α?2mE<U.R-E)h?h?du(x)du(x)β2 +k2|u(x)= 0+2ikdx?dxu(x) = Ce(B-ik)x + De-(β+ik)r其解：y(x)=CeBx + De-βx所以有:同样C,D都是任意常数。h’β?U。-E:2m
2. 在区域： −< < b x 0 ( ) ( ) ( ) () 2 2 2 2 0 d d 2 2 0 d d ux ux m ik E U k u x x x ⎡ ⎤ + + −− = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ( ) 2 2 0 2 2 0 2 2 m mU β = U E −= −α = = E U< 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 d d 2 0 d d ux ux ik k u x x x + −+ = ⎡ ⎤ β⎣ ⎦ 其解： ( ) ( ik x ik x ) ( ) u x Ce De β β − −+ = + 同样C,D都是任意常数。 ( ) x x x Ce De β β ψ − = + 2 2 0 2 U E mβ − = = 所以有： 令：
Uo(a+b)-boaa+b我们希望得到具有(x)=eikxu(x)Bloch形式的完全解。如此一来，在区间a<x<a+b内的解应当通过Bloch定理与区间-b<x<0内的解联系起来：y(x+a+b)=eik:(a+b)y(x)它可以用来确定作为指标标识这个解的波失k。所以在区间a<x<a+b 内y (x) =(CeB(x-a-b) + De-β(x-a-b)ei(a+b)
我们希望得到具有 Bloch形式的完全解。 如此一来，在区间a<x<a+b内的解应当通过Bloch定理 与区间-b<x<0内的解联系起来: ( ) ( ) ik x ψ x e ux ⋅ = ( ) ( ) ik a b ( ) ψ xab e x ψ ⋅ + ++ = 它可以用来确定作为指标标识这个解的波矢k。 所以 在区间 内 a xab < < + ( ) ( ) ( ) () ( ) β β ψ − − − −− + = + x a b x a b ik a b x Ce De e
dy对整个系统而言，两个区域的波函数y,dx在x=0,x=a处应是连续的，这就需要对A、B、C、D四个系数做选择。在×=O处有：A+B=C+Diα(A-B)= β(C-D)在x=a处有：: Aeia +Be-ia =(Ce-b+Depb)e(a+b)iα(Aeia - Be-iaa)= β(Ce-Bb - DeB")e*k(ab)
对整个系统而言，两个区域的波函数 在 x = 0, x = a 处应是连续的，这就需要对 A 、 B 、 C 、 D 四 个系数做选择。 d , dx ψ ψ 在 x = 0 处有： ( )( ) ABCD i AB CD α β + = + −= − 在 x = a 处有： ( ) ( ) ( )( ) ( ) ia ia b b ik a b ia ia b b ik a b Ae Be Ce De e i Ae Be Ce De e α α ββ α α ββ α β − − + − − + += + −= −
只有当A,B,C,D的系数行列式为零时，四个方程才有解：求解从略。β?-α2sinh(Bb)sin(αa)+cosh(Bb)cos(αa)=cos(ka+kb2αβ其中, cosh(x)=(e*+e-*)/2,sinh(x)=(e*-e-*)/2由此式可以计算出能量E对波k的色散关系cos(ka+kb)取值只能在-1和+1之间，因此上式左边将对能量取值有所限制，一些能量取值将被禁止，从而形成能带
只有当A,B,C,D的系数行列式为零时，四个方程才有解： 求解从略。 2 2 sinh( )sin( ) cosh( )cos( ) cos( ) 2 b a b a ka kb β α βα β α αβ − + =+ cosh( ) ( ) / 2,sinh( ) ( ) / 2 xx xx x ee x ee − − =+ =− 由此式可以计算出能量E对波矢k的色散关系 其中， cos(ka+kb)取值只能在-1和+1之间，因此上式左边将对 能量取值有所限制，一些能量取值将被禁止，从而形成 能带
EBand 4ABand31Band 2Free particleUo-Band1A02折-4m-2T3元4T-370-Ta+ba+6a+ha+b4+bhQ+a+ba+bZone2Zone1Zone 2
Blakemore书也介绍了这个模型20p213给出了p=2的结果。15()/310S(,ez/,=)osnl512元3元4元元4ka图6在克勒尼希一彭尼势场中的能量关于波数的关系曲线，其中P=3元/2。请注意在ka=元，2元，3元，*处出现的能隙。极限情形（b=0,U。=o）0-lam/aReducedWaveVectorkFigure 3-27 A reduced-zone representation of energy versus wave-vector for the见Kittel8版p121Kronig-Penney model when P=2 (as was chosen in Figure 3-26).The corespondingcurves forP --o (free electrons)are shownasdashed curves
见 Kittel 8版 p121 Blakemore 书也介绍了这个模型， p213 给出了p=2 的结果。 极限情形（b=0, U0=∞）