正弦定理余弦定理 距离 高度 角度
距离 高度 角度
例1.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为195m,AB与水平线之间的夹角为 6°20°,AC长为140m,计算BC的长(精确到0.01m) (1)什么是最大仰角? (2)例题中涉及一个怎样的三角 C 形?在△ABC中已知什么,要求什么? 6062 B ⊙ B
例1．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’ ，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 60 20 （1）什么是最大仰角？ 最大角度 （2）例题中涉及一个怎样的三角 形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？ C A B
练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为195m,AB与水平线之间的夹角为 6°20°,AC长为140m,计算BC的长(精确到0.01m) 已知△ABC中AB=195m,AC=140m, 夹角∠CAB=66°20’,求BC 解:由余弦定理,得 C BC2=AB2+AC2-2AB AC COs A 6062 1.952+1.402-2×1.95×1.40×c0s66°20′4 B ⊙ ∴BC≈189(m) 答:顶杆BC约长189m。 B
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’ ，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 60 20 最大角度 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m， 夹角∠CAB＝66°20′ ，求BC． 解：由余弦定理，得 3.571 1.95 1.40 2 1.95 1.40 cos 66 20 2 cos 2 2 2 2 2 = = + − = + − BC AB AC AB AC A BC 1.89(m) 答：顶杆BC约长1.89m。 C A B
例2AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物 的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法 分析:由于建筑物的底部B 是不可到达的,所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识,只要能 测出一点C到建筑物的顶部 G A的距离cA,并测出由点C 观察A的仰角,就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长
例2 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长
例2AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物 的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法 解:选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在HG两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α,β,cD=a,测角仪 器的高是h那么,在∠AcD中,然 B.arp 根据正弦定理可得 AC B sin(a-B) AB=AE +h= AC sina +h=asinasin +h sin(a-B)
sin( ) sin − = a AC h a AB AE h AC h + − = + = + = sin( ) sin sin sin 解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 器的高是h.那么，在⊿ACD中， 根据正弦定理可得 例2 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
变式训练:在山顶铁塔上B处测 得地面上一点A的俯角a=54°40, 在塔底c处测得A处的俯角β= 50°1。已知铁塔Bc部分的高为 C 273m,求出山高cD精确到1m) 分析:根据已知条件,应该设 法计算出AB或Ac的长 D 解:在∠ABC中, 图1.2-5 ∠BCA=90°+阝, ∠ABc=90°-0,∠BAC=a阝,BC AB ∠BAD=α根据正弦定理, sin(a-B)sin(90+B)
变式训练： 在山顶铁塔上B处测 得地面上一点A的俯角α＝54°40′ ， 在塔底C处测得A处的俯角β＝ 50°1′。已知铁塔BC部分的高为 27.3m，求出山高CD(精确到1m) 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长 解：在⊿ABC中， ∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理， sin( ) sin(90 + ) = − BC AB
所以,AB BCsin(90+B) BC cos B sin(a-B) sin(a-B) 解R△ABD,得 BD= ABsin∠BAD BC cos Sina sin(a-B) 27.3cos 501 sin 5440 Sin(540-501) ≈177(m) cD=BDBC≈177273=150m) 答:山的高度约为150米
177( ) sin(54 40 50 1) 27.3cos 50 1 sin54 40 sin( ) cos sin sin , ' ' ' ' m BC BD AB BAD Rt ABD − = − = = 解 得 CD=BD-BC≈177-27.3=150(m) 答：山的高度约为150米。 sin( ) cos sin( ) sin(90 ) − = − + = BC BC AB 所以
解应用题的基本思路 实际问题抽象概括 数学模型 示意图 推演 理算 实际问题的解原说明 数学模型的解
实际问题 抽象概括 示意图 数学模型 推 理 演 算 实际问题的解 数学模型的解 还原说明 解应用题的基本思路
例6一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行540n mile后到达海岛C如果下次航行直接从A出发到达c此船应该 沿怎样的方向航行,需要航行多少距离(角度精确到0.1°,距 离精确到0.01 n mile)? 北 解:在∠ABC中,∠ABc= 西士东 75 B 180°-75°+32°=137°, 根据余弦定理, 南 AC=√AB2+BC2-2AB× BC cOs∠ABC =√67.52+54.02-2×67.5×540cos137° ≈113.15
例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile 后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该 沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1° ,距 离精确到0.01n mile）? 解：在⊿ABC中，∠ABC＝ 180°－75°＋32°＝137° ， 根据余弦定理， 113.15 67.5 54.0 2 67.5 54.0cos137 2 cos 2 2 2 2 = + − = + − AC AB BC AB BC ABC
根据正弦定理, BC AC sin∠ CAB sin∠ABC BC sin∠ABC 北↑南 sin∠CAB Ac 54.0sinl37 113.15 ≈0.3255 所以,∠CAB=190 75°-∠CAB=56.0 答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行11315 n mile
0.3255, 113.15 54.0sin137 sin sin sin sin = = = AC BC ABC CAB ABC AC CAB BC 根据正弦定理， 所以，∠CAB=19.0° , 75°－∠CAB=56.0°. 答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15n mile