第8章存储论 8.1存储问题 每一个企业在生产经营活动中都会遇到存储问题。一般情况下,企业的生产活动都 是按流水作业原理进行安排的,因此必须存储一定量的原材料、燃料、外构件(或称半 成品),以保证生产的连续性。随着生产活动的进行,不断消耗库存“物资”,产出成品, 共给其他企业生产消费,或者满足人民的个人生活消费需要。当存储物资减少到一定程 度时,又需要补充以便保证下一阶段生产的正常进行。从生产的角度考虑,存储物资“多 多益善”,然而这样做又要增加仓库面积、增大存储费用,又要占用大量的流动资金, 从而导致产品成本的提高,因此并非可取之策。与之相反,为了降低产品成本,尽可能 减少存储“物资”。而且在现代化管理方法中,还提出了前后生产工序之间实行“零存 储”的问题,即前道工序的产品作为下道工序的“原料”供给时,是按照下道工序提出 的需要来安排生产的,需要多少生产多少。但是,在实际生活中影响因素繁多,诸如原 料产地,运输条件,气候变化,采购及运输的批量,另外如供电、机器设备、工人情绪 等等,都随时影响到“及时供应”的问题,所以存储越少越好也绝非最优之策之于“零 存储”,目前只用于某些生产的工序之间,作为供应社会的最终产品,很难作到“零存 储”。因而存储多少最为理想是人们共同关心的问题。从另一角度考虑,在生产之前, 要进行生产准备,安装,调整机器,需要花费一定(安装)费用,在机器运转之后,究 竟一次生产多少产品为好?就安装费而言,一次的产量自然是越多越好,但另一方面, 次的产量过多,则需大量的仓库存放。因而是存储费用增加。相反,若一次生产量太 少,虽然可以减少存储费,但这样不仅单位产品费用增加,有时会发生缺货现象而造成 缺货损失。一般来说,存储“物资”多少,或者安排生产量多少,应满足各种费用总期 望值达到最小 企业的“物资”存储,一般引起以下一些费用 1.存储费:它是物资在存储期间应支付的仓库管理费、仓库保险费以及因存储时 间过久而变质或损坏等所支出的费用。例如水泥因存储时间长而降低标号等。 2.建立费:它包括物资存储中的购置(或称订货)手续费,该项费用的大小不随 购买物资的多少而变化,仅随购买物资的次数而变动。还包括自行生产储备物资时(半 成品)时花费在安装机器、设备、准备工作等方面的费用。他的大小与每批的产量无关 只随生产的批数而变化。有人称建立费为“安装费”,也有人把建立费分为订货费和生 产费两项。 3.缺货损失费:当存储物资不足、发生供应中断、因停工待料或因失去销售机会
第 8 章 存储论 8.1 存储问题 每一个企业在生产经营活动中都会遇到存储问题。一般情况下，企业的生产活动都 是按流水作业原理进行安排的，因此必须存储一定量的原材料、燃料、外构件（或称半 成品），以保证生产的连续性。随着生产活动的进行，不断消耗库存“物资”，产出成品， 共给其他企业生产消费，或者满足人民的个人生活消费需要。当存储物资减少到一定程 度时，又需要补充以便保证下一阶段生产的正常进行。从生产的角度考虑，存储物资“多 多益善”，然而这样做又要增加仓库面积、增大存储费用，又要占用大量的流动资金， 从而导致产品成本的提高，因此并非可取之策。与之相反，为了降低产品成本，尽可能 减少存储“物资”。而且在现代化管理方法中，还提出了前后生产工序之间实行“零存 储”的问题，即前道工序的产品作为下道工序的“原料”供给时，是按照下道工序提出 的需要来安排生产的，需要多少生产多少。但是，在实际生活中影响因素繁多，诸如原 料产地，运输条件，气候变化，采购及运输的批量，另外如供电、机器设备、工人情绪 等等，都随时影响到“及时供应”的问题，所以存储越少越好也绝非最优之策之于“零 存储”，目前只用于某些生产的工序之间，作为供应社会的最终产品，很难作到“零存 储”。因而存储多少最为理想是人们共同关心的问题。从另一角度考虑，在生产之前， 要进行生产准备，安装，调整机器，需要花费一定（安装）费用，在机器运转之后，究 竟一次生产多少产品为好？就安装费而言，一次的产量自然是越多越好，但另一方面， 一次的产量过多，则需大量的仓库存放。因而是存储费用增加。相反，若一次生产量太 少，虽然可以减少存储费，但这样不仅单位产品费用增加，有时会发生缺货现象而造成 缺货损失。一般来说，存储“物资”多少，或者安排生产量多少，应满足各种费用总期 望值达到最小。 企业的“物资”存储，一般引起以下一些费用： 1. 存储费：它是物资在存储期间应支付的仓库管理费、仓库保险费以及因存储时 间过久而变质或损坏等所支出的费用。例如水泥因存储时间长而降低标号等。 2. 建立费：它包括物资存储中的购置（或称订货）手续费，该项费用的大小不随 购买物资的多少而变化，仅随购买物资的次数而变动。还包括自行生产储备物资时（半 成品）时花费在安装机器、设备、准备工作等方面的费用。他的大小与每批的产量无关， 只随生产的批数而变化。有人称建立费为“安装费”，也有人把建立费分为订货费和生 产费两项。 3. 缺货损失费：当存储物资不足、发生供应中断、因停工待料或因失去销售机会
而造成损失,统称为缺货损失费 企业存储物资所采用的方法,通常有以下几种 1.一次存储法:把一定时期中所需要的物资,一次性采购集合,储备起来供应需要 2.多次存储法:把一定时期中所需要的物资,分几次采购,储备供应。 3.定时存储法:定期的检査物资的储备量并加以补充,是储备量总是保持在一定数 量水平上。 4.定量存储法:即储备的物资费分为经常储备和保险储备两部分,每当经常储备用 完,开始动用保险储备时,就补充以定量物资 5.S-s存储法:大S代表最大存储量或最高存储水平,小s表示最低存储水平。当 定期检査时,发现存储量小于小s或等于小s时,就补充储备额,使其恢复到最高存储 水平。 在研究存储方法的时候,又是必须考虑限制条件,例如仓库容积、物资的筹集时间 等。当存储量和库容量相比很小时,物资筹集时间很短且很容易,都可以满足要求时, 这方面的限制条件就可以忽略不计了 确定存储方法和数量等有关问题时,应该把实际问题抽象为数学模型。在形成模型 过程中,对一些复杂的条件尽可能加以简化,使其能反映问题的本质就可以了。然后对 数学模型用数学方法加以研究,得出相应的数量结论。这种数量结论是否正确,还要拿 到实践中加以检验,如果结论与实际不符,则要对模型重新加以硏究和修改。经过人们 的长期努力,已经得出一些行之有效的存储模型,大体上可以分为两类,一类为确定性 的,即模型中的数据皆为确定的;另一类成为随机的,即模型中含有随即变量。因此, 根据数学模型,存储可分为确定性存储和随即性存储。 8.2确定性存储模型 821不允许缺货 设某钢筋混凝土预制构件工厂在T时间内,按一定速度供应建筑工地R件成品,需 求是固定的且已知。假设缺货是绝对不允许的,因此,却活损失可以认为是无穷大 首先,我们分析这个问题。众所周知,混凝土制品成型必须有一段养护时间,由于 养护场地的限制,预制构件需成行一批养护一批,间断式的进行生产。设每批产量为q 件,在T时间内共生产n批制品,每批制品的生产周期为t,于是有: R 、TT* n R 当一批制品达到强度要求后,就可以以一定的速度开始向建筑工地供应,直到该批
而造成损失，统称为缺货损失费。 企业存储物资所采用的方法，通常有以下几种： 1.一次存储法：把一定时期中所需要的物资，一次性采购集合，储备起来供应需要。 2.多次存储法：把一定时期中所需要的物资，分几次采购，储备供应。 3.定时存储法：定期的检查物资的储备量并加以补充，是储备量总是保持在一定数 量水平上。 4.定量存储法：即储备的物资费分为经常储备和保险储备两部分，每当经常储备用 完，开始动用保险储备时，就补充以定量物资。 5.S-s 存储法：大 S 代表最大存储量或最高存储水平，小 s 表示最低存储水平。当 定期检查时，发现存储量小于小 s 或等于小 s 时，就补充储备额，使其恢复到最高存储 水平。 在研究存储方法的时候，又是必须考虑限制条件，例如仓库容积、物资的筹集时间 等。当存储量和库容量相比很小时，物资筹集时间很短且很容易，都可以满足要求时， 这方面的限制条件就可以忽略不计了。 确定存储方法和数量等有关问题时，应该把实际问题抽象为数学模型。在形成模型 过程中，对一些复杂的条件尽可能加以简化，使其能反映问题的本质就可以了。然后对 数学模型用数学方法加以研究，得出相应的数量结论。这种数量结论是否正确，还要拿 到实践中加以检验，如果结论与实际不符，则要对模型重新加以研究和修改。经过人们 的长期努力，已经得出一些行之有效的存储模型，大体上可以分为两类，一类为确定性 的，即模型中的数据皆为确定的；另一类成为随机的，即模型中含有随即变量。因此， 根据数学模型，存储可分为确定性存储和随即性存储。 8.2 确定性存储模型 8.2.1 不允许缺货 设某钢筋混凝土预制构件工厂在 T 时间内，按一定速度供应建筑工地 R 件成品，需 求是固定的且已知。假设缺货是绝对不允许的，因此，却活损失可以认为是无穷大。 首先，我们分析这个问题。众所周知，混凝土制品成型必须有一段养护时间，由于 养护场地的限制，预制构件需成行一批养护一批，间断式的进行生产。设每批产量为 q 件，在 T 时间内共生产 n 批制品，每批制品的生产周期为 st ，于是有： R n q = * s T T q t n R = = 当一批制品达到强度要求后，就可以以一定的速度开始向建筑工地供应，直到该批
产品供应完,才开始供应第二批达到强度要求的制品,如此循环,直到R件制品供应完 为止 为了方便,在不影响问题时至的情况下,我们假设每批产品的生产周期是从构件达 到强度要求而堆放的“仓库”开始,到该批产品供 应完为止。于是,我们的问题可以用图8-1表示。 可以看出,在期间,仓库中制品的平均存储,t-T 水平为9 图8-1 我们用C1表示在单位时间内,单位制品的存储 费,C表示生产每项制品的建立费,则在1,内的存储费用为 q 在每个生产周期发生的费用为存储费加安装费(建立费): qt, CI+C 于是在时间T内发生的总期望费用为 Gr=dqL, C+C)n=rg. q C+C=gTC,+ (8-1) 式(8-1)中的右边第一项表示存储的总 qTCI RCc 费用,第二项表示一切安装费用。很显然,Cr 第一项的存储费用随q而增加,第二项的存 储费用随q而减小。如图8-2所示。能使以 上两项费用之和达到最小的某一个q就是这 存储问题的解答。可以看出,这是一个简 q 单的求极值问题。 图8-2 将Cr对q微分并使之等于0: 0 (8-2) 因为 d-C 2RC > 0 所以,当q=q时,一定能使总期望费用达到极小值C7o。当q=q时,t,用t0表示
产品供应完，才开始供应第二批达到强度要求的制品，如此循环，直到 R 件制品供应完 为止。 为了方便，在不影响问题时至的情况下，我们假设每批产品的生产周期是从构件达 到强度要求而堆放的“仓库”开始，到该批产品供 应完为止。于是，我们的问题可以用图 8-1 表示。 可以看出，在 st 期间，仓库中制品的平均存储 水平为 2 q 。 我们用C 表示在单位时间内，单位制品的存储 费， 表示生产每项制品的建立费，则在 1 Cc st 内的存储费用为： q q 图 8-1 ts ts T ts q 1 2 s q i i t C 在每个生产周期发生的费用为存储费加安装费（建立费）： 1 1 2 t C q s s c = i i t C +C 于是在时间 T 内发生的总期望费用为： 1 ) 2 c Cc qTC q 1 1 = + 1 1 ( ) ( 2 2 T s c R q Tq RC G qt C C n C q R = + i i = i + （8-1） 式（8-1）中的右边第一项表示存储的总 费用，第二项表示一切安装费用。很显然， 第一项的存储费用随 q 而增加，第二项的存 储费用随 q 而减小。如图 8-2 所示。能使以 上两项费用之和达到最小的某一个 0 q 是这 个存储问题的解答。可以看出，这是一个简 单的求极值问题。 1 2 qTC RCc q + 1 2 qTC RCc q T C q 0 q 图 8-2 就 将CT 对q 微分并使之等于 0： 1 2 1 0 2 T c c dC RC T dq q = − = 得： 0 1 2RCc q TC = （8-2） 因为： 2 2 3 2 0 T RCc d C dq q = > 所以，当q = q0 时，一定能使总期望费用达到极小值CT 0 。当 0 q = q 时， st 用 s0 t 表示：
T 4o=(R (8-3) 那么,最小期望费用Co为 LocI RO 7C,2R +RO 2RC17C+一√RTCC (8-4) (8-4)式告诉我们,当存储费用和安装费用相等时,不允许缺货的存储模型,总 期望费用最小 例8.1某钢筋混凝土预制构件厂每年需将某种制品24000件供应建筑基地,已知需 求是固定的。建筑工地采用随运随吊装的施工方案,因此工厂必须将每日的需求量当天 供应,并且不允许缺货。每一制品每月存储费是0.10元,每一制造循环的安装费是350 元,试求每一制造循环中最优制品数量、相应的循环时间以及每年的最小总期望费用。 解:已知T=12(月) R=24000(件) C1=0.01(元/件月) C=350(元/批) 带入公式(8-2)、(8-3)用(8-4)得 q=3742(件/批) t。o=1.87(月)(或8.1周)C=4490(元) 822允许缺货 该模型中缺货费用不是无穷大,因而允许缺货。那么企业可以在存储下降至零后, 还可以等一段时间再生产(或进货)。这就意味着企业可以少付一些安装费(或订货费) 和存储费,对企业来说可能是有利的。该模型与模型1相比,仅有缺货损失费的区别外, 其余情况一样。 设S为每个时间区间,开始的存储水平。41为有货时间,2为缺货时间,(q-s)为 缺货量,C2为单位产品在单位时间内的缺货损失费。则在时间T内的存储情况可用图 8-3表示 图8-3
0 0 1 2 c s T TC t q R RC = = （8-3） 那么，最小期望费用CT 0 为： 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 c c T c c c RC RC RC C Tq C TC RC q TC TC RC TC RTC C RTC C = + = + = + = c c （8-4） （8-4）式告诉我们，当存储费用和安装费用相等时，不允许缺货的存储模型，总 期望费用最小。 例 8.1 某钢筋混凝土预制构件厂每年需将某种制品 24000 件供应建筑基地，已知需 求是固定的。建筑工地采用随运随吊装的施工方案，因此工厂必须将每日的需求量当天 供应，并且不允许缺货。每一制品每月存储费是 0.10 元，每一制造循环的安装费是 350 元，试求每一制造循环中最优制品数量、相应的循环时间以及每年的最小总期望费用。 解： 已知 T =12（月） R = 24000 （件） 1 C = 0.01（元/件月） 350 Cc = （元/批） 带入公式（8-2）、（8-3）用（8-4）得 0 0 3742 / 1.87 8.1 4490 s T q t C = = = （件 批） （月）（或 周） c （元） 8.2.2 允许缺货 该模型中缺货费用不是无穷大，因而允许缺货。那么企业可以在存储下降至零后， 还可以等一段时间再生产（或进货）。这就意味着企业可以少付一些安装费（或订货费） 和存储费，对企业来说可能是有利的。该模型与模型 1 相比，仅有缺货损失费的区别外， 其余情况一样。 设 S 为每个时间区间 st 开始的存储水平。t 1为有货时间，t2 为缺货时间，( ) q − s 为 缺货量， 为单位产品在单位时间内的缺货损失费。则在时间T 内的存储情况可用图 8-3 表示。 C2 t1 t2 t1 t2 t2 t1 t2 q s ts T 图 8-3 ts ts
在4中的平均存储水平为S2,平均存储费用为SC;在h2内的平均缺货量为 2(q-8),平均缺货损失费为(q-SH2C2,于是,在时间7内的总期望费用是: S4,C2+-(q-S)LC2+Cc 由图知t s 所以 R C,+ tC+c q 将模型一中关于,=带入上式,则得: C=[STC+(q-S)TC2+2RCcI 现在求出函数Cr的极小值。求偏导数: ISTC1-(9-s),] [STCI-[2q(a-s)-(q-S)TC2+2RC 等于零,则得 C2-(C1+C2)S 将以上两个联立方程得: C(C1+C2) C (8-6) CC? TC y C2 2RC C rCC C,+C a-C aC 当q=q,s=s0时,C达到极小值。将q代入有:
在t 1中的平均存储水平为 S /2，平均存储费用为 1 2 1 1 st C ；在t2 内的平均缺货量为 1 ( 2 q − s)，平均缺货损失费为 2 2 1 (q s − )t C 2 ，于是，在时间T 内的总期望费用是： 1 2 ( ) 2 2 1 1 2 2 C S T c t C q S t C C = + − + i n 由图知 1 s s t t q = ， 2 ( ) s q s t q − = t ，所以： 2 2 1 2 ( ) 2 2 T s s c S q s C t C t C C q q − = + + R q 将模型一中关于 s Tq t r = 带入上式，则得： 2 2 2 1 [ ( ) 2 2 C S T C TC q S TC RC q = + − + ] 现在求出函数CT 的极小值。求偏导数： 1 2 1 [ ( ) CT STC q s TC S q ∂ = − − ∂ ] 2 2 1 2 1 [ [2 ( ) ( ) ] 2 2 T c C STC q q s q S TC RC q q ∂ = − − − − − + ∂ 等于零，则得： 2 1 2 C S q C C = + i 2 2 2 1 2 2 ( ) RCc q C C C S T − + = 将以上两个联立方程得： 1 2 1 0 1 2 1 2 2 ( ) 2 RCc C C RCc C C q TC C TC C + + = = 2 （8-6） 2 2 0 1 1 2 1 1 2 2 2 ( ) RCcC RCc C s TC C C TC C C = = + + （8-7） 因 2 2 0 CT s ∂ > ∂ ， 2 2 0 CT q ∂ > ∂ ，故 当q q = 0 ,s = s0 时，CT 达到极小值。将q0代入有：
74o27C(C1+C2)|2RC IS (8-8) RC C2 于是总期望费用 S27℃C1,(q0-S0)7C2,2RC c=√2RTCC (8-9) 可以看出,模型二比模型一仅多一项: yCI+C2 由于 所以,模型二(允许缺货)比模型一的总期望费用小。 例8.2某商店经过预测,在一年内需要进某种货物12000件,预计每件货物月存储 费为5角,如果发生缺货时,每件每月可造成损失1.5元。在每次订货费30元的情况下, 试求S0,S,Gn。 解:利用公式 2RC C 2×12000×30×15 S (C1+C2) 12×05×=300(件) 2T℃0(C1+C2) =04(月) RC,C2 V12000×0.5×1.5 2RCCC22×12000×12×0.5×1.5×30 1800(元) Cl+C 0.5+1.5 答:订货周期为04个月,存储水平为300件,总期望费用为18000元 例83将例1增加一个可以缺货的条件,每单位制品每月的缺货损失费假定为02 元,试求所需指标。 解: 1.225 =0.816 所以:q0=3742×1.225=4583(件/每批) s=187×1225=229(月) S0=3742×0.8167=3056(件)
0 0 1 2 1 0 1 2 1 2 2 ( ) 2 Tq TC C C RCc C C ts R RC C TC C + + = = = 2 （8-8） 于是总期望费用： 0 2 0 1 0 0 2 2 1 0 0 0 1 ( ) 2 2 2 2 2 c T c S TC q S TC RC C G R q q q C − = + + = + 2 TC C C （8-9） 可以看出，模型二比模型一仅多一项： 2 1 2 C C C+ 由于 2 1 2 1 C C C < + 所以，模型二（允许缺货）比模型一的总期望费用小。 例 8.2 某商店经过预测，在一年内需要进某种货物 12000 件，预计每件货物月存储 费为 5 角，如果发生缺货时，每件每月可造成损失 1.5 元。在每次订货费 30 元的情况下， 试求ts0 ，S0 ，GT0 。 解：利用公式 2 0 1 1 2 2 2 12000 30 1.5 300 ( ) 12 0.5 2 RCcC s TC C C × × × = = + × × = （件） 0 1 2 0 1 2 2 ( ) 2 12 30 2 0.4 12000 0.5 1.5 TC C C ts RC C + × × × = = × × = （月） 0 1 2 1 2 2 2 12000 12 0.5 1.5 30 1800 0.5 1.5 c T RC C C G C C × × × × × = = + + = （元） 答：订货周期为 0.4 个月，存储水平为 300 件，总期望费用为 18000 元。 例 8.3 将例 1 增加一个可以缺货的条件，每单位制品每月的缺货损失费假定为 0.2 元，试求所需指标。 解： 1 2 2 C C C + = 3 2 =1.225 2 1 2 C C C+ = 2 3 =0.816 所以： q0 = 3742×1.225=4583（件/每批） 0 ts =1.87×1.225=2.29（月） 0 s =3742×0.8167=3056（件）
in=4490×0.8167=3667(元/年) 可以看出,由于允许缺货,生产周期增长,每批产品产量增加,存储水平有所降低, 相应总期望费用也在减少。 8.3随机性存储模型 1.列表求解随机离散存储问题 设某企业需要某种配件,每天可能用量为0至5件,每件的购买成本为2元,若缺 件则损失收益5元。若不用则需要保管费为每件每天1元,根据以往统计资料,每 种可能用量发生的概率如表8-12所示。 表8-1 需用量012 概率005 0.15 0301015 0150.10 试求其最低成本的采购决策。 解:由题知,建立费为C=2元,缺货损失费C2=5元,存储费为C1=1元,若s为 采购量,n为需用量,相应概率为P(m),则根据题意可列出采购决策成本表(8-2)。 由表(8-2)知,采购量和需用量相当时,成本最低。但由于需要是随机的,我们 只能根据不同需要量的概率确定不同决策的期望成本,从中选择最优采购决策。 表82 0 2 5 0 6 2345 15 32727 9 398761 10 12 25 22 19 13 10 采购决策的期望成本 表83 P(n) 0.05 0 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0 0.75 0.30 0.75 1.20 1.65 2.10 0.25 2 2.50 17 100 2.50 3.2: 0.15 2.10 1.65 1.20 0.10 2.50 1.90 1.60 1.30 1.00 总期望成本 13.25 10.55 8.75 8.45 9.95 12.35
T0 G =4490×0.8167=3667（元/年） 可以看出，由于允许缺货，生产周期增长，每批产品产量增加，存储水平有所降低， 相应总期望费用也在减少。 8.3 随机性存储模型 1.列表求解随机离散存储问题 设某企业需要某种配件，每天可能用量为 0 至 5 件，每件的购买成本为 2 元，若缺 一件则损失收益 5 元。若不用则需要保管费为每件每天 1 元，根据以往统计资料，每一 种可能用量发生的概率如表 8-12 所示。 表 8-1 需用量 0 1 2 3 4 5 概率 0.05 0.15 0.25 0.30 0.15 0.10 试求其最低成本的采购决策。 解：由题知，建立费为Cc = 2元，缺货损失费C2 = 5 元，存储费为C 元，若 为 采购量， 为需用量，相应概率为 ，则根据题意可列出采购决策成本表（8-2）。 1 =1 s n P n( ) 由表（8-2）知，采购量和需用量相当时，成本最低。但由于需要是随机的，我们 只能根据不同需要量的概率确定不同决策的期望成本，从中选择最优采购决策。 表 8-2 0 1 2 3 4 5 0 0 3 6 9 12 15 1 5 2 5 8 11 14 2 10 7 4 7 10 13 3 15 12 9 6 9 12 4 20 17 14 11 8 11 5 25 22 19 16 13 10 n 成本 S 采购决策的期望成本 表 8-3 P(n) 0 1 2 3 4 5 0.05 0 0 0.15 0.30 0.45 0.60 0.75 0.15 1 0.75 0.30 0.75 1.20 1.65 2.10 0.25 2 2.50 1.75 1.00 1.75 2.50 3.25 0.30 3 4.50 3.60 2.70 1.80 2.70 3.60 0.15 4 3.00 2.55 2.10 1.65 1.20 1.65 0.10 5 2.50 2.20 1.90 1.60 1.30 1.00 总期望成本 13.25 10.55 8.75 8.45 9.95 12.35 n 成本 S
现在观察表8-3,它告诉我们,当采购决策为3件时,总期望成本是845,达到最 低值,一因而,为最优采购决策。 2.应用数学模型求解 设某建筑工地即将订购一台新的发电 表8-4 机,发电机中某一主要部件构造复杂,价格所需备「需要第一「出现第一列所需 亦昂贵,该主件除连同发QQ电机购买外,用主件列个数的数目的概率统计 以后单独订购不合实际,因为每一主件都是 个数发电机数 (值) 0 与其特定的发电机配合而不能用于其它不同 0.05 的发电机上。现在建筑工地需要知道在订购 0.02 发电机究竟应该订购多少个备用的主件?以 0.01 下资料可供参考:主件与发电机同时订购时 0.01 0.01 为500元一件,如果主件损坏而又无备件时,6个以上 0.00 则整个发电机将完全停产,因此所受到的损 失再加上特别订购主件的费用之和是1000元,以前曾对100个同类型的发电机这类主 件损坏情况作过统计,资料如表8-4所示。 设存储主件的备件个数为S,需要使用主件的个数为n,其相应的概率P(n)为已知, 且∑P(n)=1。于是存储s个备件的费用: (1)存储费用大于需要,即s>n,这是工地要支付存储费用: (S-n).C (2)需要大于存储,即sS 或若n=S时,则期望费用为零 总期望费用则是关于n的一切可能值。先求其相应的期望费用,然后相加而得。综合上 述两类情况,关于存储s个备件的总期望费用为: Cr=C∑p(nS-n)+C2∑p(n)n-s) 8-10)
现在观察表 8-3，它告诉我们，当采购决策为 3 件时，总期望成本是 8.45，达到最 低值，一因而，为最优采购决策。 2．应用数学模型求解 设某建筑工地即将订购一台新的发电 机，发电机中某一主要部件构造复杂，价格 亦昂贵，该主件除连同发 QQ 电机购买外， 以后单独订购不合实际，因为每一主件都是 与其特定的发电机配合而不能用于其它不同 的发电机上。现在建筑工地需要知道在订购 发电机究竟应该订购多少个备用的主件？以 下资料可供参考：主件与发电机同时订购时 为 500 元一件，如果主件损坏而又无备件时， 则整个发电机将完全停产，因此所受到的损 失再加上特别订购主件的费用之和是 10000 元，以前曾对 100 个同类型的发电机这类主 件损坏情况作过统计，资料如表 8-4 所示。 表 8-4 所需备 用主件 个数 需要第一 列个数的 发电机数 出现第一列所需 数目的概率统计 （值） 0 90 0.90 1 5 0.05 2 2 0.02 3 1 0.01 4 1 0.01 5 1 0.01 6 个以上 0 0.00 设存储主件的备件个数为 S，需要使用主件的个数为 n，其相应的概率 为已知， 且 。于是存储 个备件的费用： P n( ) 0 ( ) 1 n P n ∞ = ∑ = s （1） 存储费用大于需要，即s > n，这是工地要支付存储费用： 1 ( ) S n − iC （2）需要大于存储，即s 或若n = S 时，则期望费用为零。 总期望费用则是关于 的一切可能值。先求其相应的期望费用，然后相加而得。综合上 述两类情况，关于存储 个备件的总期望费用为： n s C C1 2 （8-10） 0 1 ( )( ) ( )( ) T n n S p n S n C p n n s ∞ ∞ = = + = − ∑ + ∑ −
由于计算总期望费用比较繁琐,特别是当n很大而起概率热不为零时,计算工作量仍很 大,所以这里采取下列方法求解: C n)0 (C1+C2∑p(n)+C2>0 (8-13) 换个写法:∑p(n)> ∑p(n)< p(n) ∑p(n) 当S满足下式时∑p<C2∠Sp(m),则有:C7(s+1)=C(S) C,+C 此时S和S3+1两个都是S的最优解。同理可由∑(m)<n<风
由于计算总期望费用比较繁琐，特别是当 很大而起概率热不为零时，计算工作量仍很 大，所以这里采取下列方法求解： n 1 0 ( ) s n p n − = ∑ 2 1 2 0 ( ) S n C p n C C = 0 ，所以 1 2 0 ( 1) ( ) ( ) S T T n C S C C C p n C = + = + + ∑ − 相似地计算，可得： 1 1 2 0 1 2 2 0 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 S T T n S n C S C C C p n C C C p n C − = = − = − + + + − > ∑ ∑ （8-12） 1 1 2 2 0 ( ) ( ) S n C C p n C − = + ∑ + （8-13） 换个写法： 2 0 1 2 ( ) S n C p n = C C > + ∑ 1 2 0 1 2 ( ) S n C p n C C − = < + ∑ 即： 1 2 0 0 1 2 ( ) ( ) s s n n C p n p C C − = = < < + ∑ ∑ n 当S0 满足下式时 0 0 1 2 0 0 1 2 ( ) ( ) s s n n C p n p C C − = = < < + ∑ ∑ n ，则有： ) 0 0 ( 1) ( C s T T + = C S 此时S0 和S0 +1两个都是S 的最优解。同理可由 0 0 1 2 0 0 1 2 ( ) ( ) s s n n C p n p C C − = = < < + ∑ ∑ n
得到:Cr(S0-1)=C7(S0) 这时s的最优解为s和s-1。 表85 于是利用式(8-2)和下面的表8-5,就可以 解决我们前面所提出的问题 P(n)∑Pm 这里我们设C1=500元,C2=10000元 0.900.90 0050.95 则 10000 C1+C2500+100.952 S012345 0.01 0010.99 有公式∑p(m)<0.952<∑p(m)和表85知, 0.01 6个以上 0.00 1.00 S的最有值为2,即s0=2。 3.需求是随机连续的 该问题与前面介绍的随机存储模型的不同之处,仅在于物资的需求量x是连续变 量。假设n的概率密度函数为f(x),则物资的需要量在x与x2二数之间的概率可用积分 表示 f(xdx 需要量小于或等于某一数量S的概率是 f(x)dx= F(s) 这里费用方程的导出与前面提到的相似,我们只讲方程式(8-10)中的p(n)换成f(x)x, 再将符号∑换积分号就行了。 Cr=CL(s-x)f(x)dx+C2(x-s)f(x)dx (8-19) 当S的合理值满足条件 F(S)=fo f(r)dr= C (8-20) C,+C 时,C达最小 则(8-20)式可以写成 (8-21) F(s0) 该式的实际意义是,在最优的情况下,需求比最优存储水平的概率与需求比存储水平达
得到： 0 0 ( 1) ( ) C s T T − = C S 表 8-5 S n P(n) 0 ( ) s ∑P n 0 90 0.90 0.90 1 5 0.05 0.95 2 2 0.02 0.97 3 1 0.01 0.98 4 1 0.01 0.99 5 1 0.01 1.00 6 个以上 0 0.00 1.00 这时s 的最优解为s0和s0 −1。 于是利用式（8-2）和下面的表 8-5，就可以 解决我们前面所提出的问题。 这里我们设C1 = 500 元，C2 =10000元 则 2 1 2 10000 500 10000 C C C = + + = 0.952 有公式 1 0 0 ( ) 0.952 ( ) s s n n p n − = = ∑ < < 0 s = 2 ∑ p n 和表 8-5 知， S 的最有值为 2，即 。 3．需求是随机连续的 该问题与前面介绍的随机存储模型的不同之处，仅在于物资的需求量 x 是连续变 量。假设n 的概率密度函数为 f (x) ，则物资的需要量在 1 x 与 2 x 二数之间的概率可用积分 表示： 2 1 ( ) x x f x dx ∫ 需要量小于或等于某一数量S 的概率是： 0 ( ) ( ) s f x dx = F s ∫ 这里费用方程的导出与前面提到的相似，我们只讲方程式（8-10）中的 p(n)换成 f ( ) x dx ， 再将符号∑换积分号就行了。 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) s T s C C s x f x dx C x s f x d ∞ = − + − ∫ ∫ x （8-19） 当 S 的合理值满足条件 2 0 1 2 ( ) ( ) s C F S f x dx C C = = + ∫ （8-20） 时，CT 达最小。 则（8-20）式可以写成 ( ) ( ) 0 0 1 F s − F s 2 1 C C = （8-21） 该式的实际意义是，在最优的情况下，需求比最优存储水平的概率与需求比存储水平达