第十章协方差分析 第一节协方差分析的意义 上一张下一张主页退出
第十章 协方差分析 第一节 协方差分析的意义 上一张 下一张 主 页 退 出
协方差分析有二个意义，一是对试验进行 统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分 述如下。 对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性， 对处理 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制 但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使 试验控制达到预期目的。例如：研究几种配合 饲料对猪的增重效果，希望试验仔猪的初始重 相同，因为仔猪的初始重不同，将影响到猪的 增重。经研 一张下一张主页退出
协方差分析有二个意义 ， 一是对试验进行 统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分 述如下。 一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性 ，对处理 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。 但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使 试验控制达到预期目的。例如：研究几种配合 饲料对猪的增重效果，希望试验仔猪的初始重 相同，因为仔猪的初始重不同，将影响到猪的 增重。经研 上一张 下一张 主 页 退 出
发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。但 是，在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相同 这一要求。这时可利用仔猪的初始重（记为x)与 其增重（记为）的回归关系，将仔猪增重都矫正 为初始重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪 增重的影响就消除了。由于矫正后的增重是应用 统计方法将初始重控制一致而得到的，故叫统计 控制。统计控制是试验控制的一种辅助手段。经 过这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效应 上一张下一张主页退出
发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。但 是，在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相同 这一要求。 这时可利用仔猪的初始重(记为x)与 其增重(记为y)的回归关系， 将仔猪增重都矫正 为初始重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪 增重的影响就消除了。由于矫正后的增重是应用 统计方法将初始重控制一致而得到的，故叫统计 控制。统计控制是试验控制的一种辅助手段。经 过这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效应 上一张 下一张 主 页 退 出
估计更为准确。若y的变异主要由x的不同造成 (处理没有显著效应)，则各矫正后的y'间将没有 显著差异（但原y间的差异可能是显著的）。若y 的变异除掉x不同的影响外， 尚存在不同处理的 显著效应，则可期望各间将有显著差异（但原 y间差异可能是不显著的)。此外，矫正后的'和 原y的大小次序也常不一致。所以，处理平均数 的回归矫正和矫正平均数的显著性检验，能够提 高试验的准确性和精确性，从而更真实地反映试 验实际。这种将回归分析与方差分析结合在一起， 对试验数据进行分析的方法，叫做协方差分析 (analysis of covariance)
估计更为准确。若 y 的变异主要由x的不同造成 (处理没有显著效应)，则各矫正后的 间将没有 显著差异(但原y间的差异可能是显著的)。若 y 的变异除掉x不同的影响外， 尚存在不同处理的 显著效应，则可期望各 间将有显著差异 (但原 y间差异可能是不显著的)。此外，矫正后的 和 原y的大小次序也常不一致。所以， 处理平均数 的回归矫正和矫正平均数的显著性检验，能够提 高试验的准确性和精确性，从而更真实地反映试 验实际。这种将回归分析与方差分析结合在一起， 对试验数据进行分析的方法，叫做协方差分析 (analysis of covariance)。 y y y y
二、 估计协方差组分 在第八章曾介绍过表示两个相关变量线性相 关性质与程度的相关系数的计算公式： ∑（(x-y-列 ∑x-2∑0-)2 若将公式右端的分子分母同除以自由度(n 1),得 ∑(x-y-)(n-1) (10-1) /(n 上一张下一张主页退出
二、估计协方差组分 在第八章曾介绍过表示两个相关变量线性相 关性质与程度的相关系数的计算公式： 若将公式右端的分子分母同除以自由度(n- 1)，得 （10-1） − − − − = 2 2 ( ) ( ) ( )( ) x x y y x x y y r − − − − − − − = ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )( ) /( 1) 2 2 n y y n x x x x y y n r 上一张 下一张 主 页 退 出
其中 ∑(x-)月 是x的均方MSx,它是x的 n-l 方差σ的无偏估计量； ∑y-列2 是y的均方MSy,它是y的 n-] 方差G的无偏估计量；
其中 是x的均方MSx，它是x的 方差 的无偏估计量； 是y的均方MSy，它是y的 方差 的无偏估计量； 1 ( ) 2 − − n x x 2 x 1 ( ) 2 − − n y y 2 y
∑Gx-y-列 称为x与y的平均的离均差 n-l 的乘积和， 简称均积，记为MPxy,即 MP ∑(x-y-) n-1 ∑- ∑x∑) (10-2) n n-1
1 ( )( ) − − − n x x y y 称为x与y的平均的离均差 的乘积和，简称均积，记为MPxy，即 1 ( )( ) − − − = n x x y y MPxy 1 ( )( ) − − = n n x y x y （10-2）
与均积相应的总体参数叫协方差 (covariance),记为COV(xy)或o,。统 计学证明了，均积MPxy是总体协方差COV(X,y) 的无偏估计量，即EMPxy-=COV(x,Y. 于是，样本相关系数r可用均方MSx、MSy, 均积MPxy表示为： (10-3) MS:MS, 上一张下一张主页退出
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差 （covariance），记为COV(x,y)或 。统 计学证明了，均积MPxy是总体协方差COV(x,y) 的无偏估计量，即 EMPxy= COV(x,y)。 于是，样本相关系数r可用均方MSx、MSy， 均积MPxy表示为： （10-3） xy x y xy MS MS MP r = 上一张 下一张 主 页 退 出
SP SS.SS SP/(n-1) SSSS n-☑ n-1 MP MP MSMS,S·S
( ) n 1 n 1 x y xy x y xy SS SS SP / SS SS SP r n-1 − − = = x y xy x y xy S S MP MS MS MP = =
相应的总体相关系数p可用x与y的总体标 准差o、o,总体协方差COV(xy)或表 示如下： cov(x,y) )灯y 0= (10-4
相应的总体相关系数ρ可用x与y的总体标 准差 、 ，总体协方差COV(x,y)或 表 示如下： （10-4） x y xy x y xy x y COV x y = = ( , )