M1T6.58120.482J 生物系统中的算法与计算技术基 Bruce Tidor教授 lacob K.White教授 MT6.58120.482J问题集#3 2006.3.30,星期三，5pm 在这个问题集中，要求设计配体电荷以最小化图1所示的配体受体系统的结 合自由能量，这是一个假想的分子。（不用担心配体如何进入受体的问题！）请到 MIT的服务器上下载MATLAB脚本。脚本文件loadComplex.m包含了这些问题 的电荷位置. Ligand Lg时 阳I配体和受体结合成一个球状聚合体 1.配体受体间的库仑作用 回忆一下，我们曾经讲过为了让结合更加顺利。我们希望最大化自由能量中 的电荷（让它负得越大越好）。在自由能量中的电荷有三个组成部分：配体反 溶罚分，分子间相互作用，以及受体反溶罚分： AG=qL+2q1C+9R (1) 结合能量是束缚态（如图1所示）和游离态之间的能量差，在游离态中我们 假设受体与配体之间距离无限远。在这个问题中，考虑环境介质为同质的情 况，假设所有受体电荷的值为1，所有配体电荷的值均为9。就象在第一部分 中一样，只需考虑结合的配体和受体间的库仑作用。 (a)当环境介质是同质的，自由能量的变化△G不能用gL或gR来表示. 请解释原因（提示：考虑束簿态和游离态两种情况，三种能量表示中的 哪一种会变化？) (b)计算分子间的作用矩阵C,其中 1 C,“8FL,-fR (20 (c)针对2qC和g的系统分别绘制库仑能量， 1
MIT 6.581/20.482J 生物系统中的算法与计算技术基础 Bruce Tidor 教授 Jacob K. White 教授 1 MIT 6.581/20.482J 问题集 #3 2006.3.30，星期三，5pm 在这个问题集中，要求设计配体电荷以最小化图 1 所示的配体-受体系统的结 合自由能量。这是一个假想的分子。（不用担心配体如何进入受体的问题！）请到 MIT 的服务器上下载 MATLAB 脚本。脚本文件 loadComplex.m 包含了这些问题 的电荷位置。 图 1 配体和受体结合成一个球状聚合体 1. 配体-受体间的库仑作用 回忆一下，我们曾经讲过为了让结合更加顺利，我们希望最大化自由能量中 的电荷（让它负得越大越好）。在自由能量中的电荷有三个组成部分：配体反 溶罚分，分子间相互作用，以及受体反溶罚分： qR T qR R T qL L T ΔG = qL L + 2q C + q R (1) 结合能量是束缚态（如图 1 所示）和游离态之间的能量差，在游离态中我们 假设受体与配体之间距离无限远。在这个问题中，考虑环境介质为同质的情 况，假设所有受体电荷的值为 1，所有配体电荷的值均为 q。就象在第一部分 中一样，只需考虑结合的配体和受体间的库仑作用。 (a) 当环境介质是同质的，自由能量的变化 ΔG 不能用 qL T qL L 或 qR T qR R 来表示。 请解释原因（提示：考虑束缚态和游离态两种情况，三种能量表示中的 哪一种会变化？） (b) 计算分子间的作用矩阵 C，其中 i j ij rL rR C r r − = 8 0 1 πε (2) (c) 针对 qR T 2qLC 和 q 的系统分别绘制库仑能量
MT6.58120.482U 生物系统中的算法与计算技术基健 Bruce Tidor教授 aec动K.White教授 (假设同质的环境介质是水，也就是说t=80::△G会怎样变化？请针对 2gC和g的系统分别绘制库仑能量进行比较 (©)假设同质的环境介质是含有移动离子的溶剂，△G会怎样变化？在这种 情况下，矩阵元素由下式给定： ek-re C.- (3) T6FL,-FR 令一3，=80。计算能量。将配体电荷值为g的系统在三种介质下的 能量变化绘制在一张图中以便比较。 2.配体受体静电优化 在这个问题中，考虑一个更加准确的物理系统，在这个系统中环境介质是异 质的：内部分子具有小的：值，溶剂则有大的值和移动离子。在这种模型 中，返回反溶罚分。可以用我们提供的脚步计算公式)中的L矩阵，并解决 图1中所示的配体受体聚合体的电荷优化问题。 ()要计算L,必需先计算配体电荷位置的反应电位在束缚态和游离态之间 的变化。比如，L的第列为 L=克(e,)-真(e,】 (4) 其中，表示除第；个配体电荷设为1外，其他均设置为0，真(e)表示在 束缚态下电荷位置上由一个单位电荷引起的反应电位。使用给定的脚本 文作computeReactionPotential.m来计算矩阵Le ()由于公式(1)是一个二次方程，其最优解可通过求解以下线性系统来计算： Lw+CoR-0 (5) 根据下式给定的受体电荷计算最优配体电荷等级。 qr=-LC (6) (©)理论上说，矩阵L应该是对称和正定的，是否这样？描述不符合这些条 件的矩阵的特征。 3.远程静电作用川 在问题集2中，我们使用特征值分解在一个对称系统中来寻找降阶的远程静 电作用。在这个问愿中，我们考虑更一般的情况，即两个相互独立并且非对 称的电子簇。SVD分解的详细信息可在课程网站上找到。 (a)生成P,就用同题集#2的第2题中用过的est调esvd.m文件，使用 MATLAB的svd函数将P分解为矩阵U和'，以及奇异值对角矩阵S
MIT 6.581/20.482J 生物系统中的算法与计算技术基础 Bruce Tidor 教授 Jacob K. White 教授 2 (d) 假设同质的环境介质是水，也就是说ε=80ε0。ΔG 会怎样变化？请针对 qR T 2qLC 和 q 的系统分别绘制库仑能量进行比较 (e) 假设同质的环境介质是含有移动离子的溶剂，ΔG 会怎样变化？在这种 情况下，矩阵元素由下式给定： i j k rL rR ij rL rR e C i j r r r r − = − − 8πε 0 (3) 令 k=3，ε=80ε0 计算能量。将配体电荷值为 q 的系统在三种介质下的 能量变化绘制在一张图中以便比较。 2. 配体-受体静电优化 在这个问题中，考虑一个更加准确的物理系统，在这个系统中环境介质是异 质的：内部分子具有小的ε值，溶剂则有大的ε值和移动离子。在这种模型 中，返回反溶罚分。可以用我们提供的脚步计算公式(1)中的 L 矩阵，并解决 图 1 中所示的配体-受体聚合体的电荷优化问题。 (a) 要计算 L，必需先计算配体电荷位置的反应电位在束缚态和游离态之间 的变化。比如，L 的第 i 列为 ( ) ( ) i b i u i L = φ e −φ e (4) 其中 ei表示除第 i 个配体电荷设为 1 外，其他均设置为 0， ( ) b i φ e 表示在 束缚态下电荷位置上由一个单位电荷引起的反应电位。使用给定的脚本 文件 computeReactionPotential.m 来计算矩阵 L。 (b) 由于公式(1)是一个二次方程，其最优解可通过求解以下线性系统来计算： LqL+CqR=0 (5) 根据下式给定的受体电荷计算最优配体电荷等级。 qR opt qL L C−1 = − (6) (c) 理论上说，矩阵 L 应该是对称和正定的，是否这样？描述不符合这些条 件的矩阵的特征。 3. 远程静电作用 II 在问题集#2 中，我们使用特征值分解在一个对称系统中来寻找降阶的远程静 电作用。在这个问题中，我们考虑更一般的情况，即两个相互独立并且非对 称的电子簇。SVD 分解的详细信息可在课程网站上找到。 (a) 生成 P，就用问题集#2 的第 2 题中用过的 estatic_svd.m 文件。使用 MATLAB 的 svd 函数将 P 分解为矩阵 U 和 V，以及奇异值对角矩阵 S
MT6.58120.482J 生物系统中的算法与计算技术基础 Bruce Tidor教报 acc动K.White教授 验证 P=USY (7 并且矩阵U和'的列都是正交的（换句话说U和V都是霄矩阵），观察 S的元素，当分隔距离很小和变得很大时，奇异值的范围如何变化？ ()如同在特征值分解的例子中，我们可以去掉一些与小数量级的奇异值对 应的向量以获得作用矩阵的降阶表示，在这种情况下，Pg的降阶近以户g)》】 为1 Pg*户g=g (8) 其中心和户表示对应于★个最大奇异值的特征向量。S是这些奇异值如 成的×k的矩降。当k-1,2,8)计算户 (©)改变分子之间的分隔距离，绘制距离增如时的相对误差Pg-户g
MIT 6.581/20.482J 生物系统中的算法与计算技术基础 Bruce Tidor 教授 Jacob K. White 教授 3 验证： P=USVT (7) 并且矩阵 U 和 V 的列都是正交的（换句话说 U 和 V 都是酉矩阵）。观察 S 的元素，当分隔距离很小和变得很大时，奇异值的范围如何变化？ (b) 如同在特征值分解的例子中，我们可以去掉一些与小数量级的奇异值对 应的向量以获得作用矩阵的降阶表示。在这种情况下，Pq 的降阶近似( Pqˆ ) 为： Pq Pq USV q T ≈ ˆ = ˆ ˆ ˆ (8) 其中Uˆ 和Vˆ 表示对应于 k 个最大奇异值的特征向量。S ˆ 是这些奇异值组 成的 k×k 的矩阵。当 k={1, 2, 8}计算 Pˆ 。 (c) 改变分子之间的分隔距离，绘制距离增加时的相对误差 Pq Pq − ˆ