麻省理工学院 物理系 Physies 8.282 2008年4月4日 问题系列8 载至日期：屋期五，4月11日（讲座） 参考读物：Ze11ik&Gregory:第16和17章， 通知：4月16日星期三将进行小测验2，蒂回家去做。4月18日星期五交。 题1 “构造眼河系旋转曲线” 下表给出了观测限河系中性氯得到的以银经1为函数的最大视向速度V·用等式： trad.max trot -to sin(1) 构适银河系的旋转由线.绘出以sn(1)为函数的r:(注意sin(1)R/R,其中民和Re分别是 任意点和太阳距限心的径向距离。) 1(度 1520253035404550 dmno (km/s水147145128123106968281 1(度： 5560657075808590 d=(km/s水675845312722161d 为了绘制本图，假设rw-225n/s. 思2 “奥尔特常数” 己知奥尔特常数的定义为 A -()（受） B≡A-0 a,说明若银河系的质量几乎完全集中在中，心，则/B应等于-3（即u∝的情况） b。说明若假设银河系有一个“平”的旋转曲线，A/B应等于-1（即，-常数，的情 况) 但L题3-选作
麻 省 理 工 学 院 物理系 Physics 8.282 2003 年 4 月 4 日 问题系列 8 截至日期：星期五，4 月 11 日（讲座） 参考读物：Zeilik & Gregory: 第 16 和 17 章. 通知：4 月 16 日星期三将进行小测验#2，带回家去做。4 月 18 日星期五交。 问题 1 “构造银河系旋转曲线” 下表给出了观测银河系中性氢得到的以银经l为函数的最大视向速度vrad,max。用等式： 构造银河系的旋转曲线。绘出以sin(l)为函数的vrot。（注意sin(l)=R/R⊙，其中R和R⊙分别是 任意点和太阳距银心的径向距离。） 为了绘制本图，假设v⊙=225km/s。 问题 2 “奥尔特常数” 已知奥尔特常数的定义为： a． 说明若银河系的质量几乎完全集中在中心，则A/B应等于-3（即ω∝R-3/2的情况）。 b．说明若假设银河系有一个“平”的旋转曲线，则A/B应等于-1（即vrot=常数，ω∝R-1的情 况）。 问题 3-选作 1
“运动学距离 一且银河系的旋转由线v)的w(心×被确定，我们可以利用混向速度（￥）的测量得 到天体的“运动学距离”。忆公式： Vou R(-wa)sin(1). 其中倪是太阳到银心的距离，⊙是太阳饶银心的角速度。（适当的几何关系见下面的草图。） a.假定银河系有一个“平坦”的旋转曲线（即v=)-常数■》，并且昆和值已知。用已 知条件和可观测量推导天体与眼心的距离的公式， b.运动学距离d(太阳与天体间)可以用R,R和1导出。推导这个关系。 C,在银经1-20”处观测到一恒星的棍向速度vm-100k/scc(运动方向是运离地球). 利用(a)(b)两部分得到的关系确定这颗恒星的运动学距离，[取R=85kp心，v=225a/see,】 用 天体 银心 题4 “恒星的简化模型” 考虑下面的（有点非物理的》恒星核型，恒星由不可压缩液体构成一其密度P与楚加于其 上的压强无关，（这样的近似实际见适合用于构造行星模型，） a。用流体静力学平衡方程。P)/仙-g()p,以及球形分布内具域引力加速度为 G()/r2(其中业()是半径x内包含的质量)的牛领定律，推导出恒星内作为半径函数的压 强大小。假设征星的总质量为。半径为R,均匀的（常数）密度为P=3/(4T的，用。R 和G表达你的结果。 b.给出P(r)的草图.注意在恒星表由R处，规定P0: C,对炸1M和=1R的情况，利用你的表达式估算恒星中心[P(=O)]处的压强。结果用地 球的大气压强单位(1达因厘米-10牛顿米“)表示。 d。现在裤导核醒恒星的中心温度T©，利用恒星内的“流体”实际在很高的准确度上都道猫 理想气体定律： PenkT, 其中P是压强，T是温度。是粒子数密度，k是玻尔整曼常数。（注意对前面的不可压缩流体， 该假设几乎不成立，但我们仍要维续.利用理想气体定律和(c)部分的结果推导T。注意 n=p/加：其中■是气体粒子的平均权重，取■购10g。 e。在更准确的太阳棱型中，你金发现其中心温度比你在(》部分得到的值更高，因为太 阳的密度不均匀，事实上中心更致密。实际的太阳中心素度约为150克/立方厘米，又一次 体现了中心的高政密性。假议大部分能量都是在占太阳总质量膺的中心区域通过氢核憾烧 产生的。太阳产生的总光度为L=4×10ergs/sc。利用下面的每克物质的核能产生表达式
“运动学距离” 一旦银河系的旋转曲线vrot(R)≈ω(R)×R被确定，我们可以利用视向速度（vrad）的测量得 到天体的“运动学距离”。回忆公式： vrad = R0(ω-ω0)sin(l), 其中R0是太阳到银心的距离，ω0是太阳绕银心的角速度。（适当的几何关系见下面的草图。） a. 假定银河系有一个“平坦”的旋转曲线（即vrot(R)=常数≡v0），并且R0和v0值已知。用已 知条件和可观测量推导天体与银心的距离R的公式。 b. 运动学距离d（太阳与天体间）可以用R，R0和l导出。推导这个关系。 c. 在银经l=20°处观测到一颗恒星的视向速度vrad =100km/sec（运动方向是远离地球）。 利用（a）（b）两部分得到的关系确定这颗恒星的运动学距离。[取R0=8.5kpc，v0=225km/sec。] 问题 4 “恒星的简化模型” 考虑下面的（有点非物理的）恒星模型，恒星由不可压缩液体构成—其密度 ρ 与施加于其 上的压强无关。（这样的近似实际更适合用于构造行星模型。） a． 用流体静力学平衡方程，dP(r)/dr=-g(r)ρ，以及球形分布内局域引力加速度为 GM(r)/r2 （其中M(r)是半径r内包含的质量）的牛顿定律，推导出恒星内作为半径函数的压 强大小。假设恒星的总质量为M，半径为R，均匀的（常数）密度为ρ=3M/(4πR3 )。用M，R 和G表达你的结果。 b． 绘出 P(r)的草图。注意在恒星表面 R 处，规定 P(R)=0。 c． 对M=1M⊙和R=1R⊙的情况，利用你的表达式估算恒星中心[P(r=0)]处的压强。结果用地 球的大气压强单位（106 达因 厘米-2=105 牛顿 米-2）表示。 d． 现在推导模型恒星的中心温度 Tc。利用恒星内的“流体”实际在很高的准确度上都遵循 理想气体定律： P=nkT， 其中P是压强，T是温度，n是粒子数密度，k是玻尔兹曼常数。（注意对前面的不可压缩流体， 该假设几乎不成立，但我们仍要继续。）利用理想气体定律和（c）部分的结果推导Tc。注意 n=ρ/m，其中m是气体粒子的平均权重，取m≈10-24g。 e． 在更准确的太阳模型中，你会发现其中心温度比你在（d）部分得到的值更高，因为太 阳的密度不均匀，事实上中心更致密。实际的太阳中心密度约为 150 克/立方厘米，又一次 体现了中心的高致密性。假设大部分能量都是在占太阳总质量 20%的中心区域通过氢核燃烧 产生的。太阳产生的总光度为L⊙=4×1033ergs/sec。利用下面的每克物质的核能产生表达式 2
估计若要生成观测到的总功率输出L。,太阳中心附近的温度T©应为多少， Turerg gs 3381 s=4.4×10pexp(- (利用该表达式估值时，假设中心部分%的太阳质量有均匀温度T©和均匀密度 p=150e/cm°.) (f),《g)和(h)三部分为透作： 1,计算我们的均匀密度恒星核型的引力势能V。用，R和G表示结果。[提示：在存在的 球形质量M(r)上增加壳层质量M的劳能规失为8V-C刚()态/r。】 黑。对1W和聚1R。的情况，估计的大小。 h. 推导模裂恒星的开尔文-霍姆赫些时标【▣（恒限辐射抑其一半储能的时间）。 Y oEms/L 其中E=W/2(由位力定理)，L是恒星的光度（用L==3.9×10erg器8）。结果用年为 单位表达。 日题5 “为太财供能”选作 Zelik&Gregory:330页，第18章，问题1 自题6 “主序的寿命” Zelik&Gregory:330页，第16章，题6 取p一p链核燃烧效率为Q.007。即对每个氢的质量燃绕生成氮，产能0.007ac2, 包题7 “核结合能” 用下面的原子质量过剩表（用能量单位Y表示）计算下面来自p一P和C0链的每个反应的 产能大小。 a.H+D-He+ b.He3 He3-He+2H cNs+H一C2+He d.N15+f-016+ [提示：把反应左手边的核的质量过剩值，M,加起米，减去右手边的核的质量过剩值总和。 如马射线（￥）的质量为零。]
估计若要生成观测到的总功率输出L⊙，太阳中心附近的温度Tc应为多少： 5 1 1/3 3381 4.4 10 exp( ) c erg g s T ε ρ − −1 =× − （利用该表达式估值时，假设中心部分 20%的太阳质量有均匀温度 Tc和均匀密度 ρ=150g/cm-3。） （f），（g）和（h）三部分为选作： f． 计算我们的均匀密度恒星模型的引力势能 V。用 M，R 和 G 表示结果。[提示：在存在的 球形质量 M（r）上增加壳层质量 δM 的势能损失为 δV=GM(r) δM/r。] g． 对M=1M⊙和R=1R⊙的情况，估计V的大小。 h． 推导模型恒星的开尔文-霍姆赫兹时标τKH（恒星辐射掉其一半储能的时间）。 τKH=E恒星/L 其中E恒星=|V|/2 （由位力定理），L是恒星的光度（用L=L⊙=3.9×1033ergs s-1）。结果用年为 单位表达。 问题 5 “为太阳供能”选作 Zelik & Gregory；330 页，第 16 章，问题 1 问题 6 “主序的寿命” Zelik & Gregory；330 页，第 16 章，问题 6 取p-p链核燃烧效率为 0.007。即对每个氢的质量m燃烧生成氦，产能 0.007mc2 。 问题 7 “核结合能” 用下面的原子质量过剩表（用能量单位 MeV 表示）计算下面来自 p-p 和 CNO 链的每个反应的 产能大小。 [提示：把反应左手边的核的质量过剩值，A-M，加起来，减去右手边的核的质量过剩值总和。 伽马射线（γ）的质量为零。] 3
表4！厚子颗量过制 2 Eiemend A M -A.Mfe Klenent A af -A,Mfet 0 8.07144 19 3.3270 1 7255 3.79000 D 13.13501 F 18 10.00400 14.94985 17 1.05100 4 28.000 18 0.8720 31.00000 19 一14400 14.93134 20 -0.01100 2.42475 2 -0.04000 11.45400 10 Ne 18 5.31930 6 17.50s0 19 1.75200 7 28.00000 -7.04150 2.0000 -5.7290 3 5 11.,8700 2园 -8.02490 14.06540 -5.14530 7 14.90730 24 =5.00 250.9460 11 Na 8.200 21.86500 -2,18500 4 Be 8 1s.370 -4.1820 15.76s30 心 -9.5线0 4.9440 24 -8.41840 11.5050 2% -9.25600 10 12.600700 =7.0000 11 20.1100 12 Mg 和 -0.14000 5 27.09000 -5.720 22.02☒10 一18.00 12.41560 药 -13.1070 10 12.05220 =16.21420 8.06T6s -1450 12 13.317020 -15.02300 18 16.5616G0 a 0.100 9 28.99000 2 -80310 10 15.65s00 -12.210% 10.84540 -17.1g1 9 0 2 -18.9554 13 3.1260 -18,210 14 3.01982 0 -17,10 15 9.5730 14 卧 -7.1830 7N 12 17.398400 -12.3400 13 5.84520 28 -21.490 14 2.67a -21.03到 0.1000 吃 -24.404 e 5.655l0 -22.020 787100 -24.2300 8 0 14 8.00s00 15 28 -7.000 15 2.85990 -16.0450 -47测55 90 -20.1970 -0.80770 别 -24.4876 18 -0.75243 32 -24327
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