麻省理工学院 物理系 物理学8,28股 2003年3月14日 问题系列6 载止时间：3月21日，星期五（讲座的 参考读物：完成2ilik意Grego行课本上的第十二章，阅读第十三章，开始第十四章。 思1 “星等 Zei1ik&Gregory课本上233和234真第十一章问题11，选作问题12. 题2 “售朗克分布 下面两张表格列出了两种非常接近的香朗克（或黑体）谱的天体物理现象的亮度与波长 关系。第一张表格是G型星，另外一素是（大爆炸遗面下的）宁宙微波背景辐射。对两张谱 进行下面操作。 a。绘出讲图（亮度和被长美系），建议两个情图分开绘制，每张困建立各自适合的坐标轴 再把图中数据点连成光滑由线。 b,利用维思位移定律(2e11ik&0 regory课本上公式8-39)估算温度T. 心，源相应温度T的普朗克谱曲线重叠在(a)》部分的点图上。尽量多选些点，这样保可以绘 出一条光滑的虚线米代表相应的普朗克游。归一化所有的普朗克请振幅，这样的图象可以得 到对数据的合理拟合(2i1 ik Greg0了课木上公式8-37b),[为了更好的完成。可以使用 计算机进行正式的最小二乘法计算，得到最佳符合数据的普朗克函数。这里自由参数是T 和一个整体的比例因子。] 1
麻 省 理 工 学院 物理系 物理学 8.282 2003 年 3 月 14 日 问题系列 6 截止时间: 3 月 21 日,星期五(讲座) 参考读物: 完成 Zeilik & Gregory 课本上的第十二章，阅读第十三章，开始第十四章。 问题 1 “星等” Zeilik & Gregory 课本上 233 和 234 页第十一章问题 11，选作问题 12。 问题 2 “普朗克分布” 下面两张表格列出了两种非常接近的普朗克（或黑体）谱的天体物理现象的亮度与波长 关系。第一张表格是 G 型星，另外一张是（大爆炸遗留下的）宇宙微波背景辐射。对两张谱 进行下面操作。 a. 绘出谱图（亮度和波长关系），建议两个谱图分开绘制，每张图建立各自适合的坐标轴。 再把图中数据点连成光滑曲线。 b. 利用维恩位移定律（Zeilik & Gregory 课本上公式 8-39）估算温度 T。 c. 源相应温度 T 的普朗克谱曲线重叠在（a）部分的点图上。尽量多选些点，这样你可以绘 出一条光滑的虚线来代表相应的普朗克谱。归一化所有的普朗克谱振幅，这样的图象可以得 到对数据的合理拟合（Zeilik & Gregory 课本上公式 8-37b）。[为了更好的完成，可以使用 计算机进行正式的最小二乘法计算，得到最佳符合数据的普朗克函数。这里自由参数是 T 和一个整体的比例因子。] 1
G型星 字宙微波背景锅财 A(A)B(A) A(cm)B(A) 3000 10.1 1.0 0.02 3250 23.9 0.67 0.16 3500 50.6 0.38 21 3750 65.3 0.32 24 4200 1116 027 55 4500 117.0 022 105 4700 117.7 0.18 173 5000 114.4 0.15 249 5500106.1 0.12 278 6000 95.1 0.119 30.4 7000 68.7 0.111 333 3M00 50.2 0.105 268 10000 31.3 0.005 255 11000 25.1 0.086 26.4 12000 20.7 0.081 221 0.074 31.0 0.065 18.9 0.059 144 0.050 8.0 ”任意单位 日思3 “目视和分光双星-天碧星A和B“ 明亮的天段星是一个双星系统，由一个标准的A型展绕一个白矮星（恒星B)运动组成 这是一个非常有梗的双星系统。它既是目视双星，又是分光双星。面且，它离地球非常近， 所以我们可以相当精确的测量它的视差。下图给出了天象双星的轨道，取大质量恒屋A为固 定参考点，它到白顿星的距离代表了两顾星的真实瞬时分离距离。 建议步锋： a。确定轨道周期： 6.轨道形状看上去是椭圆，但是，即使是周轨道，如果轨道平面相对我们的祝线以某一角 度倾斜，圆轨道看上去也将不是圆的。基于下图试提出一个论那。说明该轨道实际上是偏心 的。 C,测量双星的栈椭圆轨道半长拍，以角秒为单位。（实际轨道半长轴可以通过考虑轨道平面 倾斜加入0.9第的修正因子得到。) 4.双星系统质心的视差是T=0.379。利用视差可以计算林周半长轴的物理大小。 巴计算双星的总质量，M,+M, (,如果同时绘出两藏恒星饶双星质心运动的轨道，白矮屋的轨道是恒星A轨道的2,4倍： 计算两颗恒星的质量比。并计算出M,和M。? 2
问题 3 “目视和分光双星-天狼星 A 和 B” 明亮的天狼星是一个双星系统，由一个标准的 A 型星绕一个白矮星（恒星 B）运动组成。 这是一个非常有趣的双星系统，它既是目视双星，又是分光双星。而且，它离地球非常近， 所以我们可以相当精确的测量它的视差。下图给出了天狼双星的轨道，取大质量恒星 A 为固 定参考点，它到白矮星的距离代表了两颗星的真实瞬时分离距离。 建议步骤： a. 确定轨道周期； b. 轨道形状看上去是椭圆，但是，即使是圆轨道，如果轨道平面相对我们的视线以某一角 度倾斜，圆轨道看上去也将不是圆的。基于下图试提出一个论据，说明该轨道实际上是偏心 的。 c. 测量双星的视椭圆轨道半长轴，以角秒为单位。（实际轨道半长轴可以通过考虑轨道平面 倾斜加入 0.95 的修正因子得到。） d. 双星系统质心的视差是 。利用视差可以计算椭圆半长轴的物理大小。 " π = 0.379 e. 计算双星的总质量， M A B + M 。 f. 如果同时绘出两颗恒星绕双星质心运动的轨道，白矮星的轨道是恒星 A 轨道的 2.4 倍。 计算两颗恒星的质量比，并计算出 M A 和 MB ？ 2
&:天银双星A和B的视热星等分别是-之1和+8,3，计算每个恒星的光度，以太阳的光度L。为 单位《必须考虑事实上双星不位于10pc处)。太阳的绝对热星等是+4.6。 h,利用斯特灌-我尔兹曼定律和己知的太阳和天魏双星A和B的表面温度（依次是580佩， 11200K和28500城)计算天妻星A,B的半径，以太阳的半径Re为单位.（提示：L=4xRaT) 1,计算天狼星A,的密度（以或知3为单位）。[R=7×10cm,M-2×10] 天种星从湘习 29g 漫快通 比两民 题4 “Zei1 ik Gregory课木上的简短双星问题” Zei1ik表Gregory课本上249项第十二章可题7，可6（选作）。 问思5 “关于光讲型的简短付题“ Zei1ik最Gregory课本上28真第十三章问题1，问题2（选作）， 日题6 “食双星”（任选） a.研究后面附如的三页来自Shaw and Boothroyd编著的书上的“食双星的光变自线”： 山.研究食双星大陵五的实际的光变曲线并同答后面问题。假设轨道是属轨道，轨道顿斜角 是，而且两颗恒星的半径大小相同。 1,引证一个与圆轨道一数的光变由线的特性， 日，与两颗恒星具有相同半径一致的主食变形状是什么： L.计算两颗恒星的率径大小，以轨道分离距离为单位。 ,一级和次级曼小值在深度方面的区别是什么？ ￥，利用步翼w中的结果计算两颗恒星的相对光度
g. 天狼双星A和B的视热星等分别是-2.1 和+8.3，计算每个恒星的光度，以太阳的光度L⊙为 单位（必须考虑事实上双星不位于 10pc处）。太阳的绝对热星等是+4.6。 h. 利用斯特藩-玻尔兹曼定律和已知的太阳和天狼双星A和B的表面温度（依次是 5800K， 11200K和 28500K）计算天狼星A,B的半径，以太阳的半径R⊙为单位。（提示： 2 4 L = 4π R Tσ ） i. 计算天狼星A,B的密度（以gcm 或kgm −3 −3 为单位）。[R⊙=7×1010cm，M⊙=2×1033g] 问题 4 “Zeilik & Gregory 课本上的简短双星问题” Zeilik & Gregory 课本上 249 页第十二章问题 7，问题 6（选作）。 问题 5 “关于光谱型的简短问题” Zeilik & Gregory 课本上 268 页第十三章问题 1，问题 2（选作）。 问题 6 “食双星”（任选） a. 研究后面附加的三页来自 Shaw and Boothroyd 编著的书上的“食双星的光变曲线”； b. 研究食双星大陵五的实际的光变曲线并回答后面问题。假设轨道是圆轨道，轨道倾斜角 是90 ，而且两颗恒星的半径大小相同。 D ⅰ. 引证一个与圆轨道一致的光变曲线的特性。 ⅱ. 与两颗恒星具有相同半径一致的主食变形状是什么？ ⅲ. 计算两颗恒星的半径大小，以轨道分离距离为单位。 ⅳ. 一级和次级最小值在深度方面的区别是什么？ ⅴ. 利用步骤ⅳ中的结果计算两颗恒星的相对光度。 3
,是否有证据证明光度较小的面星的反射效应？ 图10话1其陆非《大龄五)的大贵线 款时计时出拉时 20 3 49 前 包题1 “射电味神双星”（任选） 射电脉冲星P巧R1913+16是一颗在双星系统中绕一顾“看不见”的停星作偏心轨道运动 的中子星。它的轨道周期是7,8小时。账冲星绕双星质心运动时，近星点距离质心怎74× 10”cm,远果点距离质心1.58×10”n。更精确的广义相对论性效应测量表明此双星系统 的总质量是太阳质量的2.8倍。 a.中子星绕质心运动的轨道率长轴是多少？ 。菊国轨道的偏心率是多少：[最近和最运的距离之比是1一大+。】 C,计算双星系统总体上的树半长轴（即总的分离距离）， 4.计算脉冲星和它的未见作星的质量
ⅵ.是否有证据证明光度较小的恒星的反射效应？ 问题 7 “射电脉冲双星”（任选） 射电脉冲星 PSR1913+16 是一颗在双星系统中绕一颗“看不见”的伴星作偏心轨道运动 的中子星。它的轨道周期是 7.8 小时。脉冲星绕双星质心运动时，近星点距离质心 3.74× 1010 cm，远星点距离质心 1.58×1011 cm。更精确的广义相对论性效应测量表明此双星系统 的总质量是太阳质量的 2.8 倍。 a. 中子星绕质心运动的轨道半长轴是多少？ b. 椭圆轨道的偏心率是多少？[最近和最远的距离之比是1 1 e e − + ] c. 计算双星系统总体上的椭圆半长轴（即总的分离距离）。 d. 计算脉冲星和它的未见伴星的质量。 4
食变星的光变白线 儿个世世纪以来，人们己经发现某些恒星发射的光的亮度不是恒定不变的，而是随时间的 变化面变化。最著名的例子或许就是英仙座口和魔鬼星大陵五。大陵五的光线亮度在大约 六小时内保持恒定，然后在接下的四个半小时内亮度明显降低，接着又在四个竿小时内族复 到正常亮度。它的亮度下降得如此明显以致于我们的阻先平就用肉眼观察到了这一变化， 对所谓的变星的现代研究表明，不同情况下的光变特性可以有不同的解释。像大陵五这 样的恒星，研究表明，光变是由于存在一顿光度比主星更小的作星引起的。这两顿星构成一 个双星系统，而且我们从地球观察两颗星的视线近似位于两颗星绕它们质心运动的轨道平面 内。因此，每颗星的光线亮度出现周期性的食变化，这样的系统被称为食变星。 假设下阁表示两颗掩食星和它们的相对轨道。根明显，轨道平面内出现一次掩食变化必 须位于现察者的视线平面内。操句话说，掩食变化必须与恒屋所在天空平面成近似90”。 外，从图中可以明显看出光变的性质不仅取决于两颗星的大小和相对光度，而且取决于轨道 的大小，彩状和倾料度。既然光变曲线取决于这么多的因素，所以很难对它作出一般性的描 述。但是，如果假设一些因素己知或保持恒定，面另外的因素作为变量，那么就更容号对它 进行研究： 于是，我们可以根据系统的物理特性推导出期望中的光变曲线，最后，把一些典型食变 星的真实光变曲线代入检验，尽可伦裤出符合真实情况的系统的原本性质。 在开始详细学习光变由战之前，对其作一些一般性的讨论或许是恰当的。光变由线是一 条描绘恒星系统亮度随时间变化的由线，恒星系统的星等或光度常在作图中作为枫坐标，而 时间作为横坐标。但有时常使用恒星在变化过程中的屋等差而不是某时刻的真实星等作为光 度的衡量。也常使用光变由线一个特任点上的时阿或相位作为时何的衡量，而不使用观测时 的日期和时间。关于这种作图方法的具体例子将在下文中给出
食变星的光变曲线 几个世纪以来,人们已经发现某些恒星发射的光的亮度不是恒定不变的,而是随时间的 变化而变化。最著名的例子或许就是英仙座α 和魔鬼星大陵五。大陵五的光线亮度在大约 六小时内保持恒定，然后在接下的四个半小时内亮度明显降低，接着又在四个半小时内恢复 到正常亮度。它的亮度下降得如此明显以致于我们的祖先早就用肉眼观察到了这一变化。 对所谓的变星的现代研究表明，不同情况下的光变特性可以有不同的解释。像大陵五这 样的恒星，研究表明，光变是由于存在一颗光度比主星更小的伴星引起的。这两颗星构成一 个双星系统，而且我们从地球观察两颗星的视线近似位于两颗星绕它们质心运动的轨道平面 内。因此，每颗星的光线亮度出现周期性的食变化，这样的系统被称为食变星。 假设下图表示两颗掩食星和它们的相对轨道。很明显，轨道平面内出现一次掩食变化必 须位于观察者的视线平面内。换句话说，掩食变化必须与恒星所在天空平面成近似 。另 外，从图中可以明显看出光变的性质不仅取决于两颗星的大小和相对光度，而且取决于轨道 的大小，形状和倾斜度。既然光变曲线取决于这么多的因素，所以很难对它作出一般性的描 述。但是，如果假设一些因素已知或保持恒定，而另外的因素作为变量，那么就更容易对它 进行研究。 D 90 于是，我们可以根据系统的物理特性推导出期望中的光变曲线，最后，把一些典型食变 星的真实光变曲线代入检验，尽可能推出符合真实情况的系统的原本性质。 在开始详细学习光变曲线之前，对其作一些一般性的讨论或许是恰当的。光变曲线是一 条描绘恒星系统亮度随时间变化的曲线。恒星系统的星等或光度常在作图中作为纵坐标，而 时间作为横坐标。但有时常使用恒星在变化过程中的星等差而不是某时刻的真实星等作为光 度的衡量。也常使用光变曲线一个特征点上的时间或相位作为时间的衡量，而不使用观测时 的日期和时间。关于这种作图方法的具体例子将在下文中给出。 5
L特定恒星系统的光变曲线 仔细研究下面的假设条件和光变曲线，直到完全明白给出的光变由线为什么星现图中的 形状，在可愿形成中考虑了假设系统上的各种变化，指导老师还可以对学生提出另外的问题： 情形1；假设有两颗球形恒星，一飘光度均匀，另一颗完全黑暗（看不见）， ()偏食，圆轨道或椭圆轨道且其 长钩与视线在同一直线上 VVV 0)环食，圆轨道或椭圆轨道且其 长轴与视线在同一直线上 ΠΠ 情形Ⅱ：假设有两颗同等大小的球形恒星，光度均包且相签。 (:)常食，圆轨道或椭远轨道且其 长轴与视线在同一直线上 (6)偏食，桶圆轨道且其长轴与视 线不在同一直线上 W 情形：假设有两颗球形恒星，光度均匀自两颗恒星的光度不国· ()偏食，圆轨道或椭圆轨道且其 长轴与视线在同一直线上 (6)偏食，椭圆轨道且其长轴与视 线成某一角度
A. 特定恒星系统的光变曲线 仔细研究下面的假设条件和光变曲线，直到完全明白给出的光变曲线为什么呈现图中的 形状。在问题形成中考虑了假设系统上的各种变化，指导老师还可以对学生提出另外的问题。 情形Ⅰ：假设有两颗球形恒星，一颗光度均匀，另一颗完全黑暗（看不见）。 情形Ⅱ：假设有两颗同等大小的球形恒星，光度均匀且相等。 情形Ⅲ：假设有两颗球形恒星，光度均匀但两颗恒星的光度不同。 6
B.相互作用效应 在许多情况下，食变星的光变曲线与上面的理论曲战有明显的不同，这些差异是由恒星 之间各种各样的相互作用引起的。 区射效应：反射效应是更亮恒星的辐射使较暗恒星的湿度增大，造成较晴星朝向亮星的 一面温度高于另一面的，结果光变曲线中的次极小的两置高于主极小的两瑞，正确的光变由 线如下图，面精形中的a》和化). 童边暗效应：很多时候恒屋的园面不是均匀亮度的，面呈现一种和太阳类似的修边昏暗。 由于存在临边壁效应，在掩食开始和结速时亮度的政变或没。低然当作星建数明亮中心区 域时剂刻的光线比伴星遮蔽边缘区域时削翁的光线更多，所以环食时的光变曲线的底部不再 是平坦的： 组感成份的圆化，如果一个掩食系统的组成成份常的丰常近。那么湘汐作用力可能 会很大，结果恒星在引力作用下被拉长。在掩食发生时，恒星的末瑞解白我们，面在两次掩 食中阿较为宽镯的一面朝向我们，对于后者，由于面积的增加恒星的光度会增大，树化效 应导致光变由线在光强度主极小和主极大之间变得弯如马形，下面的光变抽线综合了临边臣 暗效应和脑圆化效应。 Lyrae B的光变曲线图
B．相互作用效应 在许多情况下，食变星的光变曲线与上面的理论曲线有明显的不同，这些差异是由恒星 之间各种各样的相互作用引起的。 反射效应：反射效应是更亮恒星的辐射使较暗恒星的温度增大，造成较暗星朝向亮星的 一面温度高于另一面的，结果光变曲线中的次极小的两端高于主极小的两端，正确的光变曲 线如下图，而非情形Ⅲ中的(a)和(b)。 临边昏暗效应：很多时候恒星的园面不是均匀亮度的，而呈现一种和太阳类似的临边昏暗。 由于存在临边昏暗效应，在掩食开始和结束时亮度的改变减慢。既然当伴星遮蔽明亮中心区 域时削弱的光线比伴星遮蔽边缘区域时削弱的光线更多，所以环食时的光变曲线的底部不再 是平坦的。 组成成份的椭圆化：如果一个掩食系统的组成成份靠的非常近，那么潮汐作用力可能 会很大，结果恒星在引力作用下被拉长。在掩食发生时，恒星的末端朝向我们，而在两次掩 食中间较为宽阔的一面朝向我们。对于后者，由于面积的增加恒星的光度会增大，椭圆化效 应导致光变曲线在光强度主极小和主极大之间变得弯如弓形。下面的光变曲线综合了临边昏 暗效应和椭圆化效应。 Lyrae β 的光变曲线图 7