1.033/1.57H#2:应力和强度 2003年10月6日 麻省理工学院1.0331.57 2003年秋 讲师：Franz-Jovef ULM 测量纳压痕：测显纳硕度是材料科学和工程中用于在极小尺度上测量材料强度的 ~种新技术。该测试是将个针形压头插入连续材料体系中（实验建立见下图）。通 过力学模拟，使其穿透的力与材料的强度相联系。 在这个练习中，我们将推导一种测量纳硬度的简化三物应力强度模型。为了简 化问恩。我们将压头看成是一个半径为，的刚性圆柱体，位于由均一材料构成的水 平半空问的表面，如下图所示。垂直力下沿圆柱轴O方向施加在圆柱上，直到它穿 透入半空间中。这时力F的值称为maxF,根据此测试得到的材料性能称为微观硬度 式中A是压头与材料的接触面积。我们假设圆柱与半空向（在=O:r≤r)的接触没有 摩擦。这一练习的目的是将微硬度测量和组成半空间的材料的强度性能联系起来 在此练习中，我们假设准静态条件（忽略惯性效应），并且忽略体积力 第1项
1.033/1.57 H#2: 应力和强度 2003 年 10 月 6 日 麻省理工学院-1.033/1.57 2003 年秋 讲师：Franz-Josef ULM 测量纳压痕：测量纳硬度是材料科学和工程中用于在极小尺度上测量材料强度的 一种新技术。该测试是将一个针形压头插入连续材料体系中(实验建立见下图 a)。通 过力学模拟，使其穿透的力与材料的强度相联系。 在这个练习中，我们将推导一种测量纳硬度的简化三轴应力-强度模型。为了简 化问题， 我们将压头看成是一个半径为r 0 的刚性圆柱体，位于由均一材料构成的水 平半空间的表面，如下图b所示。垂直力F沿圆柱轴Oz方向施加在圆柱上，直到它穿 透入半空间中。这时力F的值称为max F，根据此测试得到的材料性能称为微观硬度： 式中A是压头与材料的接触面积。我们假设圆柱与半空间(在z=0；r≦r 0 )的接触没有 摩擦。这一练习的目的是将微硬度测量和组成半空间的材料的强度性能联系起来。 在此练习中，我们假设准静态条件（忽略惯性效应），并且忽略体积力。 第 1 页
(b) 图：纳使度试《a)实验建立：(b)化的力学 1,静态容许应力场：为了便于分析。我们将半空间分离成两个子空间，分别 标记为2，和，。在这两个子空间中，我们考虑下列应力场： -在,中，由20和r定义： n=g:g=g:d=o(othera=0) -在Q,中由0和r定义： =-q(ro/r)2;=q(ro/r)2 (other =0) (a）确定使得在口，和Q,中保持静态容许应力场所需要满足的所有条件。 (b)确定常数q、g、q和，使得应力场a在0=DUQ,中是静态容许的， (c)在Mohr平面c×T上，通过考感到F>9哈，给出0，和0，上的应力场 。'的一个图形表示。在Moh平面和材料平面中，确定当剪切应力达到Q中的最人 值时的材料表面和对应的应力矢量 第2页
图：纳硬度测试：（a）实验建立；（b）简化的力学模型 1．静态容许应力场：为了便于分析，我们将半空间Ω分离成两个子空间，分别 标记为Ω1和Ω2。在这两个子空间中，我们考虑下列应力场： —在Ω1 中，由z>0 和r0 和r>r0 定义： （a） 确定使得在Ω1 和Ω2 中保持静态容许应力场所需要满足的所有条件。 （b） 确定常数 q’、q”、q 和σ，使得应力场σ’在 中是静态容许的。 （c） 在Mohr 平面 上，通过考虑到 ，给出Ω1 和Ω2 上的应力场 σ’的一个图形表示。在Mohr平面和材料平面中，确定当剪切应力达到Ω中的最大 值时的材料表面和对应的应力矢量。 第 2 页
2.Mohr-Coulomb强度判断标准：我考虑的材料是一种Mohr-Coulomb材 料，它的强度域如下定义， f(a)-lr+atanp-c≤0 式中：=V-,a=ngn,am中是摩擦系数，e是着力 Mahr.Coulomh强度标准还可以写成主应力C1之CⅡ之CII的关系： f(a)=or(1+sinp)-o1r1-sin9）-2 ccosp≤0 (a)在Mohr平面(nXT)上显示Mohr-Coulomb判断标准： (b)确定微硬度H和Motr-Coulomb判据的材料强度性能之间的关系 (c)在材料平面上，表示出达到Mohr-Coulomb标准时的临界材料表面的取向 3.精确的方法：通过假设在，中的应力场是常数，确定微硬度H和Mohr-Coulomb 模型参数之间的二阶关系.两种答案个更接近于Mohr-Coulomb材料体系失效时微 硬度的真实报大伯。为什么？（提示：在Mor平面上画出的你想法 第3页
2．Mohr-Coulomb 强度判断标准：我们考虑的材料是一种 Mohr-Coulomb 材 料，它的强度域如下定义： 式中： ， tan φ是摩擦系数， c 是粘着力。 Mohr-Coulomb 强度标准还可以写成主应力 的关系： （a） 在 Mohr 平面（σ×τ）上显示 Mohr-Coulomb 判断标准； （b） 确定微硬度 H 和 Mohr-Coulomb 判据的材料强度性能之间的关系； （c） 在材料平面上，表示出达到 Mohr-Coulomb 标准时的临界材料表面的取向。 3．精确的方法：通过假设在Ω2 中的应力场是常数，确定微硬度H和Mohr-Coulomb 模型参数之间的二阶关系。两种答案哪个更接近于Mohr-Coulomb材料体系失效时微 硬度的“真实”最大值。为什么？（提示：在Mohr平面上画出的你想法） 第 3 页