1.033/1.57H#3:弹性和弹性边界 2003年11月5日 麻省理工学院-1.033/1.57 2003年秋 讲师：Frz-JosefULM 微挠曲结构(MEMS类型)的弹性边界：微机电系统(MEMS)是微型的机 电传感器和致动器，用作加速表，微型泵，微型深轮，和光学开关。大多数MMS 器件基于悬臂梁或者等膜的运动，MMS通常由多品硅薄层，非品硅，硅，氧化钧 或者聚酰亚胺，以及层状沉积在某些基底上的材料等组成（见下面的图(）)。我门 将为这些微挠曲结构的表而弹性模显给山·个下边界和个上边界. 在福，我门假定悬臂梁沿x轴的长度为L,高度为，宽度为b,!下图(b) 所示。在x一0处，部件（以O为园心）与一个固定的刚性盘无摩擦接触。在另一端， 在x-L处，固定在一个无摩擦别性盘上的部件（以O为圆心》绕z轴作拦度？《1 的旋转，因而有： 在x=L处，=OM×elez=-h 悬臂梁的表面无外加力作用。首先作·个前提近似，我们以为组成梁的异相物 质是~种线性各向同性举性材料，可由杨氏模量(x)和治松比vx)来定义， 08 2m Stheye Heet65*9部 Microstructure 2 n.Si a o 何您集；微挠曲系统：(》层状沉积物的制造：(b)盐臂梁结构。 第1买
1.033/1.57 H#3：弹性和弹性边界 2003 年 11 月 5 日 麻省理工学院-1.033/1.57 2003 年秋 讲师：Franz-Josef ULM 微挠曲结构（MEMS 类型）的弹性边界：微机电系统（MEMS）是微型的机 电传感器和致动器，用作加速表，微型泵，微型涡轮，和光学开关。大多数 MEMS 器件基于悬臂梁或者薄膜的运动。MEMS 通常由多晶硅薄层，非晶硅，硅，氧化物 或者聚酰亚胺，以及层状沉积在某些基底上的材料等组成（见下面的图(a)）。我们 将为这些微挠曲结构的表面弹性模量给出一个下边界和一个上边界。 在一端，我们假定悬臂梁沿 x 轴的长度为 L，高度为 h，宽度为 b, 如下图（b） 所示。在 x=0 处，部件（以 O 为圆心）与一个固定的刚性盘无摩擦接触。在另一端， 在 x=L 处，固定在一个无摩擦刚性盘上的部件（以 O’为圆心）绕 z 轴作强度 的旋转，因而有： 在 x=L 处， 悬臂梁的表面无外加力作用。首先作一个前提近似，我们认为组成梁的异相物 质是一种线性各向同性弹性材料，可由杨氏模量 E(x)和泊松比 v(x)来定义。 问题集：微挠曲系统：（a）层状沉积物的制造；（b）悬臂梁结构。 第 1 页
1. 等效均匀样品：设E,为等效均匀样品的表观弹性模量。我们假定一个单轴 应力场的形式： in2:o=(gjer⑧ex (a)使用各向同性线性弹性材料规则(-pp常数)确定a(y),在x-L处挠曲 知遵守部件型本构定律可表示如下： M.-Eav!T 式中！是绕z始的挠曲赏性矩。 (b》确定对应的位移解￡。 (©)简爱地说明为什么((，0)是等效均相挠曲问题的的解。 2.不均匀样品：观在我们考虑不均匀受弯样品（例如，=(x).v-(x)。 (ā)目标解：设（飞，口）是在x=L处数受迫旋转运动的不均匀样品的〔精确的》位 移和应力解。对于这个解，得到在梁体每单位长度存储的弹性能值： w华r2P-e-呢 《b》下边界：受上面推学的弹性均相解的启示，我们对不均匀样品的应力场考虑其 有如下近似表达形式： 血：g=2e@e 确定不均匀样品的表观E模量的下边界。 (©)上边界：受上而推导的弹性均相解的启示，我们对不均匀样品的位移场考虑具 有如下的表达形式： 血R:g=-+元(+ag-到9+a2e 确定不均匀样品的表观E疯量的上边外。 3.应用于两层材料组成的梁：我们假定梁体由两层材料姐成，厚度分别为，和 九-h·E和E分别是层1和层2的弹性模量。假设两层材料的泊松比相同。确定 挠曲梁的表观弹性模量E的下边界和上边界。用相对厚度c=hh在EE,=2时的阁 第2页
1．等效均匀样品：设E app为等效均匀样品的表观弹性模量。我们假定一个单轴 应力场的形式： （a） 使用各向同性线性弹性材料规则（E=Eapp=常数）确定σ(y)，在 x=L 处挠曲 矩遵守部件型本构定律可表示如下： 式中I z 是绕z轴的挠曲惯性矩。 （b）确定对应的位移解ξ。 （c）简要地说明为什么(ξ，σ)是等效均相挠曲问题的的解。 2．不均匀样品：现在我们考虑不均匀受弯样品（例如，E＝E(x),v=v(x)）。 （a）目标解：设(ξ,σ)是在 x=L 处做受迫旋转运动的不均匀样品的（精确的）位 移和应力解。对于这个解，得到在梁体每单位长度存储的弹性能值： （b）下边界：受上面推导的弹性均相解的启示，我们对不均匀样品的应力场考虑具 有如下近似表达形式： 确定不均匀样品的表观 E 模量的下边界。 （c）上边界：受上面推导的弹性均相解的启示，我们对不均匀样品的位移场考虑具 有如下的表达形式： 确定不均匀样品的表观 E 模量的上边界。 3．应用于两层材料组成的梁：我们假定梁体由两层材料组成，厚度分别为h1 和 h2 =h-h1 。E1 和E2 分别是层 1 和层 2 的弹性模量。假设两层材料的泊松比相同。确定 挠曲梁的表观弹性模量E app的下边界和上边界。用相对厚度c=h1 /h在E1 /E2 =2 时的函 第 2 页
数来表示结果（例如对应于石英层状Si0,.其E,-380G,通过一个L,-190G的 基底的热氧化而获得).表示出与假设的几何环境相对应的两个边界条什之·。 第3页
数来表示结果（例如对应于石英层状SiO2 , 其E1 =380Gpa, 通过一个E2 =190Gpa的硅 基底的热氧化而获得）。表示出与假设的几何环境相对应的两个边界条件之一。 第 3 页