麻省理工学院 物理系 物理学8.282 2003年3月7日 问题系列5 戴止时间：3月14日，星期五。你不必交这份题。如果交了答题将得到记分和额外的好评。 但是你需要仔细阅读这些问题所覆盖的资料。 参考读物：Zeilik&Gregory的第十一，十二章。 通知：我们将在3月10日即星期一的正常课堂时间进行第一次小测验，测验内容将覆盖到 3月7日星期五课堂上的所有内容和Zeilik&Gregory课木上第一，第八，第九和第十 章的相关部分。你们可以准备一下，测验时可以带一页笔记。别忘了带计算器 称钱伊种定称味零 基本原理推导出这个基本辐射定律。这里我们不作具体推导，只是引用该普朗克谱的结果， 即 2xch B(2)= [em-) 其中h是普朗克常量(6.625×10-”尔格*秒)，c是光速，k是玻尔慈曼常量(1,380×10-“尔 格度)，入是辐射波长，T是黑体的温度，单位为K。B(入)的单位是“每单位面积单位时 间和单位波长间隔上的能量”。普朗克辐射定律作为频率（或者波长）的函数图象见Z©1ik& Gregoryi课本上的图8-14(172页)。 A.推导关于黑体单位面积上辐射的总能量F对其温度T的关系：斯特藩-玻尔兹曼定律 (F=oT)(见Zeilik&Gregory课本中的公式8-40). 建议的步骤： 1.对普朗克函数在所有波长上进行积分.首先从积分式中提取出常量，这样积分式中只留 下一个无量钢变量x=2kT/hc的函数。该无量纲积分： 高岛 可以积出解析值：15（你们不必作证明）。 推导描述营朗克函数中的蜂值被长和温度的关系的维恩位移定
麻 省 理 工 学 院 物理系 物理学 8.282 2003 年 3 月 7 日 问题系列 5 截止时间: 3 月 14 日,星期五。你不必交这份题。如果交了答题将得到记分和额外的好评。 但是你需要仔细阅读这些问题所覆盖的资料。 参考读物: Zeilik & Gregory 的第十一，十二章。 通知：我们将在 3 月 10 日即星期一的正常课堂时间进行第一次小测验，测验内容将覆盖到 3 月 7 日星期五课堂上的所有内容和 Zeilik & Gregory 课本上第一，第八，第九和第十一 章的相关部分。你们可以准备一下，测验时可以带一页笔记。别忘了带计算器。 问题 1 “斯特藩-玻尔兹曼定律和维恩辐射定律的推导” 普朗克黑体辐射定律（1901 年）描述了温度为 T 的“黑体”表面（吸收所有入射辐射） 每单位面积单位波长上发射的电磁功率。我们可以通过很多方法利用统计学和量子物理学的 基本原理推导出这个基本辐射定律。这里我们不作具体推导，只是引用该普朗克谱的结果， 即： 2 5 2 ( ) [ 1 hc kT c h B e λ π λ λ = − ] 其中h是普朗克常量（6.625×10 尔格*秒），c是光速，k是玻尔兹曼常量（1.380×10 尔 格度 −27 −16 -1），λ 是辐射波长，T是黑体的温度，单位为K。B（λ ）的单位是“每单位面积单位时 间和单位波长间隔上的能量”。普朗克辐射定律作为频率（或者波长）的函数图象见Zeilik & Gregory课本上的图 8-14（172 页）。 A. 推导关于黑体单位面积上辐射的总能量 F 对其温度 T 的关系：斯特藩-玻尔兹曼定律 （ 4 F T = σ ）（见 Zeilik & Gregory 课本中的公式 8-40）。 建议的步骤： ⅰ. 对普朗克函数在所有波长上进行积分。首先从积分式中提取出常量，这样积分式中只留 下一个无量纲变量 x=λkT hc / 的函数。该无量纲积分： 3 1 0 0 5 [ 1 [ 1] y x dx y dy e x e ∞ ∞ = − ] − ∫ ∫ 可以积出解析值： （你们不必作证明）。 4 π /15 ⅱ. 找出以自然基本常量表示的σ 。 ⅲ. 估算σ 的数值（以厘米克秒制或米千克秒制为单位），并和书上给出的结果比较。 B. 推 导 描 述 普 朗 克 函 数 中 的 峰 值 波 长 和 温 度 T 的 关 系 的 维 恩 位 移 定 律 1
(入.T=029cK:见2ei1ik意Gregory课本公式8-39). 1.通过对2微分并令其等于零，计算B(无)的最大值： i,如果你的推导正确。上述微分结果将得到一个非线性方程，即：51一e)一y■0。利 用计算器采用一个试验值和误差方法，或者用牛顿方法编程计算，或者在某些计算器上用 “s01e”键计算（结果是y心4965）。如果你不想花时问解这个方程，只需简单检验一 下答案的正确性。 ⅱ，找出黑体辐财光语中的峰值被长和温度的关系： V,太阳的表面可以看作是一个相当好的厚体（即使它看上去不是黑的）。知果太阳的表面 温度是5800呱，计算出黑体辐射的峰值波长。 题2 “有关星等的简答问题” 2e11ik&Gre8ory课本上233页第十一章习题3,4,8(a和c)和10。 3 “移动星团方法一毕星团” 下面表格是毕星团中8个奥型恒星的测量数据。表格中的九列分别为：星号，赤经， 赤纬8，恒星星等，赤经白行从，C0s8和赤纬白行4·总自行4，辐射角日，祝向速度· 自行单位是0.01角秒每年（沿一个大圆）。计算毕星团的平均离和平均空间速度。 建议岁骤： a.从下面给出的毕星团的图中开始。表格中显示的恤星的位置和其它特性在图中用小的实 心园表示，图中还给出了代表每个恒限自行的小向量。方向由自行的两个分量（丛。C056和 )决定，向量的长度正比于自行山的大小。 投影足够的向量刊同一平面，找出一个大致的公共交义点（汇聚点成辐射点），计算出交 义线的引力中心的赤经和赤纬（位和8）， 6,表格中6.104,129号恒星证实辐射点到它们的角距离B丰常接近表格中第八列所给出 的数值。球面上两点的角距的近以表达式是：A8=(△82+△2c0s28)2。考虑到赤经 一小时等于15度(24小时等于360度)，对于这个月题，精确到1度已经足够了： c,利用公式： d=.tano 4.744 pe. 计算表格中任意三颗恒星到地球的更离，式中？，的单位是/s,!是总自行，单位是角秒每 年，0恒星到辐射点的角度。（使用表格中给出的？，出，0的值。） 4计算步蛋c中三个缸星的空间速度
（λ maxT = 29.0 cmK ；见 Zeilik & Gregory 课本公式 8-39）。 ⅰ. 通过对λ 微分并令其等于零，计算 B(λ )的最大值； ⅱ. 如果你的推导正确，上述微分结果将得到一个非线性方程，即：5(1 ) 0 y e y − − − = 。利 用计算器采用一个试验值和误差方法，或者用牛顿方法编程计算，或者在某些计算器上用 “solve”键计算（结果是 y≈4.965 ）。如果你不想花时间解这个方程，只需简单检验一 下答案的正确性。 ⅲ. 找出黑体辐射光谱中的峰值波长和温度的关系； ⅳ. 太阳的表面可以看作是一个相当好的黑体（即使它看上去不是黑的）。如果太阳的表面 温度是 5800K，计算出黑体辐射的峰值波长。 问题 2 “有关星等的简答问题” Zeilik & Gregory 课本上 233 页第十一章习题 3，4，8（a 和 c）和 10。 问题 3 “移动星团方法—毕星团” 下面表格是毕星团中 8 个典型恒星的测量数据。表格中的九列分别为：星号，赤经α ， 赤纬δ ，恒星星等，赤经自行 cos μα δ 和赤纬自行 μδ ，总自行 μ ，辐射角θ ，视向速度 。 自行单位是 0.001 角秒每年（沿一个大圆）。计算毕星团的平均距离和平均空间速度。 r v 建议步骤： a. 从下面给出的毕星团的图中开始，表格中显示的恒星的位置和其它特性在图中用小的实 心园表示，图中还给出了代表每个恒星自行的小向量。方向由自行的两个分量（ cos μα δ 和 μδ ）决定，向量的长度正比于自行 μ 的大小。 投影足够的向量到同一平面，找出一个大致的公共交叉点（汇聚点或辐射点）。计算出交 叉线的引力中心的赤经和赤纬（α 和δ ）。 b. 表格中 6，104，129 号恒星证实辐射点到它们的角距离θ 非常接近表格中第八列所给出 的数值。球面上两点的角距的近似表达式是： 。考虑到赤经 一小时等于 15 度（24 小时等于 360 度），对于这个问题，精确到 1 度已经足够了。 2 2/122 ( Δ+Δ≈Δ δαδθ )cos c. 利用公式： tan 4.74 r v d pc θ μ = , 计算表格中任意三颗恒星到地球的距离，式中 的单位是 km/s, r v μ 是总自行，单位是角秒每 年，θ 恒星到辐射点的角度。（使用表格中给出的 , , r v μ θ 的值。） d. 计算步骤 c 中三个恒星的空间速度。 2
e.根据步骤c,的结果计算到星团的平均距离和平均速度. (详细情况见Zei1ik表Gregory课本上383到38页的19,3部分，) 表格1：毕星团的一些数据 s 5 4514 45+0 选作下面的两个间题一剩下的任选。 但思4 “双星轨道1” Zei1ik最Gregory课木上249真第十二章问题3 (注意：轨道倾斜度为0度意味看我们是沿着双屋系统的角动量方向观察的，或者是轨道平 面位于天空平面内.》 题5 “双星轨道2” 2e111k着Greg0ry课本上249夏第十二章问题4. 题6 “双星轨道3” 2e11k素Greg0ry课本上249页第十二章问题5. 间题7 “双星轨道4” Zei1ik&Gregory课本上249页第十二章问题8
e. 根据步骤 c,d 的结果计算到星团的平均距离和平均速度。 （详细情况见 Zeilik & Gregory 课本上 383 到 385 页的 19.3 部分。） 表格 1：毕星团的一些数据 选作下面的两个问题—剩下的任选。 问题 4 “双星轨道 1” Zeilik & Gregory 课本上 249 页第十二章问题 3 （注意：轨道倾斜度为 0 度意味着我们是沿着双星系统的角动量方向观察的，或者是轨道平 面位于天空平面内。） 问题 5 “双星轨道 2” Zeilik & Gregory 课本上 249 页第十二章问题 4。 问题 6 “双星轨道 3” Zeilik & Gregory 课本上 249 页第十二章问题 5。 问题 7 “双星轨道 4” Zeilik & Gregory 课本上 249 页第十二章问题 8。 3
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