1.033/1.57:H#4:“香槟法”(3维弹塑性) 部分1-3(H#4):2003年12月1日 部分4(Q#3):2003年12月5日 麻省理工学院-1.033/1.57 203年秋 i讲师：Franz-JosefULM 我们考虑一个具有直径2a和长度1的空洞的刚性无限半空间（见下图）。我们 想在这个洞中对一个长度同样为L的可变形的圆柱样品越加作用力，但是它的直径 2R>2a比孔洞大.圆柱体刚开始是无应力作用的，受外力作用而完全进入孔洞中 在这个过程中，圆柱体的长度不变。圆柱壁和孔洞壁的接触是无磨擦的。我们将对 这里的应力场以及将园柱维持在孔洞中所需菱的力下进行研究。在这个练习中我们 假设恒温和准静态演化 并且不考虑体积力 图：在~个刚性半空间中的可变形西柱体 第页
1.033/1.57:H#4：“香槟法” （3 维弹塑性） 部分 1－3（H＃4）：2003 年 12 月 1 日 部分 4（Q＃3）：2003 年 12 月 5 日 麻省理工学院-1.033/1.57 2003 年秋 讲师：Franz-Josef ULM 我们考虑一个具有直径 2a 和长度 L 的空洞的刚性无限半空间（见下图）。我们 想在这个洞中对一个长度同样为 L 的可变形的圆柱样品施加作用力，但是它的直径 2R＞2a 比孔洞大。圆柱体刚开始是无应力作用的，受外力作用而完全进入孔洞中。 在这个过程中，圆柱体的长度不变。圆柱壁和孔洞壁的接触是无磨擦的。我们将对 这里的应力场以及将圆柱维持在孔洞中所需要的力 F 进行研究。在这个练习中我们 假设恒温和准静态演化，并且不考虑体积力。 图：在一个刚性半空间中的可变形圆柱体 第 1 页
1形变和应变：我们考虑位移场只有如下形式： ￡=u(r)e+D 其中u是在半径方向c,的位移：它是·个纯径向位移场。D是在这个过程中保证圆 柱样品的轴与孔润的轴一致的刚性体积位移场。 ()细化位移场所需要满足的运动学上允许的条件 (b)一旦圆柱样品进入孔润中，我们将在微扰假设下处理问思。对此问恶，细化 设的位移场的约束条件。 ()确定线性化的应变张量， 2.弹性：我们起确定在过程结束时样品的应力场以及维特样品在孔洞中所要的 力。先作一个近似，我们假定圆柱样品具有线性弹性各向同性行为Lm常数入， (®)确定圆柱样品中的弹性应力场 (b)对于静态允许的弹性应力场如来说，什么方程才满足径向位移)？通过解这 个方程，确定图数u和线性弹性应力解 ()确定维持样品在孔洞中所需要的力强度，确定周围的刚性介质加给样品的 压力p. (d)确定当样品在孔洞中时存储在圆杜体中的弹性能。 3.弹性强度极限：我们想确定当应力达到弹性极限时，样品和孔洞的半径Ra之 间的最大差值 (a)画出的面确定的嫌性解的Mohr题. (b)假定样品由Tresca材料组成，由单锥压缩强度表征。确定允许的半径差R-a。 最大剪切发生在哪儿？以及是什么样的表面上呢？ (c)对于由粘结C和摩擦角中表示的Mor Coulomb材料的最大允许半径差Ra是 多少 第2页
1.形变和应变：我们考虑位移场具有如下形式： 其中u(r)是在半径方向er 的位移；它是一个纯径向位移场。D是在这个过程中保证圆 柱样品的轴与孔洞的轴一致的刚性体积位移场。 （a）细化位移场所需要满足的运动学上允许的条件。 （b）一旦圆柱样品进入孔洞中，我们将在微扰假设下处理问题。对此问题，细化假 设的位移场的约束条件。 （c）确定线性化的应变张量。 2.弹性：我们想确定在过程结束时样品的应力场以及维持样品在孔洞中所需要的 力。先作一个近似，我们假定圆柱样品具有线性弹性各向同性行为(Lamé常数λ, μ)。 （a）确定圆柱样品中的弹性应力场。 （b）对于静态允许的弹性应力场σ来说，什么方程才满足径向位移 u(r)?通过解这 个方程，确定函数 u(r)和线性弹性应力解。 （c）确定维持样品在孔洞中所需要的力强度 F。确定周围的刚性介质施加给样品的 压力 p。 （d）确定当样品在孔洞中时存储在圆柱体中的弹性能。 3.弹性强度极限：我们想确定当应力达到弹性极限时，样品和孔洞的半径 R-a 之 间的最大差值。 （a）画出前面确定的弹性解的 Mohr 圆。 （b）假定样品由Tresca材料组成，由单轴压缩强度f c ’ 表征。确定允许的半径差R-a。 最大剪切发生在哪儿？以及是什么样的表面上呢？ （c）对于由粘结 C 和摩擦角φ表示的 Mohr-Coulomb 材料的最大允许半径差 R-a 是 多少？ 第 2 页
4,塑性：更实际地，我们现在假设圆柱休由一种各向同性理想弹塑性0Mes材 料（剪切强度k)组成。我们想确定以一个给定的半径差R-a,>R-4,迫使样品保持 在孔洞所需要的F。R一4对应于当样品开始屈服时的极限半径若 (a)确定对应于Von-Miscs材料样品弹性极限状态的半径差R-a. (6)我们想确定当柱体在孔洞中时圆柱中主的弹塑性应力场。 1.对于目前的问翅，写出解决问题所要的本构方程 Ⅱ.连续性条件d=0可以导出： 中-=0 式中d中是周围介质对样品施加的压力增量：dF是施加在圆柱头上的力（见 图。从前面的结果，确定塑性乘子。 山。确定在弹塑性负载过程结束时的应力张量。」 (c)阐明在Mr应力平面上的弹塑性过程，以及受弹塑性活动影响的临界剪切平 面上的应力矢址是怎样的 (d)确定在弹塑性过程中的力强度F。将结果与弹性例子对比（例如问源2c),并 知以l球论！ ()将周国的刚性半空间施加的压力p对这个负载过程的半径变化作图 ()确定过程中耗散变成热量的能量位。 (g)最后，我们想通过个开塞钻把圆柱样品从刚性半空间中板出，并在开塞 时保挂网柱样品的长府。座定这样做所需琴的力下， 第3页
4.塑性：更实际地，我们现在假设圆柱体由一种各向同性理想弹塑性Von-Mises材 料（剪切强度k）组成。我们想确定以一个给定的半径差R-a1 >R-a0，迫使样品保持 在孔洞所需要的力F。R－a0 对应于当样品开始屈服时的极限半径差。 （a）确定对应于Von-Mises材料样品弹性极限状态的半径差R-a0 。 （b）我们想确定当圆柱体在孔洞中时圆柱中主要的弹塑性应力场σ。 I. 对于目前的问题，写出解决问题所需要的本构方程。 II. 连续性条件 df=0 可以导出： 式中 dp 是周围介质对样品施加的压力增量；dF 是施加在圆柱头上的力（见 图）。从前面的结果，确定塑性乘子。 III．确定在弹塑性负载过程结束时的应力张量σ。 （c）阐明在 Mohr 应力平面上的弹塑性过程，以及受弹塑性活动影响的临界剪切平 面上的应力矢量是怎样的？ （d）确定在弹塑性过程中的力强度 F。将结果与弹性例子对比（例如问题 2c），并 加以评论！ （e）将周围的刚性半空间施加的压力 p 对这个负载过程的半径变化作图。 （f）确定过程中耗散变成热量的能量值。 （g）最后，我们想通过一个“开塞钻”把圆柱样品从刚性半空间中“拔出”，并在开塞 时保持圆柱样品的长度。确定这样做所需要的力 F。 第 3 页