高等数学（上）模拟试卷一及参考答案 一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1)函数()在x=处连续是（冈）在x=处可微的)条件， A.充分B.必要C.充分必要D.无关的 (2)当x→0时， (e-是关于x的) A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小 ()=-2x (3)x=2是函数 x-2的(). A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 (4)函数 x及其图形在区间（L,+0)上O. A.单调减少上凹B.单调增加上凹C.单调减少上凸D.单调增加上凸 (5)若广义积分 0(1-x)收敛，则() A.k>1B.k≥1c.k≤1D.k<1 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） lim(1+sinx)= (1)x-0 (2)已知y=e, n为自然数，则0= (3)曲线y=山x上经过点(1,0)的切线方程是：y= ird- (4) 6)已知G()-eh.则G(0)- 三、计算下列极限（本题共2小题，每小题6分，共12分） limx 四、计算下列导数或微分（本题共3小题，每小题6分，共18分）
高等数学（上）模拟试卷一及参考答案 一、单项选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） （1）函数 f x( ) 在 0 x x = 处连续是 f x( ) 在 0 x x = 处可微的（）条件. A.充分 B.必要 C.充分必要 D.无关的 （2）当 x →0 时， ( ) 2 1 x e − 是关于 x 的（） A.同阶无穷小 B.低阶无穷小 C.高阶无穷小 D.等价无穷小 （3） x = 2 是函数 ( ) 2 2 2 x x f x x − = − 的（）. A.连续点 B.可去间断点 C.跳跃间断点 D.无穷间断点 （4）函数 ( ) 2 f x x = 及其图形在区间 (1,+) 上（）. A.单调减少上凹 B.单调增加上凹 C.单调减少上凸 D.单调增加上凸 （5）若广义积分 ( ) 1 0 1 k dx − x 收敛，则（）. A. k 1 B. k 1 C. k 1 D. k 1 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） （1） ( ) 1 2 0 lim 1 sin x x → + = （2）已知 x y xe = ，n 为自然数，则 (n) y = （3）曲线 y x = ln 上经过点（1，0）的切线方程是： y = （4） 2 x f dx = （5）已知 ( ) 2 0 x t G x e dt − = ，则 G(0) = 三、计算下列极限（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分） （1） ( ) 0 1 1 lim x→ ln 1 x x − + （2） 1 1 1 lim x x x − → 四、计算下列导数或微分（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
0+可.求密爱 妙 'y (2)y=f(sin,其中f具有二阶导数，求 y (3)设函数y=f(冈由方程x+y=e'确定，求 五、计算下列不定积分（本题共2小题，每小题6分，共12分） (①∫xarctan(2)Jv9-Fd 六、计算下列定积分（本题共2小题，每小题6分，共12分) xe'ds [4 2xdx 七、应用题（本题共2小题，每小题6分，共12分） (1)已知销售量Q与价格P的函数关系Q=10000一P,求销售量Q关于价格P的弹性函 数、 (2)设某工厂生产某产品的产量为Q件时的总成本 4o)-50+80-70e 元， R(g)=200-Lg 产品销售后的收 5001 元，国家对每件产品征税2元，问该工厂生产该 产品的产量为多少件时才能获得最大利润？最大利润是多少？ 八、证明题（本题满分4分） 设函数f()在闭区间0，上连续，在开区间(0,1D内可导，且f0)=f0=0. 试证：存在5∈(0,1D,使得'（⑤）=2004f(⑤)
（1） ( ) 2 y x x = + + ln 1 ，求 dy dx 及 dy. （2） y f x = (sin ) ，其中 f 具有二阶导数，求 2 2 d y dx （3）设函数 y f x = ( ) 由方程 y x y e + = 确定，求 dy dx 五、计算下列不定积分（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分） （1） x xdx arctan （2） 2 9 − x dx 六、计算下列定积分（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分） （1） 1 0 x xe dx （2） 4 0 2 2 1 xdx x + 七、应用题（本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分） （1）已知销售量 Q 与价格 P 的函数关系 Q=10000－P，求销售量 Q 关于价格 P 的弹性函 数. （2）设某工厂生产某产品的产量为 Q 件时的总成本 ( ) 1 2 5000 8 1000 C Q Q Q = + − 元， 产品销售后的收益 ( ) 1 2 20 500 R Q Q Q = − 元，国家对每件产品征税 2 元，问该工厂生产该 产品的产量为多少件时才能获得最大利润？最大利润是多少？ 八、证明题（本题满分 4 分） 设函数 f x( ) 在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且 f f (0 1 0 ) = = ( ) . 试证：存在 （0，1），使得 f f ( ) = 2004 . ( )
高等数学（上）模拟试卷一 答案与提示 一、(1)B:(2)C:(3)B:(4)A:(5)D 三、)e:2(x+n川e:3)x-l,4 . :(5)1 三、(1)2：(2)e -1 四.F, (sinx)sinx+f"(sinx)cosx (2)dk dy I (3)dx ex-1 x2+1 arctanx-x+C 五、(1)2 2 9 x.9 2 arcsin号+gxV9-x2+C (2)2 32 20 六、(1)1：(2)3 P 七、(1) 7=10000-P (2)当Q=5000时，最大利润L(5000)=20000 八、设F()=f(e,则FO)=F(0=0 由罗尔定理，F(5)=0
高等数学（上）模拟试卷一 答案与提示 一、（1）B；（2）C；（3）B；（4）A；（5）D 二、（1）e；（2） ( ) x x n e + ；（3） x −1 ；（4） 2 2 x f c + ；（5）1 三、（1） 1 2 ；（2）e 四、（1） 2 1 1 dy dx x = + ， 2 1 1 dy dx x = + （2） ( ) ( ) 2 sin sin sin cos dy f x x f x x dx = − + （3） 1 1 y dy dx e = − 五、（1） 2 1 arctan 2 2 x x x C + − + （2） 9 9 2 arcsin 9 2 3 2 x + − + x x C 六、（1）1；（2） 20 3 七、（1） 10000 P P = − （2）当 Q=5000 时，最大利润 L（5000）=20000 八、设 ( ) ( ) 2004x F x f x e− = ，则 F F (0 1 0 ) = = ( ) 由罗尔定理， F( ) = 0