第三章幂函数，指数函数，对数函数*3.1指数概念的扩充*3.2幂函数*3.3指数函数￥3.4对数*3.5对数的性质和运算法则￥3.6对数函数
第三章 幂函数，指数函数，对数函数 ❖3.1指数概念的扩充 ❖3.2幂函数 ❖3.3指数函数 ❖3.4对数 ❖3.5对数的性质和运算 法则 ❖3.6对数函数
3.1指数概念的扩充根式我们知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根.一般地，如果一个数的n次方等于a（n>1，且nEN*）那么这个数叫作a的n次方根：这就是说，如果xn=a，那么叫作a的n次方根，其中n>1，且nEN*.容易知道：当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．这时，a的n次方根用符号α表示：例如27=3,-32=2,a=α
3.1 指数概念的扩充 ❖ 根式 我们知道，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a 的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立 方根． 一般地，如果一个数的n次方等于a（n>1，且n∈N*）， 那么这个数叫作a的n次方根．这就是说，如果x n=a，那么x叫 作a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．容易知道： 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次 方根是一个负数．这时，a的n次方根用符号 表示． 例如 n a 3 5 3 6 2 27 3 32 2 = − = − = ， ， a a
3.1指数概念的扩充分数指数幂对a>0，k=㎡（n>1，且m，nEN*），根据幂的运算性质（2），可得nmm(a)" =(a")" =an" =am这样，由n次根式的定义，就可以把”看成a㎡的n次方根，因此，我们规定正数的正分数指数幂的意义是ma"=Vam(a>0,m,neN*,且n> 1)(a>0,m,neN*,且n>1)正数的负分数指数幂的意义是man
3.1 指数概念的扩充 ❖ 分数指数幂 对a>0，k= （n>1，且m，n∈N*），根据幂的运算性质（2），可得 这样，由n次根式的定义，就可以把 看成 的n次方根，因此， 我们规定正数的正分数指数幂的意义是 正数的负分数指数幂的意义是 m n ( ) ( ) m m n k n n m n n a a a a = = = m n a m a ( 0, , , 1) n m n m a a a m n n = N 且 1 ( 0, , , 1) m n m n a a m n n a − = N 且
3.2幂函数一般地，函数y=x"叫作幂函数，其中x是自变量，n是常数（n可以是任何实数，我们仅研究n是有理数的情形）幂函数y=x'的定义域是使x有意义的实数的集合：例如，函数y=x，y=x2的定义域均为实数集R，函数y=x-1的定义域为(x|xER，x≠O)
3.2 幂函数 ❖ 一般地，函数y=xn叫作幂函数，其中x是自变量，n是常数 （n可以是任何实数，我们仅研究n是有理数的情形）． 幂函数y=xn的定义域是使x n有意义的实数的集合． ❖ 例如，函数y=x，y=x2的定义域均为实数集R，函数y=x-1 的定义域为 { | 0} x x x R
3.3指数函数我们来研究下面的问题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个.一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数y与分裂次数x的函数关系是y=2×在这个函数里，自变量出现在指数的位置上，而底数2是一个大于零且不等于1的常量：一般地，函数y=a叫作指数函数，其中是一个大于零且不等于1的常量，函数的定义域是实数集R（a>0，当x是无理数时，是一个确定的实数，对于无理数指数幕，前面的有理数指数幂的性质和运算法则都适用）：
3.3 指数函数 我们来研究下面的问题： 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个. 一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数y与分裂次 数x的函数关系是y=2x 在这个函数里，自变量x出现在指数的位置上，而底 数2是一个大于零且不等于1的常量． ❖ 一般地，函数y=ax叫作指数函数，其中是一个大于零且不 等于1的常量，函数的定义域是实数集R（a＞0，当x是无 理数时，是一个确定的实数，且对于无理数指数幂，前面 的有理数指数幂的性质和运算法则都适用）．
3.4对数一般地，如果a(a>0,a1)的b次幂等于N，就是a=N，那·么数b就叫作以a为底N的对数，记作logaN=b其中叫作底数，N叫作真数，式子logaN叫作对数式.log,N读作“以a为底N的对数”，或“log以a为底N"例如：因为42=16，所以底数为4时，16的对数是2，记作log416=2
3.4 对数 ❖ 一般地，如果a(a＞0,a≠1)的b次幂等于N，就是a b =N，那 么数b就叫作以a为底N的对数，记作logaN=b, 其中叫作底数，N叫作真数，式子logaN叫作对数 式．logaN读作“以a为底N的对数”，或“log以a为底 N”． 例如： 因为4 2 =16，所以底数为4时，16的对数是2，记 作log416=2
我们知道，与指数等式a=N相对应的对数等式为logaN=b所以，把a=N中的b写成logaN，就有aloga N = N(α>0,αa # 1, N >0)这个式子叫作对数恒等式，例如，在24=16中，如果把4写成log216，就有2log216=16
❖ 我们知道，与指数等式a b =N相对应的对数等式为logaN=b， 所以，把a b =N中的b写成logaN，就有 这个式子叫作对数恒等式． 例如，在2 4 =16中，如果把4写成log216，就有 2 log2 16=16. log ( 0, 1, 0) a N a N a a N =
3.5对数的性质和运算法则对数的性质（1）负数和零没有对数（2）1的对数是零：（3）底数的对数等于1：
3.5 对数的性质和运算法则 ❖ 对数的性质 （1）负数和零没有对数． （2）1的对数是零． （3）底数的对数等于1．
3.5对数的性质和运算法则心对数的运算法则（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数：（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘幂指数：（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数：
3.5 对数的性质和运算法则 ❖ 对数的运算法则 （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和． （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数． （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘幂指数． （4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．
3.6对数函数对数函数的概念一般的，函数y=logax（这里底数a是一个大于零且不等于1的常量）就是指数函数的反函数：因为y=a的值域是（0，+8），所以函数y=logax的定义域是（0，+）：函数logax（a>0，a1）叫作对数函数函数的定义域是（0，+8）
3.6 对数函数 ❖ 对数函数的概念 一般的，函数y=logax（这里底数a是一个大于零且不等于1的常 量）就是指数函数的反函数．因为y=ax的值域是（0，+∞），所 以函数y=logax的定义域是（0，+∞）． 函数logax（a＞0，a≠1）叫作对数函数．函数的定义域是（0， +∞）．