第2章极限与违峡棕合练习及参考答案 中央电大顾静相 第2章极限与连线 一、填空题 x2 sin- = 1极限四n 2.极限+ x2-1 发*1 f(x)=x-1 3.已知 X=1,若)在-，+)内连续，则a= f(x)-1 4.函数 I-e的何断点是 二、单现选择思 1,下列极限存在的是《)， A. 2- C. lm snx lm e D. 八)=1-知x 2.己知 x,若()为无穷小量。则x的趋向必须是《)， A.0 B.X→-0 C.x+1 D.x+0 3.下列两数在指定的变化过程中，《)不是无穷小量， sin A.1-e,(x→， ，(x→) B.x x+1-1 .x→0) C. D.1+)(x→0) 4若血=A,则到在点处( .有定文，且x)=A: B.没有定义： C.有定文，且八x)可为任意值： D.可以有定久，也可以没有定义 三、计算题 1,计算下列极限： 1
1 第 2 章 极限与连续综合练习及参考答案 中央电大 顾静相 第 2 章 极限与连续 一、填空题 ⒈ 极限 lim sin x sin x x → x = 0 2 1 ． 2．极限 x x x − → + ) 2 1 lim (1 = ． 3．已知 = − − = 1 1 1 1 ( ) 2 a x x x x f x ，若 f (x) 在 (−, + ) 内连续，则 a = ． 4．函数 x x f x − − = 1 1 e 1 ( ) 的间断点是 ． 二、单项选择题 ⒈ 下列极限存在的是（ ）． A． 1 lim 2 2 → x − x x B． 2 1 1 lim →0 − x x C． x x lim sin → D． x x 1 lim e → 2．已知 x x f x sin ( ) = 1− ，若 f (x) 为无穷小量，则 x 的趋向必须是（ ）． A． x → + B． x →− C． x →1 D． x →0 3．下列函数在指定的变化过程中，（ ）不是无穷小量． A． x 1 1− e ， (x → ) ； B． sin , ( ) x x x → ； C． x x x + − → 1 1 , ( 0) ； D． ln(1+ x) ， (x → 0) 4．若 f x A x x = → lim ( ) 0 ，则 f (x) 在点 0 x 处( ) A．有定义，且 f (x0 ) = A ； B．没有定义； C．有定义，且 ( ) 0 f x 可为任意值； D．可以有定义，也可以没有定义． 三、计算题 ⒈ 计算下列极限：
√3-x-1+x lim x2+c062x-1 2四+”(x+编x) (x"-23x+) lim ()+ (2x+3)” m(14 sn x'tanx 间职-2- lm (6)01-C0sx 2.讨论下列函数八)的连续性，并写出其连续区间。 (x-2)2x>1 八x)=x -1sxsl x+1x《-1 参考解答
2 ⑴ 1 3 1 lim 2 1 − − − + → x x x x ⑵ 2 2 2 ( sin ) cos 1 lim x x x x x + + − → ⑶ 1 1 0 ) 2 2 lim ( + → − x x x (4) lim ( )( ) ( ) x x x → x − + + 10 20 30 2 3 1 2 3 (5) ) 4 4 2 1 lim ( 2 2 − − x→ x − x (6) 2 3 0 1 cos sin tan lim x x x x→ − 2．讨论下列函数 f (x) 的连续性，并写出其连续区间． + − − − = 1 1 1 1 ( 2) 1 ( ) 2 x x x x x x f x 参考解答
一，填空题 1.0 2e 3.2 4.=02=1 二、单项选择愿 1.A2.D3.C4.D 三，计算题 m 3-x-1+3=m 3-x-+xX3-x++x列 11)解： x2-1 (x2-3-x+1+x) 3-x-(1+x) -24x-10 “-W3-x+1+)"c-W5-++到 -=m -2 =▣红+1W3-x+1+)“25 1+c0sx-1 x2 +cosx-1 n 2)解1 m0+血 =1 3)解： 0-g- -6+ lim ”-23x+1m (2x+3)0 x”(2+3 ()解： m3+ 1-2 m(2+3)0 3 2 x+2 4 ③解，四-2x.x-2+2-司 lun(- lim-2 11 口m 2(x+2Mx-2)=+2(x+2)4 3
3 一、填空题 1．0 2． 2 1 e − 3．2 4． x1 = 0 , x2 =1 二、单项选择题 1．A 2．D 3．C 4．D 三、计算题 ⒈⑴ 解： ( 1)( 3 1 ) ( 3 1 )( 3 1 ) lim 1 3 1 lim 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x − − + + − − + − + + = − − − + → → ( 1)( 3 1 ) 2( 1) lim ( 1)( 3 1 ) 3 (1 ) lim 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x − − + + − − = − − + + − − + = → → ( 1)( 3 1 ) 2 lim 1 x x x x + − + + − = → 2 2 1 = − (2) 解： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) sin lim (1 ] cos 1 lim[1 ) sin (1 cos 1 1 lim ( sin ) cos 1 lim x x x x x x x x x x x x x x x x + − + = + − + = + + − → → → → = 1 (3) 解： 1 1 0 ) 2 2 lim ( + → − x x x = ) 1 2 1 ( 2 0 ) 2 lim (1 − − + → − x x x = ) 2 ) ] (1 2 lim[(1 ) 2 1 ( 2 0 x x x x − − − − → = ) 2 ) ] lim (1 2 [lim (1 0 ) 2 1 ( 2 0 x x x x x − − → − − → = 2 1 e − (4) 解： lim ( )( ) ( ) x x x → x − + + 10 20 30 2 3 1 2 3 = 30 30 20 20 10 10 ) 3 (2 ) 1 ) (3 2 (1 lim x x x x x x x + − + → = 30 20 10 ) 3 lim (2 ) 1 ) lim (3 2 lim (1 x x x x x x + − + → → → = 30 20 2 3 (5) 解： ) 4 4 2 1 lim ( 2 2 − − x→ x − x = ) 4 4 ( 2)( 2) 2 lim ( 2 2 − − − + + → x x x x x = ( 2)( 2) 2 lim 2 + − − → x x x x = 4 1 ( 2) 1 lim 2 = x→ x +
snx'tanx lim sin x'tanx 6)解： 1-cos= lim snxi tan x ×1 1 Im 1-cosx +0 =2=2 2.解：先时论八)在点X=-山处的连线性。 因为 mf国mx+》0.画田..- 即 m.f闭*mf国 所口儿不存在，故f儿国在点x=-1处间断。 再讨论八)在点x=1处的连线性。 因为 f倒..1，m国.x-21 且 f..1.nf)f到 所以儿)在点x■1处连续。由此可得，函数)的连续区阿为（仁心一）和 (-l+∞)
4 (6) 解： 2 3 0 1 cos sin tan lim x x x x→ − = 4 2 3 3 0 1 cos sin tan lim x x x x x x x − → = 4 2 0 0 3 3 0 1 cos lim tan lim sin lim x x x x x x x x x − → → → = 2 1 11 = 2 2．解：先讨论 f (x) 在点 x = −1 处的连续性． 因为 lim ( ) 1 f x x − →− = lim ( 1) 1 + − →− x x = 0， lim ( ) 1 f x x + →− = x x + →−1 lim = -1 即 − →− lim ( ) 1 f x x lim ( ) 1 f x x + →− 所以 lim ( ) 1 f x x→− 不存在，故 f (x) 在点 x = −1 处间断． 再讨论 f (x) 在点 x =1 处的连续性． 因为 lim ( ) 1 f x x→ − = x x→ − 1 lim = 1 ， lim ( ) 1 f x x→ + = 2 1 lim ( − 2) → + x x =1 且 f (1) = x=1 x = 1 = lim ( ) 0 f x x→ − = lim ( ) 0 f x x→ + 所以 f (x) 在点 x =1 处连续．由此可得，函数 f (x) 的连续区间为 (−, −1) 和 (−1, + )．