常徽分方程机扳测试120分钟卷 一，填空 型 =sin x cosy 1方程如 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 A可平国 BD=(()E20) 《或含y轴的右半平面) C.D=(()e ,(或不含y轴的右半平面) DD《红)e之0，（成含x轴的上学平面） E（-g,+四) ED=)eR>0,《成不含x轴的上半平面 2若函数组()甲（幻在区何《a)上线性相关，对它们的朗斯基行列式（闭在区间 (ab)上 A充分必要 B.必要 C线性无关《或：它们的朗斯基行列式不等于零) D00.(-10) E恒等于零 F充分 =y以x十功 3方程d女 的任一非零解 A不能与x轴相交 B.开 C.充分 D.不能与x轴相切 E不能与》轴相交
常微分方程模拟测试 120 分钟卷 一、填空 1 方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 A. 平面 B. ，（或含 y 轴的右半平面） C. ，（或不含 y 轴的右半平面） D. ，（或含 x 轴的上半平面） E. F. ，（或不含 x 轴的上半平面） 2 若函数组 在区间 上线性相关，则它们的朗斯基行列式 在区间 上． A.充分必要 B.必要 C.线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） D. ， E.恒等于零 F.充分 3 方程 的任一非零解 A.不能与 轴相交 B.开 C.充分 D.不能与 轴相切 E.不能与 轴相交
F.2 4方程少+y=0的琴本解组是 A.n B.cos,sinx C没有线 D中，和 E.e",te E02x,c082x y 1 y=. 5方程dr 通过点(1,1)的解为2-x,其有定文的区间是 Ay=切，k=0士1，土2，…：或2 x=刀+机k=0,士1，±2 By=t1,x=土1 c=0,y=1 D.(-02) Ey■1 Ey=机，k=0,±1土2. 二、选择 坐= 1方程d 过点0,0) A只有一个解 B.无解 C.有无数个解 D.只有两个解 2#阶线性齐方程的所有解构咸一个()线性空间， A?推
F.2 4 方程 的基本解组是 A.n B. ， C.没有线 D. E. F. 5 方程 通过点(1,1)的解为 ，其有定义的区间是 A. ；或 B. C. ， D. E. F. 二、选择 1 方程 过点 （）． A.只有一个解 B.无解 C.有无数个解 D.只有两个解 2 阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间． A. 维
B为+1旋 C为-1 D.?+2维 (x,》 3如果伍》，少厂都在0y平面上连统，那么方程 史f红》 的任一解的存 在区侧(). A必为(0，+四) B将因解而定 C必为一回0) D.必为(0，+o) 4向最函数组（以了（☒。，(）在区间1上线性相关的()条件是在区间1上它们 的明斯基行列式W()=0 A B必要 C充分必要 D克分 5方程女 -y*2 在0y平面上()， A有奇解y一2x B有奇解Y■x C有奇解Y=0 D.无奇解 三，求下列方程的通解成通积分 y=+20y01 d+62+h刘=0 2X
B. 维 C. 维 D. 维 3 如果 ， 都在 平面上连续，那么方程 的任一解的存 在区间（）． A.必为 B.将因解而定 C.必为 D.必为 4 向量函数组 在区间 I 上线性相关的（）条件是在区间 I 上它们 的朗斯基行列式 ． A. B.必要 C.充分必要 D.充分 5 方程 在 平面上（）． A.有奇解 B.有奇解 C.有奇解 D.无奇解 三、求下列方程的通解或通积分 1 2
+3y=e2 3d女 业.2w-y 4d女x2 史y+对 5d女 四、计算圈 1求方程-3列=”的通解。 2求下列方程组的通解. x+y d dy =3x+4y 五、证明题 1在方程y+p(闭y+q(y=0中，已知P(闭，P(网在《0，+o)上连铁.求证： 该方程的任一非零解在P(网平面上不能与x轴相切。 2设气闭为区铜(-0，+阿)上的有界连续函数。正明：方程 贵y 在区阿《-@，+6O)上存在一个有界解. 参考答案 一、填空 1答案：A@砂平面。 2答案：E恒等于零. 3答案：A不修与云轴相交。 4答案，B.C08万，阳石。 5答案：Fy=切，k=0,士1，土2，， 二、选择
3 4 5 四、计算题 1 求方程 的通解． 2 求下列方程组的通解． 五、证明题 1 在方程 中，已知 ， 在 上连续．求证： 该方程的任一非零解在 平面上不能与 x 轴相切． 2 设 为区间 上的有界连续函数．证明：方程 在区间 上存在一个有界解． 参考答案 一、填空 1.答案：A. 平面。 2.答案：E.恒等于零。 3.答案：A.不能与 轴相交。 4.答案：B. ， 。 5.答案：F. 。 二、选择
1答案：A只有一个解. 2答案：A月维。 3答案：B将因解面定。 4答案：B.必要。 5答案：D.无奇解。 三、求下列方程的通解或通积分 1参考答案：解源方程是克菜洛方程。 (3分)(4分) 通解为=Cx+2C(6分)（8分 am 1 aN 2参考答案：解因为不办，所以原方程是全微分方程. (2分)(3分) au 1 aN 取动不六，原方程的通积分为 +y-c (4分)(6分) 即 ar以 (6分)〔8分) 3参考答案：解对应的齐次方程的通解为 yCe 〔3分)(4分) 令非齐次方程的特解为 y=C(x南 )=e”+C 代入原方程，确定出 5 原方程的通解为 yGe4C)=”+c 5 (6分)(8分)
1.答案：A.只有一个解。 2.答案：A. 维。 3.答案：B.将因解而定。 4.答案：B.必要。 5.答案：D.无奇解。 三、求下列方程的通解或通积分 1.参考答案：解原方程是克莱洛方程， （3 分）（4 分） 通解为 （6 分）（8 分） 2.参考答案：解因为 ，所以原方程是全微分方程． （2 分）（3 分） 取 ，原方程的通积分为 （4 分）（6 分） 即 （6 分）（8 分） 3.参考答案：解对应的齐次方程的通解为 （3 分）（4 分） 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + （6 分）（8 分）
4参考容案：解方程可改写为 y.22-白 dxx 4 令云，则-+‘，代入得 W+x =2w-u2 d 或'-u+m'(2分)(3分) 分离变量，得P■+‘ 积分，得 pr-u*四4分6 原方程的通积分为：P”■让+测“《6分)《8分) 5参考答案：解方程丙瑞阿乘以，得 y2分)(3分) ·则> 色少 ，代入上式。得 1业 4 dx -2=x 通解为 .1 2=Ce4:-x+ 4(4分)〔6分) 原方程通解为 1 y=Cer-x+ 4(6分)(8分) 四、计算题 1参考答案：解对应的齐次方程的特征方程为及-3说=0， 特任根为 A=0.足-3灵=0 故齐次方程的通解为？-3引=0(4分)《6分)
4.参考答案：解方程可改写为 令 ，则 ，代入得 或 （2 分）（3 分） 分离变量，得 积分，得 或 （4 分）（6 分） 原方程的通积分为： （6 分）（8 分） 5.参考答案：解方程两端同乘以 ，得 （2 分）（3 分） 令 ，则 ，代入上式，得 通解为 （4 分）（6 分） 原方程通解为 （6 分）（8 分） 四、计算题 1.参考答案：解对应的齐次方程的特征方程为 ， 特征根为 ， 故齐次方程的通解为 （4 分）（6 分）
因为产-3=0不是特征根。所以，没非齐次方程的特解为 h(闭=”(6分)9分) 代入原方程，得 254e每-15Aen=e知 即 故单方程的通解为？-33=0(10分)(15分) 2参考容案，解方程组的特征方程为 即 2-6a+5=0 特征根为 20小 (2分)(4分) -网能4 -0 对应的解为 2-1=0 对应的转征向量的 分量，满足 - 可解出 a1=1,4■3 (5分)(9分)
因为 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 （6 分）（9 分） 代入原方程，得 即 ， 故原方程的通解为 （10 分）（15 分） 2.参考答案：解方程组的特征方程为 即 特征根为 ， （2 分）（4 分） 对应的解为 其中 是 对应的特征向量的 分量，满足 可解出 ． （5 分）（9 分）
2-1-0 同样，可解出 34- 应的特征向量的分量为 2-21 A--34-刘 =0 .(8分)(13分) 放原方程组的通解为 (10分)(15分) 五，证明圈 1参考答案：正明由己知条件可知。该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且 任一解的存在区间都是《0+⊙)】 显然，该方程有零解（因）▣0 (5分)(7分) 假设该方程的任一非零解（闭■0在x轴上某点(）=0处与x轴相切，即有 ()■0=0。那么由解的惟一性及该方程有零解()■0可知风闭=0，这是因为零解他 满足初值条件()=()。 0.于是由解的惟一性，有闭-0y)0因-0.这与心闭)-0是非零解矛盾。 (10分)(15分) 2参考答案：证明先求出原方程的通解表达式为 y-e"[c+Tof()e'] (3分)(4分) 再取 c-fu'a 此r广义积分由0在区同C-八 上连续有界而保证牧数， (5分)(8分) 下面往证取此常数的解在(0+@)上有界， 不设S-广fme,x(国+回.取C-0世的 ”的解为 (x)-efd'ar
同样，可解出 对应的特征向量的分量为 ．（8 分）（13 分） 故原方程组的通解为 ． （10 分）（15 分） 五、证明题 1.参考答案：证明由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且 任一解的存在区间都是 ． 显然，该方程有零解 ． （5 分）（7 分） 假设该方程的任一非零解 在 x 轴上某点 处与 x 轴相切，即有 =0，那么由解的惟一性及该方程有零解 可知 ，这是因为零解也 满足初值条件 = 0，于是由解的惟一性，有 ．这与 是非零解矛盾． （10 分）（15 分） 2.参考答案：证明先求出原方程的通解表达式为 （3 分）（4 分） 再取 ，此广义积分由 在区间 上连续有界而保证收敛． （5 分）（8 分） 下面往证取此常数的解在 上有界． 不妨设 ， ．取 的解为
于是 b(xse-Me -eM(e"-0) 即 blsM c-e'd (10分)(15分)
于是 即 ， ． （10 分）（15 分）