常徽分方程镇拟测试90分钟卷 一、填空 .yiny 1方程女 所有常数解是 Ay-0.y-1 B.y cy=城，k=0,士1，±2…：或2 x=T+k机k=0,士1，t2, n(-0,2) Ey=x,k=0,±1±2. Ry=1x=士1 2方程知 满足解的存在难一性定理条件的区域是 D=(x)eR2>0 ,(或不含x触的上半平面) B砂平面 cD=z月eR2 ,《或含x轴的上竿平面) D-((zy)eR> ,《或不含y轴的右率平面) E (-0o.+c) E.D=((x)eRx20) 《或含y轴的右半平面) 3线性齐次微分方程组的解组为整本解组，以…，了，因的条件是它们的朗斯 基行列式罗)≠0 L充分 R0).(←-1) C充分必要
常微分方程模拟测试 90 分钟卷 一、填空 1 方程 所有常数解是 A. ， B. C. ；或 D. E. F. 2 方程 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 A. ，（或不含 x 轴的上半平面） B. 平面 C. ，（或含 x 轴的上半平面） D. ，（或不含 y 轴的右半平面） E. F. ，（或含 y 轴的右半平面） 3 线性齐次微分方程组的解组为基本解组 的条件是它们的朗斯 基行列式 ． A.充分 B. ， C.充分必要
D恒等于零 E线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） F必要 4一个不可延展解的存在在区间一定是0区间， L开 B不能与轴相交 C.2 D不能与轴相交 且充分 F.不能与轴相切 5方程广+4y+)y=0的基本解组是 A tin 2x,cos 2x B.ed re C没有钱 e,和 E cosx,sin x F.n 二、选择 y 1方程如 =y-x+x ()奇解 人有无数个 B.有两个 C有一个 D无 2方程正过点仔-D的解的存在区间是《. L(2+回
D.恒等于零 E.线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） F.必要 4 一个不可延展解的存在在区间一定是()区间． A.开 B.不能与轴相交 C.2 D.不能与轴相交 E.充分 F.不能与轴相切 5 方程 的基本解组是 A. B. C.没有线 D. E. ， F.n 二、选择 1 方程 （）奇解． A.有无数个 B.有两个 C.有一个 D.无 2 方程 过点 的解的存在区间是（）． A
B【2+m c(0.+回 n(83) 3二阶找性非齐次微分方程的所有解()， A构成一个无限隆线性空间 且构成一个3维线性空间 C构成一个2推线性空间 D.不能构成一个线性空间 4若罗=码（冈，y=码（因）是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的 通解可用这两个解表示为(). L网)-吗（刻 且网因)+吗（对 cC(网（国）-码(》+9() DC网（司+码( 5方程星+2+兰■1C0财的任一解的最大存在区问都是(). L(-90 且(+ c0,+ n02) 三，求下列方程的通解成通积分 y =0-y2) d 2+y'-x=0 -+名 dy
B. C. D. 3 二阶线性非齐次微分方程的所有解（）． A.构成一个无限维线性空间 B.构成一个 3 维线性空间 C.构成一个 2 维线性空间 D.不能构成一个线性空间 4 若 ， 是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的 通解可用这两个解表示为（）． A. B. C. D. 5 方程 的任一解的最大存在区间都是（）． A. B. C. D. 三、求下列方程的通解或通积分 1 2 3
4y=0+20y 5.(2w-cos动+(x2-0y=0 四、计算题 1求方程-3列▣“的通解】 五，证明避 1设（闭为区铜（一0，+⊙）上的有界连续函数。正明：方程 贵y 在区何《-0，+60)上存在一个有界解. 参考答案 一、填空 1.答案：Ay=0,y-l 2答案，A D=(x)eR2>0,（或不含x轴的上半平面D, 3答案：C充分必要 4答案：A开。 5答案：且t,秒 二，选释 L.答案：D.无. 2答案：L(2+回)， 3答案：D,不逢构成一个线性空间。 4答案：CC(网闭)-吗(》+网（团. &答案：B(一网+问)， 三，求下列方程的通解成通积分 参考答室：解当少≠1时，分离变量得 一少物=嫩 (3分)(4分)
4 5． 四、计算题 1 求方程 的通解． 五、证明题 1 设 为区间 上的有界连续函数．证明：方程 在区间 上存在一个有界解． 参考答案 一、填空 1.答案：A. ， 。 2.答案：A. ，（或不含 x 轴的上半平面）。 3.答案：C.充分必要。 4.答案：A.开。 5.答案：B. 。 二、选择 1.答案：D.无。 2.答案：A. 。 3.答案：D.不能构成一个线性空间。 4.答案：C. 。 5.答案：B. 。 三、求下列方程的通解或通积分 参考答案：解当 时，分离变量得 （3 分）（4 分）
等式两端积分得 =+c +c 1-y =Ce-,C=teaG 方程的通积分为 y2=1-Ce3 (6分)(8分)】 参考答案：解令少=‘，则原方程的参数形式为 x=t+e [y'=t (2分)(3分) 由基本美系式 4y=y'=1+ed 积分有 y=22+eg-0+c (4分)(6分) 得原方程参最形式通解 x=t+e y-3p+a-D+C 2 (6分)(8分) &参考答案：解令少=础，则少=出，代入原方程，得 .- d女 (2分)(3分》 分离变量，取不定积分，得 (4分)(6分) 通积分为：y=涨(6分)(8分) 4参考答案：解原方程是克莱洛方程， (3分)(4分)
等式两端积分得 方程的通积分为 （6 分）（8 分） 参考答案：解令 ，则原方程的参数形式为 （2 分）（3 分） 由基本关系式 积分有 （4 分）（6 分） 得原方程参数形式通解 （6 分）（8 分） 3.参考答案：解令 ，则 ，代入原方程，得 （2 分）（3 分） 分离变量，取不定积分，得 （4 分）（6 分） 通积分为： （6 分）（8 分） 4.参考答案：解原方程是克莱洛方程， （3 分）（4 分）
通解为y=Cx+2C3 (6分)(8分) aN ■2x■ 反参考答案：解由于 本，所以原方程是全微分方程。 (2分)(3分) =2x=0 a 取3 ，即方程的通积分为 (2x-c0sx-c (4分)(6分) aM -=2红= W 即 (6分)(8分) 四、计算题 1.参考容案：解对应的齐次方程的特征方程为？-3孔=0， 转狂根为 1=0.2-33=0 故齐次方程的通解为产-31=0(4分)(6分) 因为心-3以=0不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为（闭=：“ (6分)(9分) 代入原方程，得 254c-15Ae=e知 即 故原方程的通解为？-3羽=0(10分)(15分) 五，证明圈 1.参考答案：证明先求出解方程的通解表达式为 y-e[C+fe (3分)(4分) 再取
通解为 （6 分）（8 分） 5.参考答案：解由于 ，所以原方程是全微分方程． （2 分）（3 分） 取 ，原方程的通积分为 （4 分）（6 分） 即 （6 分）（8 分） 四、计算题 1.参考答案：解对应的齐次方程的特征方程为 ， 特征根为 ， 故齐次方程的通解为 （4 分）（6 分） 因为 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 （6 分）（9 分） 代入原方程，得 即 ， 故原方程的通解为 （10 分）（15 分） 五、证明题 1.参考答案：证明先求出原方程的通解表达式为 （3 分）（4 分） 再取
c-网a.r文积分由f0在区同S-0 上连续有界而保证牧数， (5分)(8分) 下面往证取此常数的解在（一0，+网）上有界。 不结设S-八me.(+回.取c-0e的 解为 )-e'f)c'd出 于是 b(xseMe-eM(e"-0) 即 bsM c-fe'd (10分)(15分)
，此广义积分由 在区间 上连续有界而保证收敛． （5 分）（8 分） 下面往证取此常数的解在 上有界． 不妨设 ， ．取 的解为 于是 即 ， ． （10 分）（15 分）