第四节线性系统的稳态误差分析计算 控制系统的稳态误差，是控制精度（准确度） 的一种度量，是控制系统的稳态性能指标。在实 际系统中，引起稳态误差的因素是多种多样的。 本节仅仅讨论线性系统由于系统结构、参数 及输入信号形式不同所引起的稳态误差。 一，系统误差及稳态误差的概念 实际物理系统从其主反馈通道来看分为单位 反馈和非单位反馈两种基本结构形式如图3.27(a) 及(b)所示
第四节 线性系统的稳态误差分析计算 控制系统的稳态误差，是控制精度(准确度) 的一种度量，是控制系统的稳态性能指标。在实 际系统中，引起稳态误差的因素是多种多样的。 本节仅仅讨论线性系统由于系统结构、参数 及输入信号形式不同所引起的稳态误差。 一. 系统误差及稳态误差的概念 实际物理系统从其主反馈通道来看分为单位 反馈和非单位反馈两种基本结构形式如图3.27(a) 及(b)所示
N(s N(s) (s) G,(s) (s (s H(s) @单位反馈系统 ()(s)≠1非单位反馈系统 图3.27 设C(s为希望的输出，Cs)为实际输出值。 定义：系统输出量的希望值与其实际值之差，叫做系统的误差即 E(s)=C(s)-C(s) (3.58) 如果系统稳定，误差E($)的稳态值又叫做系统的稳态误差。根据拉氏变 换的终值定理，系统稳态误差表达式为： ess=l。e(t)=limsE(s) (3.59) 对图3.27(a)单位反馈系统，输出希望值为R(s),所以其误差及稳态误差 分别为： E(S)=R(S)一C(S) (3.60)
设 为希望的输出，C(s)为实际输出值。 定义：系统输出量的希望值与其实际值之差，叫做系统的误差即 （3.58） 如果系统稳定，误差E(s)的稳态值又叫做系统的稳态误差。根据拉氏变 换的终值定理，系统稳态误差表达式为： • (3.59) 对图3.27(a)单位反馈系统，输出希望值为R(s) ，所以其误差及稳态误差 分别为： • （3.60） ' E s C s C s ( ) ( ) ( ) = − 图3.27 lim ( ) lim ( ) 0 e e t sE s t s s s → → = = E s R s C s ( ) ( ) ( ) = − ' C s( )
ess=lim sE(s)=lim s[R(s)-C(s)] 50 1 =ling$1+G(s) R(S) 式中，G(s)=G(s)G2(s)。 对图3.27(b)所示非单位反馈系统，将其进行结构等效变换成 单位反馈如图3.28所示。则其输出希望值为(s5,所 以其误差及稳态误差分别为： Es=R(-C()= 1R(S)-C(S) (3.62) H(s) 1 es =lim E(s)=lims- R(s) (3.63) 0°1+G(s) 1 lims 1R(S) 361+Gx(s)H(s) 式中， G(s)=G(s)G(s)H(s)
式中， 。 对图3.27(b)所示非单位反馈系统，将其进行结构等效变换成 单位反馈如图3.28所示。则其输出希望值为 ，所 以其误差及稳态误差分别为： （3.62） (3.63) 式中， 0 0 lim ( ) lim [ ( ) ( )] ss s s e sE s s R s C s → → = = − 0 1 lim ( ) s 1 ( ) k s R s → G s = + ( ) ( ) ( ) 1 2 G s G s G s k = ' 1 ( ) ( ) ( ) R s R s H s = ' 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E s R s C s R s C s H s = − = − ' 0 0 1 lim ( ) lim ( ) 1 ( ) ss s s k e E s s R s → → G s = = + 0 1 1 lim ( ) 1 ( ) ( ) s k s R s → G s H s = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 G s G s G s H s k =
R(s) R'(s)E(s) G(s H(s) 图3.28 从式(3.61)和(3.63)看出，一个线性系统的稳 态误差与其结构及参数有关，与外部输入信号形 式有关。下面以单位反馈系统进行讨论
从式（3.61）和(3.63)看出，一个线性系统的稳 态误差与其结构及参数有关，与外部输入信号形 式有关。下面以单位反馈系统进行讨论。 图3.28
二.系统结构类型及开环增益 设单位反馈系统的开环传递函数为： G)= K(5+1).....(s+1)K(s+z).....(s+zm) S"(Ts+1)…(Tn-vS+I)S"(s+p)…(s+P-v) (3.64) G(s) K 式中，G(-+D…5+D当0，G0=l。 (Ts+1)…(Tmvs+'1) 从式(3.61)和(3.64)看出，系统稳态误差与其开环传递函数 有关，其实仅与G(s)中积分环节和K有关
二.系统结构类型及开环增益 设单位反馈系统的开环传递函数为: (3.64) 式中， ，当s→0，G0(0)=1。 从式(3.61)和(3.64)看出，系统稳态误差与其开环传递函数 有关，其实仅与Gk(s)中积分环节和K有关。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) 1 * 1 1 − + − + + + = + + + + = n m n m k S s p s p K s z s z S T s T s K s s G s ( ) 0 G s S K = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) 1 1 0 + + + + = − T s T s s s G s n m
定义： 1.K定义为开环系统开环传递函数的增益，简称为系统开环 增益或开环放大倍数。也就是说，在G(S)中，除去积分环 节之外，令其s=0代入所得到的数值，称为开环增益。如 式(3.64)中，其开环增益就是K,即 K*I, K- I P (3.65) 2.式(3.65)中Y表示开环传函积分环节的个数。工程上以积 分环节个数来定义系统结构类型。即 ·Y=0,系统没有积分环节，称0型系统： ·y=1,系统有一个积分环节，称I型系统； y=2,系统有两个积分环节，称Ⅱ型系统
定义： 1.K定义为开环系统开环传递函数的增益，简称为系统开环 增益或开环放大倍数。也就是说，在Gk(s)中，除去积分环 节之外，令其s = 0代入所得到的数值，称为开环增益。如 式（3.64）中，其开环增益就是K，即 （3.65） 2. 式(3.65)中γ 表示开环传函积分环节的个数。工程上以积 分环节个数来定义系统结构类型。 即 • γ=0，系统没有积分环节，称0型系统； • γ=1，系统有一个积分环节，称Ⅰ型系统； • γ=2，系统有两个积分环节，称Ⅱ型系统。 − = = = n i i m j j p K z K 1 1 *
三.给定稳态误差的计算 控制系统对给定输入信号R()作用下所产生的稳态误 差，称给定稳态误差。它反映了系统对给定输入信号在稳 态时的跟踪能力（跟踪精度）。下面我们应用静态误差系数 法，讨论不同典型给定输入时的给定稳态误差计算。 )为阶跃函数，即Rs)=,A为一常值。 根据式(3.61)得： 1 A A A es =lims. (3.66) 30 1+G(s)s 1+limG(s)1+K 5→0 武中，K,=mG,⑤)=m《,称静态位置误差系数。根据 式(3.66)有： 对于“0”型系统，Y=0,所以K=K,而稳态误 差 A ，是一个常数。可见ess减小必须增大开环 1+K 放大系数
三. 给定稳态误差的计算 控制系统对给定输入信号 作用下所产生的稳态误 差，称给定稳态误差。它反映了系统对给定输入信号在稳 态时的跟踪能力(跟踪精度)。下面我们应用静态误差系数 法，讨论不同典型给定输入时的给定稳态误差计算。 为阶跃函数，即 ，A为一常值。 根据式（3.61）得: (3.66) 式中， ，称静态位置误差系数。根据 式（3.66）有: 对于“0”型系统，γ=0 ，所以 Kp=K，而稳态误 差 ，是一个常数。可见ess减小必须增大开环 放大系数。 R t( ) R t( ) ( ) A R s s = 0 0 1 lim 1 ( ) 1 lim ( ) 1 ss s k k p s A A A e s → G s s G s K → = = = + + + S K K G s s k s p 0 0 lim ( ) lim → → = = 1 ss A e K = +
对于“I”型系统，，所以K=∞，稳态误差是零。同理，“Ⅱ” 型系统，稳态误差也是零。 “0”型系统稳态误差为常数，从物理意义上讲，如图3.29 所示的静态结构图可知，因系统没有积分环节，要维持系统 恒定输出，即 C(oo)=Kess 必然要存在一定恒定稳态误差，否则系统就没有输出。系统 的开环增益越大，稳态误差就越小。 c() 图3.29
对于“Ⅰ”型系统，，所以Kp=∞，稳态误差是零。同理，“Ⅱ” 型系统，稳态误差也是零。 “0”型系统稳态误差为常数，从物理意义上讲，如图3.29 所示的静态结构图可知，因系统没有积分环节，要维持系统 恒定输出，即 必然要存在一定恒定稳态误差，否则系统就没有输出。系统 的开环增益越大，稳态误差就越小。 ( ) C Ke = ss 图3.29
“工”型系统对为阶跃输入信号时，系统没有稳态误差， 从物理意义上来看，由于有一个积分环节，系统处于稳态 时起作用的仅是比例环节K及积分环节，其稳态结构图如图 3.30所示。根据积分环节的功能当动态时有误差，积分器 就积分，输出不断增大，误差也逐渐减小，当积分器输出 值等于时，误差为零，积分器停止积分而维持原积分值等 于。因而此时稳态误差为零。 C (co 图3.30
“Ⅰ”型系统对为阶跃输入信号时，系统没有稳态误差， 从物理意义上来看，由于有一个积分环节，系统处于稳态 时起作用的仅是比例环节K及积分环节，其稳态结构图如图 3.30所示。根据积分环节的功能当动态时有误差，积分器 就积分，输出不断增大，误差也逐渐减小，当积分器输出 值等于时，误差为零，积分器停止积分而维持原积分值等 于。因而此时稳态误差为零。 图3.30
R(s为斜坡输入，即 R(5)=- 根据式(3.61)时有： A A ess=lims- 、A 1+G(s)s2 limsG(s)Ky (3.67） K 式中K,=G)=g →0 (3.68)。 K称静态速度误差系数。 从式(3.67)及(3.68)不难看出： “0”型系统，Y=0,KV=0,稳态误差s=oo; “I”型系统，y=l,KV=const,.稳态误差es=l/KV,与K成反比； “IⅡ”型系统，y=2,KV=oo,其稳态误差es=0; 由此可见，“0”型系统在斜坡输入作用下，其=oo,表明0型 系统无法跟随斜坡输入信号
为斜坡输入，即 。 根据式（3.61）时有: (3.67) 式中 (3.68)。 KV称静态速度误差系数。 从式（3.67）及(3.68)不难看出: “0”型系统,γ=0, KV=0，稳态误差ess=∞； “Ⅰ”型系统,γ=1, KV=const, 稳态误差ess =1/KV, 与K成反比； “Ⅱ”型系统, γ=2, KV=∞，其稳态误差ess =0； 由此可见，“0”型系统在斜坡输入作用下，其ess =∞ ，表明0型 系统无法跟随斜坡输入信号。 R s( ) 2 ( ) A R s s = 2 0 0 1 lim 1 ( ) lim ( ) ss s k k V s A A A e s → G s s sG s K → = = = + 1 0 0 lim ( ) lim → − → = = S K K sG s s k s V