二正反馈系统的根轨迹 正反馈系统的特征方程是 1-G(s)H(s)=0 (6-38) 即 G(s)H(s)=1 (6-39) 由此可得到绘制正反馈系统根轨迹的幅值 条件和相角条件分别为 G(s)H(s)=1 (6-40) ∠G(S)H(S)=0°+k·360(k=0,1,2,…)(6-41) 比较式(6-40)和式(6-13)知，正反馈 系统和负反馈系统绘制根轨迹的幅值条件相同；
1 二 正反馈系统的根轨迹 正反馈系统的特征方程是 （6-38） 即 （6-39） 由此可得到绘制正反馈系统根轨迹的幅值 条件和相角条件分别为 （6-40） （6-41） 比较式（6-40）和式（6-13）知，正反馈 系统和负反馈系统绘制根轨迹的幅值条件相同； 1− G(s)H(s) = 0 G(s)H(s) =1 G(s)H(s) =1 G(s)H(s) = 0 + k 360(k = 0,1,2, )
比较式(6-41)和式(6-14)知，负反馈 系统的根轨迹遵循180°相角条件，而正反馈 系统的根轨迹遵循0°相角条件。故正反馈系统 根轨迹又称为零度根轨迹。由于相角条件不同， 在绘制正反馈系统根轨迹时，须对前面介绍的 绘制负反馈系统普通根轨迹的七条基本规则中 与相角条件有关的三条规则作相应修改，它们 是： (1)对规则四应修改为：正反馈系统根轨迹的 渐近线与实轴正方向的夹角应为 2k元 Pa= (k=0,1,2,…,n-m-1) n-m (6-422
2 比较式（6-41）和式（6-14）知，负反馈 系统的根轨迹遵循180°相角条件，而正反馈 系统的根轨迹遵循0°相角条件。故正反馈系统 根轨迹又称为零度根轨迹。由于相角条件不同， 在绘制正反馈系统根轨迹时，须对前面介绍的 绘制负反馈系统普通根轨迹的七条基本规则中 与相角条件有关的三条规则作相应修改，它们 是： ⑴对规则四应修改为：正反馈系统根轨迹的 渐近线与实轴正方向的夹角应为 （6-42） (k 0,1,2, ,n m 1) n m 2k a = − − − =
(2)对规则三应修改为：正反馈系统在实轴 上的根轨迹只能是那些在其右侧的开环实零点 和开环实极点的总数为偶数或零的线段。 (3)对规则六应修改为：正反馈系统的起始角 和终止角应为 0。=0°+2(p,-2,)-∑(p,-P,) i=] 0.=0°+( -p)-,-,) i= 下面通过示例进一步说明正反馈系统根轨迹 的绘制方法。 3
3 ⑵对规则三应修改为：正反馈系统在实轴 上的根轨迹只能是那些在其右侧的开环实零点 和开环实极点的总数为偶数或零的线段。 ⑶对规则六应修改为：正反馈系统的起始角 和终止角应为 下面通过示例进一步说明正反馈系统根轨迹 的绘制方法。 = = = + − − − n i l i l i m j p l j p z p p l 1 1 0 ( ) ( ) = = = + − − − m j l j l j n j z l j z p z z l 1 1 0 ( ) ( )
例6-11已知正反馈系统的开环传递函数为 K G(S)H(S)= s(s+1)(s+2) 试绘制该系统的根轨迹图。 解：由系统的开环传递函数与例6-7相同。 由修改后的规则三知，实轴上的根轨迹是 由0至+∞线段和由-1至-2线段。 由修改后的规则四知，渐近线与实轴正方向 的夹角分别是0°(k=0)、120°(k=1) 和-120°(k=2)
4 例6-11 已知正反馈系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。 解：由系统的开环传递函数与例6-7相同。 由修改后的规则三知，实轴上的根轨迹是 由0至+∞线段和由-1至-2线段。 由修改后的规则四知，渐近线与实轴正方向 的夹角分别是0°（k = 0）、120°（k = 1） 和-120°（k = 2）。 ( 1)( 2) ( ) ( ) + + = s s s K G s H s r
在例6-7中，由规则五求出的极值方程的解 有两个，即1=0.42和2=-1.58，对于例6- 7的负反馈系统，是根轨迹与实轴交点的合理值， 因为它是实轴上根轨迹上的一点；不嵇实轴的 根轨迹上，故在例6-7中被舍去。这种情况在本 例中正好相反，由于是正反馈系统，实轴上的 根轨迹改变了， α2=滚轴的根轨迹上， 它是根轨迹与实轴交点（分离点）的合理值， 而 01=-04在实轴的根轨迹上，应舍去。 由此可见，虽然规则五没有改变，但在确定分 离点时，应考虑规则三变化的影响。 5
5 在例6-7中，由规则五求出的极值方程的解 有两个，即 和 ，对于例6- 7的负反馈系统， 是根轨迹与实轴交点的合理值， 因为它是实轴上根轨迹上的一点； 不在实轴的 根轨迹上，故在例6-7中被舍去。这种情况在本 例中正好相反，由于是正反馈系统，实轴上的 根轨迹改变了， 在实轴的根轨迹上， 它是根轨迹与实轴交点（分离点）的合理值， 而 不在实轴的根轨迹上，应舍去。 由此可见，虽然规则五没有改变，但在确定分 离点时，应考虑规则三变化的影响。 1 2 1.58 2 = − 0.42 1 = − 1.58 0.42 2 = − 1 = −
本例无共轭复数开环零、极点，不存在起始 角和终止角问题，根轨迹与虚轴也无交点。本例 的根轨迹如图6-16所示。由图6-16可看出，三 条根轨迹中，有一条从起点到终点全部位于S平 面右半部，这就意味着无论K,为何值，系统都 存在S平面右半部的闭环极点，该正反馈系统总 是不稳定的。而有相同开环传递函数的负反馈系 统（例6-7，图6-1），它的临界轨迹增益 即幽c=6时系统是不稳定的，当 K,<6时系统是稳定的。由此可知，在开环传递 函数相同的情况下，负反馈系统的稳定性比正反 馈系统好。 6
6 本例无共轭复数开环零、极点，不存在起始 角和终止角问题，根轨迹与虚轴也无交点。本例 的根轨迹如图6-16所示。由图6-16可看出，三 条根轨迹中，有一条从起点到终点全部位于S平 面右半部，这就意味着无论 为何值，系统都 存在S平面右半部的闭环极点，该正反馈系统总 是不稳定的。而有相同开环传递函数的负反馈系 统(例6-7，图6-1l)，它的临界轨迹增益 ， 即当 时系统是不稳定的，当 时系统是稳定的。由此可知，在开环传递 函数相同的情况下，负反馈系统的稳定性比正反 馈系统好。 Kr 6 Kr 6 Kr Krc = 6
↑jω K,> [s] (K,=O) 120° (Kx=0) Ps -1 R K -22 (K0) 0 120° Kr→ 图6-16正反馈系统的根轨迹 7
7 [s] j 1( 0) PKr =Kr → 0 120 −120 -1 Kr → Kr → 3 ( 0) PKr = ( 0) 2Kr = P -2 2图 6 -16 正反馈系统的根轨迹
三非最小相位系统的根轨迹 所谓非最小相位系统，是指那些在S平面右 半部有开环极点和（或开环零点）的控制系统。 所有开环零点和极点都位于S平面左半部的系统 叫最小相位系统。本章前面介绍的示例都是最小 相位系统。非最小相位系统一词源于对系统频率 特性的描述，即在正弦信号的作用下，具有相同 幅频特性的系统（或环节），最小相位系统的相 位移最小，而非最小相位系统的相位移大于最小 相位系统的相位移。 8
8 三 非最小相位系统的根轨迹 所谓非最小相位系统，是指那些在S平面右 半部有开环极点和（或开环零点）的控制系统。 所有开环零点和极点都位于S平面左半部的系统 叫最小相位系统。本章前面介绍的示例都是最小 相位系统。非最小相位系统一词源于对系统频率 特性的描述，即在正弦信号的作用下，具有相同 幅频特性的系统（或环节），最小相位系统的相 位移最小，而非最小相位系统的相位移大于最小 相位系统的相位移
例6-12已知负反馈系统的开环传递函数为 K(s+1) G(s)H(s)= s(S-1)(s2+2s+2) 试绘制该系统的根轨迹图。 解 该系统有一位于S平面右半部的开环极点 (P2=1),是非最小相位系统。系统特征方程 的最高阶次是4，由规则一、二知该系统有四条 连续且对称于实轴的根轨迹。四条根轨迹的起点 分别是它的四个开环极点， p1=0p2=1p3=-1+j1p4=-1-jl 9
9 例6-12 已知负反馈系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。 解 该系统有一位于S平面右半部的开环极点 （ ），是非最小相位系统。系统特征方程 的最高阶次是4，由规则一、二知该系统有四条 连续且对称于实轴的根轨迹。四条根轨迹的起点 分别是它的四个开环极点， p 1 2 = s(s 1)(s 2s 2) K (s 1) G(s)H(s) 2 r − + + + = p 0 1 = p 1 2 = p3 = −1+ j1 p4 = −1− j1
根轨迹的一个终点是它的有限开环零点， 即Z1=-1，其余三个终点均在无穷远处（无 限零点)。 由规则四知，根轨迹的三条渐近线与实轴 的交点为 m Σ(P)-Σ(Z) 0a= i=1 j=1 =0 n-m 渐近线与实轴正方向的夹角分别是60°(k=0): 180°(k=1)和-60°(k=2)。 10
10 根轨迹的一个终点是它的有限开环零点， 即 ，其余三个终点均在无穷远处（无 限零点）。 由规则四知，根轨迹的三条渐近线与实轴 的交点为 渐近线与实轴正方向的夹角分别是60°(k=0), 180°(k=1)和-60°(k=2)。 z 1 1 = − 0 n m (P ) (Z ) m j 1 j n i 1 i a = − − = = =