§4-4 奈奎斯特稳定判据 第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方 程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判 断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很 困难，前面介绍了两种判别系统稳定性的方法，基于特征方程 的根与系数关系的劳斯判据和根轨迹法。 奈奎斯特(Nyquist)稳定判据（简称奈氏判据）是判断 系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 G(jo)H(jo)与复函数F(s)=1+G(s)H(s)位于S平面右半部的零、 极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是根据系统的开环频 率特性判断系统稳定性的一种图解法。由于系统的开环特性可 用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定 性即方便又实用。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。 1
1 § 4-4 奈奎斯特稳定判据 第三章已经介绍，闭环控制系统的稳定性由系统特征方 程根的性质唯一确定。对于三阶以下系统，解出特征根就能判 断系统是否稳定。三阶以上的高阶系统，求解特征根通常都很 困难，前面介绍了两种判别系统稳定性的方法，基于特征方程 的根与系数关系的劳斯判据和根轨迹法。 奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断 系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性 与复函数 位于S平面右半部的零、 极点数目联系起来的一种判据。奈氏判据是根据系统的开环频 率特性判断系统稳定性的一种图解法。由于系统的开环特性可 用解析法或实验法获得，因此，应用奈氏判据分析系统的稳定 性即方便又实用。奈氏判据还有助于建立相对稳定性的概念。 G( j)H( j) F(s) =1+ G(s)H(s)
一、幅角定理 幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数理论基础上的。简要地介绍幅角 定理： 设有一复变函数 F()=1+G(S)H(S) (4-105) 称之为辅助函数，其中G(s)H(s)是系统的开环传递函数。 通常可写成如下形式 G(s)Hs）=bms”+b-1sm1+.+bs+b, (s-p1)s-p2)..(s-pm) (4-106) 式中p(=1,2,,n)是系统的开环极点，将式(4-106)代入式(4-105)得 F(s)=k(s-31s-22).(s-2n) (4-107) (s-p1)s-P2).(s-Pn) 比较式(4一107)和式(4一106)可知，辅助函数F(s)的零点Z,亿=1,2，，n)等于系 统闭环传递函数的极点，即系统特征方程1+G(s)H⑤)=0的根。因此，如果辅助函数F(s) 的零点都具有负的实部，即都位于$平面的左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳 定。 2
2 一、幅角定理 幅角定理又称映射定理，它是建立在复变函数理论基础上的。简要地介绍幅角 定理： 设有一复变函数 （4-105） 称之为辅助函数，其中 是系统的开环传递函数. F(s) =1+ G(s)H(s) G(s)H(s) 通常可写成如下形式 （4-106） 式中 是系统的开环极点，将式（4-106）代入式（4-105）得 （4-107） 比较式（4—107）和式（4—106）可知，辅助函数 的零点 等于系 统闭环传递函数的极点，即系统特征方程 的根。因此，如果辅助函数 的零点都具有负的实部，即都位于S平面的左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳 定。 ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 1 1 n m m m m s p s p s p b s b s b s b G s H s − − − + ++ + = − − ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n n s p s p s p k s z s z s z F s − − − − − − = F(s) Z (i 1,2, ,n) i = 1+ G(s)H(s) = 0 F(s) ( 1,2, , ) p j n j =
(一)S平面与F(s)平面的映射关系 假设复变函数F(s)为单值函数，且除了S平面上有限的奇 点外，处处都为连续的正则函数，也就是说F(s)在S平面上除 奇点外处处解析，那么，对于S平面上的每个解析点，在F(s) 平面上必有一点（称为映射点）与之对应。 例如，当系统的开环传递函数为 G(S)H(s)= s(S+1) 则其辅助函数是 F(s)=1+G(s)H(s)= s2+s+1 s(s+1) 除奇点s'=0和s”=-1外，在S平面上任取一点，如 S1=1+2 则 Fs,)=0+/2)+1+2)+1=0.95-j0.15 (1+2)(1+12+1) 3
3 假设复变函数 为单值函数，且除了S平面上有限的奇 点外，处处都为连续的正则函数,也就是说 在S平面上除 奇点外处处解析， 那么，对于S平面上的每个解析点，在 平面上必有一点（称为映射点）与之对应。 例如，当系统的开环传递函数为 则其辅助函数是 除奇点 和 外，在S平面上任取一点，如 则 F(s) F(s) ( 1) 1 ( ) ( ) + = s s G s H s ( 1) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 2 + + + = + = s s s s F s G s H s s = 0 s = −1 （一）S平面与 平面的映射关系 F(s) s1 =1+ j2 0.95 0.15 (1 2)(1 2 1) (1 2) (1 2) 1 ( ) 2 1 j j j j j F s = − + + + + + + + = F(s)
如图4-37所示，在F(s)平面上有点F(s)=0.95-j0.15与S平面上的点s对应， F(s,)就叫做s,=1+2在F(s)平面上的映射点。 S [S] 2 [F(S] O 0.95 -0.15 R F(S1) 图4-37 S平面上的点在F(S)平面上的映射 4
4 如图4-37所示，在F(s)平面上有点 与S平面上的点 对应, 就叫做 在F(s)平面上的映射点。 F(s1 ) = 0.95 − j0.15 F(s1 ) s1 =1+ j2 1 s j j2 1 s s' 0 −1 s'' 1 S m I 0 Re ( )1 F s F(S) −0.15 0.95 图4-37 S平面上的点在F(S)平面上的映射
如图4-38所示，如果解析点S,在S平面上沿封闭曲线T,(上.不经过F(s)的奇点) 按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数F(s)在F(s)平面上的映射也是一条封闭 曲线『，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这依据辅助函数F(s) 的性质而定。 [s] [F(S] F(S,) F(S) Z S P 0 0 Re F(S) Te (a） (b) 图4-38 S平面到F(s)平面的映射 5
5 如图4-38所示，如果解析点 在S平面上沿封闭曲线 , ( 不经过F(s)的奇点) 按顺时针方向连续变化一周，那么辅助函数F(s)在 F(s)平面上的映射也是一条封闭 曲线 ，但其变化方向可以是顺时针的，也可以是逆时针的，这依据辅助函数F(s) 的性质而定。 1 s F s s j S P2 P1 S1 S2 S3 P3 Z1 Z2 Z3 0 (a) m I F(S) Re ( )1 F S ( )2 F S ( )3 F S 0 图4-38 S平面到F(s)平面的映射 (b) s F
(二)幅角定理（映射定理） 设F(s)在$平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任选 一封闭曲线Ts,并使Ts不通过F(s)的奇点，则S平面上的封闭曲线「s映射到F(s)平面 上也是一条封闭曲线「F。当解析点s按顺时针方向沿「s变化一周时，则在F(s)平面上， 「F曲线按逆时针方向旋转的周数N(每旋转2π弧度为一周)，或「F按逆时针方向包围 F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线「s内包含F(s)的极点数P与零点数Z之差。即 N=P-Z (5-108) 式中，若N>0,则T按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N<O,则TF按顺时针绕 F(s)平面坐标原点N周；且若N=O,则T不包围F(S)平面坐标原点。 在图4-38中，在S平面上有三个极点P1、P2、P3和三个零点Z1、Z2、Z3。被「s曲线 包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2,包围的极点只有P2,即P=1,由式(4-108)得 N=P-Z=1-2=-1 说明Ts映射到F(s)平面上的封闭曲线顺时针绕F(S)平面原点一周。 由幅角定理，我们可以确定辅助函数F(s)被封闭曲线「s所包围的极点数P与零点 数Z的差值P-Z。 6
6 （二）幅角定理（映射定理） 设 在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续正则函数，若在S平面上任选 一封闭曲线s，并使s不通过 的奇点，则S平面上的封闭曲线s 映射到F(s)平面 上也是一条封闭曲线F。当解析点s按顺时针方向沿s 变化一周时，则在 平面上， F 曲线按逆时针方向旋转的周数N（每旋转2弧度为一周），或 F 按逆时针方向包围 F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线s内包含F(s) 的极点数P与零点数Z之差。即 N=P-Z （5-108） 式中，若N>0，则F按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N<0，则F按顺时针绕 F(s)平面坐标原点N周；且若 N=0，则F不包围F(s)平面坐标原点。 在图4-38中,在S平面上有三个极点P1、P2 、P3和三个零点Z1、Z2、Z3 。被s 曲线 包围的零点有Z1、Z2两个，即Z=2，包围的极点只有P2 ，即P=1，由式（4-108）得 N=P-Z=1-2=-1 说明s 映射到 F(s)平面上的封闭曲线F顺时针绕F(s)平面原点一周。 由幅角定理，我们可以确定辅助函数 被封闭曲线s 所包围的极点数P与零点 数 Z的差值P-Z。 F(s) F(s) F(s) F(s)
前面我们已经指出F(s)的极点数等于开环传递函数Gs)Hs)的极点数， 因此当我们从F(s)平面上确定了封闭曲线I=的旋转周数N以后，则在S平面 上封闭曲线「s包含的零点数Z(即系统的闭环极点数)便可简单地由下式计算 出来 Z=P-N (4-109) 封闭曲线「s和「的形状是无关紧要的，它不影响上述结论。 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单 说明。 设有辅助函数为 F(s)=（S-s-3s-23) (s-p1)(s-p2(s-P3) (4-110) 其零、极点在S平面上的分布如图4一39所示，在S平面上作一封闭曲线Γs 「s不通过上述零、极点，在封闭曲线Γ。上任取一点，英对应的辅助函数的 幅角应为 ∠F)--)--p) (4-111) 7
7 前面我们已经指出， 的极点数等于开环传递函数 的极点数， 因此当我们从 平面上确定了封闭曲线F 的旋转周数N以后，则在S 平面 上封闭曲线s 包含的零点数Z（即系统的闭环极点数）便可简单地由下式计算 出来 Z=P-N （4-109） 封闭曲线s和F 的形状是无关紧要的，它不影响上述结论。 关于幅角定理的数学证明请读者参考有关书籍，这里仅从几何图形上简单 说明。 设有辅助函数为 （4-110） 其零、极点在S平面上的分布如图 4—39 所示，在 S平面上作一封闭曲线s ， s不通过上述零、极点，在封闭曲线s 上任取一点 , 其对应的辅助函数的 幅角应为 (4-111) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 s p s p s p s z s z s z F s − − − − − − = F(s) G(s)H(s) F(s) S1 ( )1 F s = = = − − − 3 1 3 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) j i j pi F s s z s
当解析点S,沿封闭曲线「s按顺时针方向旋转一周后再回到S1点，从图中可以发现， 所有位于封闭曲线Ts外面的辅助函数的零、极点指向s1的向量转过的角度都为0，而位 于封闭曲线「s内的辅助函数的零、极点指向s1的向量都按顺时针方向转过2弧度（一 周)。这样，对图4一39(a),Z=1,P=0,∠F(s)=-2π，即N=-1,F(s)绕Fs)平面原点 顺时针旋转一周：对图4一39(b)，Z=0,P1,∠F(s)=2π，即N=1,F)绕Fs)平面原 点逆时针旋转一周；对图4一39(C)，Z1,P-1,∠F(s)=0,即N=0,F(s)不包围Fs)平 面原点。将上述分析推广到一般情况则有 ∠F(s)=2π(P-Z)=2πN (4-112) 由此得到幅角定理表达式为 N=P-Z (4-113) ↑j⊙ Z [F(s】 23 03 S1-1 P F(S)/ -P-P2 0 S-P R S1-22 N=-1 Ts 8 图4-39(a)Z=1、P=0、N=-1、∠F(S1)=-2π
8 当解析点S1沿封闭曲线s按顺时针方向旋转一周后再回到 s1 点，从图中可以发现， 所有位于封闭曲线s 外面的辅助函数的零、极点指向s1 的向量转过的角度都为0，而位 于封闭曲线s 内的辅助函数的零、极点指向s1 的向量都按顺时针方向转过2弧度（一 周）。这样，对图4—39（a），Z=1，P=0， ，即 N=－1， 绕 平面原点 顺时针旋转一周；对图4—39（b），Z=0，P=1， ，即N=1， 绕 平面原 点逆时针旋转一周；对图4—39（c），Z=1，P=1， ，即N=0， 不包围 平 面原点。将上述分析推广到一般情况则有 （4-112） 由此得到幅角定理表达式为 N=P-Z （4-113） F(s1 ) = 2 ( ) 2 F(s) F s1 = − ( )1 F s F(s) F(s) m I F(s) Re ( )1 F s N = −1 图 4-39 (a)Z =1、P = 0、N = −1、F(S1 ) = −2 F Z1 j p1 S1 − P1 p2 1 1 s − z 1 2 s − p 1 p3 s − 3 p3 z 1 3 s − z 1 s 2 z 1 2 s − z 0 s ( )1 ( ) 0 F s F s1 = F(s) = 2(P − Z) = 2N ( )1 F s
io Im [S] [F(S] F(S) O Re Z N=1 (b)Z=0、P=1、N=1、∠F(S)=2π jo Imt [F(S] [s] ● 1 F(S) P 0 Re ● N=0 (c)Z=1、P=1、N=0、∠F(S)=0 9 图4-39 S平面与F(s)平面的映射关系
9 ( b ) Z = 0、P =1、N =1、F ( S1 ) = 2 ( c ) Z = 1、P = 1、N = 0、F ( S1 ) = 0 图 4 -39 S平面与 F （ s）平面的映射关系 S j S1 Z1 P1 0 Z2 P2 P3 Z3 s 0 ( ) F S1 Im F(S) Re N =1F 0 Im F(S) ( ) F S1 Re N = 0 F Z3 P3 P2 S1 Z2 0 P1 S j s
二、基于辅助函数F(s)的奈氏判据 为了分析反馈控制系统的稳定性，只须判断是否存在$平面右半部的闭环极点。 为此，在S平面上作一条完整的封闭曲线「s,使它包围$平面右半部且按顺时针环绕。 如图5一40所示，该曲线包括$平面的整个虚轴（由0=-00到0=+∞）及右半平面 上以原点为圆心，半径为无穷大的半圆弧组成的封闭轨迹。这一封闭无穷大半圆称作 奈氏轨迹。显然，由奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z,就是F(S)位于S平面右半部的 极点数和零点数。 前面已经指出，辅助函数F(s)的极点等于系统的 开环极点，F(s)的零点等于系统的闭环极点。因此，如 [S] 0=十00 果奈氏轨迹中包围Fs)的零点数Z=O,系统是稳定的， 此时由F(s)映射到Fs)平面上的封闭曲线厂F逆时针绕 平面坐标原点的周数应为 R>oo N-P (4-114) 由此得到应用幅角定理分析系统稳定性的判据如下： 图4-40 Nyquist轨迹
二、基于辅助函数 的奈氏判据 为了分析反馈控制系统的稳定性，只须判断是否存在S平面右半部的闭环极点。 为此，在S平面上作一条完整的封闭曲线s，使它包围S平面右半部且按顺时针环绕。 如图5—40所示，该曲线包括S平面的整个虚轴（由 到 ）及右半平面 上以原点为圆心，半径为无穷大的半圆弧组成的封闭轨迹。这一封闭无穷大半圆称作 奈氏轨迹。显然，由奈氏轨迹包围的极点数P和零点数Z，就是F(s)位于S平面右半部的 极点数和零点数。 F(s) = − = + = + = − R → j S 图4-40 Nyquist轨迹 前面已经指出，辅助函数 的极点等于系统的 开环极点， 的零点等于系统的闭环极点。因此，如 果奈氏轨迹中包围 的零点数Z=0，系统是稳定的， 此时由 映射到 平面上的封闭曲线F 逆时针绕 平面坐标原点的周数应为 N=P （4-114） 由此得到应用幅角定理分析系统稳定性的判据如下： F(s) F(s) F(s) F(s) F(s) s