第四章振动 第一节简谐振动 第二节阻尼振动、曼 迫振动和共振 第三节简谐振动的合成 N上页④下页返回退出1°
1 第三节 简谐振动的合成 第二节 阻尼振动、受 迫振动和共振 第一节 简谐振动
弹簧振子 设有一光滑 轻杆,小球 第一节简谐振动 无形变,弹皆振动:只在弹性力的作用下,在平衡位置附近周 簧无质量。 小球有m无k、 而复始的运动。其理想模型是弹簧振子[。 弹簧有k无m 简谐振动方程 如图所示,弹簧受弹F叫 可以表示为 op S F=-kx d2x (wo o F=ma=m 上页⊙下返回退出组2·●
2 第一节 简谐振动 简谐振动：只在弹性力的作用下，在平衡位置附近周 而复始的运动。其理想模型是弹簧振子[1] 。 [1] 弹簧振子： 设有一光滑 轻杆，小球 无形变、弹 簧无质量。 小球有m无k、 弹簧有k无m. 一、 简谐振动方程 如图所示，弹簧受弹力F 可以表示为： F = −kx 2 2 dt d x F = ma = m
d-x k d= W +2x=0 解为x=sin(o+g) 或 x=Acos(at+o) 少简谐振动的普遍定义:任何物理量的变化规律若满足 方程dP/2+o2x=0,且o是决定于系统自身的常量,则该 物理量的变化过程就是简诸振动 简谐振动速度和加速度2 dx oAsin( at+o) a==-o'Acos(at +o) 上页④下页返回退出组3·
3 简谐振动的普遍定义：任何物理量的变化规律若满足 方程d 2x/dt2+ω2x=0，且ω是决定于系统自身的常量，则该 物理量的变化过程就是简谐振动。 0 2 2 2 + x = dt d x ⎯⎯⎯→ = m 2 k 简谐振动速度和加速度[2] [2] k x dt d x m = − 2 2 解为 x＝Asin(t +) 或 x＝Acos(t +) = −Asin(t +) dt dx v ＝ cos( ) 2 = − A t + dt dv a ＝
二、简谐振动的特征量 1、振幅:振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅 用A表示,如:x=Acos(o计+g) 2、周期:振动物体完成一次全振动所用的时间,称周 朝,常用T表示:在1秒时间内完成一次全振动的次数,称 为频率,常用v表示:振动在2π秒完成全振动的次数称为角 频率,三者的关系为 2丌 O=2丌v T 上页④下页②返回退出4◎
4 二、简谐振动的特征量 1、振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。 用A表示，如：x=Acos(ωt+ φ) 2、周期：振动物体完成一次全振动所用的时间，称周 期，常用T表示： 在1秒时间内完成一次全振动的次数，称 为频率，常用ν表示：振动在2π秒完成全振动的次数称为角 频率，三者的关系为： T 1 = T 2 = 2 =
3.相位的物理意义 初相位():在A、o已知的条件下,表示t0时刻振动 系统的振动状态。 相位(ot+φ):在A、ω已知的情况下,表示时刻系统 的振动状态 2 = ACOS P A=,x2+ 2 o=-Aosin p P=arctan(-) aX x=0(平衡位置) 例:当Ot+q=时: v=-mA最大(向负方向运动) 不上页④下页②返回④巡出組5
5 例：当 时： 2 t + = v A x = − = 0 （平衡位置） 最大（向负方向运动） 初相位(φ) ：在A、ω已知的条件下，表示t=0时刻振动 系统的振动状态。 相位( ωt+φ ) ：在A、ω已知的情况下，表示t时刻系统 的振动状态。 3. 相位的物理意义： = − = sin cos 0 0 v A x A = − = + arctan( ) 0 0 2 2 2 0 0 x v v A x
的末端为M点,如图 T=0时刻,O的位移可以 表示为 谐振动的矢量图示法 则投影点P相对于坐标原 点O的位置为 当矢量A绕其始点以匀 角速度 ,P点的位置为: 旋转时,其末端在x轴上 的投影点的运动,必定 (a) 是简谐振动。 A cos p A 7时刻的相位为:o+ 则任意时刻投影点P的位移为1 x=Acos(at +o) 用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影的 运动来表示简谐振动,这种方法称为简谐振动的 矢量图解法。 上页④下②返回退出组6◎
6 cos 0 x0 A T P = = 时， 点的位置为： T时刻的相位为：t + x = Acos(t +) 用一个旋转矢量末端在一条轴线上的投影的 运动来表示简谐振动，这种方法称为简谐振动的 矢量图解法[3]。 则任意时刻投影点P的位移为 A的末端为M点，如图 T=0时刻，O的位移可以 表示为： T时刻，矢量A与x轴的 夹角变为 ： 则投影点P相对于坐标原 点O的位置为 。当矢量A绕其始点以匀 角速度 旋转时，其末端在x轴上 的投影点的运动，必定 是简谐振动。 三、简谐振动的矢量图示法 [3]
四、简谐振动的能量4 x=Acos(ot+p)v=-OAsin( at+p) 动能:E=m2=mo242sin2(ot+q) 势能:E=ky2=kA2cos2(ot+q) 2 弹簧振子的总能量为 E=Er+En=mo A sin(at +)+kA cos(ot+o) 2 因o E=mO242 I kA h E=-mv2t-kx2=kA2 2 国上页④下页退回退出组⑦·
7 sin ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 Ek = m v = m A t + cos ( ) 2 1 2 1 2 2 2 Ep = k v = k A t + E = Ek + Ep = m A t + + k A cos (t +） 2 1 sin ( ) 2 1 2 2 2 2 2 动能： 势能： 弹簧振子的总能量为： 四、简谐振动的能量[4] x = Acos(t +) v = −Asin(t +) m 因 2 = k 2 2 2 2 1 2 1 E = m A = k A 2 2 2 2 1 2 1 2 1 E = mv + k x = k A [4]
第二节阻尼振动、受迫振动和共振 阻尼振动:—振幅随t减小的的振动。 速度较小时:F∝v与速度反向:F=-m 2B=2 →)T 丌 O0→>固有圆频率 β→阻尼系数 2 1、欠阻尼:B202 口国口上页下页返间退出8·
8 第二节 阻尼振动、受迫振动和共振 一、阻尼振动[5]：——振幅随t减小的的振动。 速度较小时： F v 与速度反向： F = −v 1、欠阻尼[6]： 2 0 2 2 2 0 2 − T = → → 阻尼系数 固有圆频率 0 2、临界阻尼[7]： 2 0 2 = 3、过阻尼[8]： 2 0 2 [5] [6] [7] [8] ⎯⎯⎯→ = m 2
二、受迫振动 在周期性外力作用下的振动。 1、周期性外力:F= F COS a 2、稳定后: x=AcoS(O't+p) 2 2 m(0 O 2y2 4B2 2B0 =1g 三、共振: 当周期性外力ω接近于ω时,振幅最大的现象 不上页④下页②返回④巡出組9
9 二、受迫振动：——在周期性外力作用下的振动。 1、周期性外力： 2、稳定后： F F t = m cos x = Acos(t +) 2 2 2 2 2 (0 − ) + 4 = m F A m 2 2 0 1 2 − − = − t g 三、共振： 当周期性外力ω'接近于ω0时，振幅最大的现象
例1:一个0.25克的质点,作简谐振动,其运动方程式为: x-6sin(51x2),式中x以厘米计,t以秒计。求 (1)振幅和周期;(2)起始位移:(3)质点在起始位置时所受的力; )在π秒末的位移、速度和加速度;(5)动能的最大值; 解:将谐振动的一般方程x=Asin(ot+)与x-6sin(51-m/2)作比较可得: (1)A=6厘米,T =2n=1.26秒 (2)t=0时,起始位置:x=6sm(-x)=-6厘米 (3)起始位置受力 f6=-mO2Asin(-x)=-0.25×103×52×6×102×(-1)=375×10-4牛顿 (4)xn=6sm(5-)=6厘米, V=6×5c0sz=0,an=-6×52sinz=-150厘米/秒 (5)Wn=1mA22=1×0.25×103×(6×102)2×52=1.125×105焦耳 上页④下⑤返回巡出(0/●
10 例1：一个0.25克的质点，作简谐振动，其运动方程式为： x=6sin(5t-π/2)，式中x以厘米计，t以秒计。求： (1)振幅和周期；(2)起始位移；(3)质点在起始位置时所受的力； (4)在π秒末的位移、速度和加速度；(5)动能的最大值； 解：将谐振动的一般方程x=Asin(ωt+φ)与x=6sin(5t-π/2)作比较可得： 厘米， 1.26秒 5 2 2 (1) = 6 = = = A T 时，起始位置： ) 6厘米 2 (2) 0 6sin( = 0 = − = − t x (3) 起始位置受力： 2 2 150 / 2 0 6 5 sin 2 6 5cos ) 6 2 (4) 6sin( 5 ， 厘米 秒 厘米， = = = − = − = − = v a x 2 2 0.25 10 3 (6 10 2 ) 2 5 2 1.125 10 5焦耳 2 1 2 1 (5) − − − Wkm = m A = = 0 2 ) 0.25 10 3 5 2 6 10 2 ( 1) 3.75 10 4牛顿 2 sin( − − − = − − = − − = f m A
