第二章力学中的守恒定律 2.1在下面两种情况中,合外力对物体作的功是否相同?(1)使物体匀速铅直地升高h(2)使 物体匀速地在水平面上移动h。如果物体是在人的作用下运动的,问在两种情况中对物体作的功 是否相同? 答:合外力对物体做功不同 22A和B是两个质量相同的小球,以相同的初速度分别沿着摩擦系数不同的平面滚动。其中 A球先停止下来,B球再过了一些时间才停止下来,并且走过的路程也较长,问摩擦力对这两个 球所作的功是否相同? 答:摩檫力对两球做功相同。 23有两个大小形状相同的弹簧:一个是铁做成的,另一个是铜做成的,已知铁制弹簧的倔 强系数比铜大。 (1)把它们拉长同样的距离,拉哪一个做功较大? (2)用同样的力来拉,拉哪一个做功较大? 答:(1)拉铁的所做功较大;(2)拉铜的做功较大。 2.4当你用双手去接住对方猛掷过来的球时,你用什么方法缓和球的冲力。 答:手往回收,延长接球时间。 2.5要把钉子钉在木板上,用手挥动铁锤对钉打击,钉就容易打进去。如果用铁锤紧压着钉, 钉就很难被压进去,这现象如何解释? 答:前者动量变化大,从而冲量大,平均冲力也大。 2.6"有两个球相向运动,碰撞后两球变为静止,在碰撞前两球各以一定的速度运动,即各 具有一定的动量。由此可知,由这两个球组成的系统,在碰撞前的总动量不为零,但在碰撞后 两球的动量都为零,整个系统的总动量也为零。这样的结果不是和动量守恒相矛盾吗? 指出上述讨论中的错误。 答:上述说法是错误的,动能守恒是成立的。虽然碰前各自以一定的速度不为零,相应的动 量也不为零,但动量是矢量,系统的总动量在碰前为0,满足动量守恒定律 27试问:(1)一个质点的动量等于零,其角动量是否一定等于零?一个质点的角动量等于零 其动量是否一定等于零? (2)一个系统对某惯性系来说动量守恒,这是否意味着其角动量也守恒? 答:(1)一个质点的动量等于零,其角动量也一定为零;一个质点的角动量等于零,其动量 不一定为零 (2)一个系统对某惯性系来说动量守恒,这并不意味其角动量也守恒。 2.8一蓄水池,面积为S=50m,所蓄的水面比地面低50m,水深d=1.5m。用抽水机把这 池里的水全部抽到地面上,问至少要作多少功? 解:池中水的重力为F=mg=pg=1.0×103×50×1.5×10=7.5×103 将水全部抽到地面,其发生的平均位移为l=h+d=5+2575m 抽水机所做的功即克服重力所做的功,所以A=F=75×103×575=43×10°(J 29以45牛顿的力作用在一质量为15千克的物体上,物体最初处于静止状态。试计算在第
1 第二章 力学中的守恒定律 2.1 在下面两种情况中,合外力对物体作的功是否相同?(1)使物体匀速铅直地升高 h 。(2) 使 物体匀速地在水平面上移动 h。如果物体是在人的作用下运动的,问在两种情况中对物体作的功 是否相同? 答:合外力对物体做功不同。 2.2 A 和 B 是两个质量相同的小球,以相同的初速度分别沿着摩擦系数不同的平面滚动。其中 A 球先停止下来,B 球再过了一些时间才停止下来,并且走过的路程也较长,问摩擦力对这两个 球所作的功是否相同? 答:摩檫力对两球做功相同。 2.3 有两个大小形状相同的弹簧:一个是铁做成的,另一个是铜做成的,已知铁制弹簧的倔 强系数比铜大。 (1) 把它们拉长同样的距离,拉哪一个做功较大? (2) 用同样的力来拉,拉哪一个做功较大? 答:(1)拉铁的所做功较大; (2)拉铜的做功较大。 2.4 当你用双手去接住对方猛掷过来的球时,你用什么方法缓和球的冲力。 答:手往回收,延长接球时间。 2.5 要把钉子钉在木板上,用手挥动铁锤对钉打击,钉就容易打进去。如果用铁锤紧压着钉, 钉就很难被压进去,这现象如何解释? 答:前者动量变化大,从而冲量大,平均冲力也大。 2.6 "有两个球相向运动,碰撞后两球变为静止,在碰撞前两球各以一定的速度运动,即各 具有一定的动量。由此可知,由这两个球组成的系统,在碰撞前的总动量不为零,但在碰撞后, 两球的动量都为零,整个系统的总动量也为零。这样的结果不是和动量守恒相矛盾吗?" 指出上述讨论中的错误。 答:上述说法是错误的,动能守恒是成立的。虽然碰前各自以一定的速度不为零,相应的动 量也不为零,但动量是矢量,系统的总动量在碰前为 0,满足动量守恒定律。 2.7 试问:(1) 一个质点的动量等于零,其角动量是否一定等于零?一个质点的角动量等于零, 其动量是否一定等于零? (2) 一个系统对某惯性系来说动量守恒,这是否意味着其角动量也守恒? 答:(1)一个质点的动量等于零,其角动量也一定为零;一个质点的角动量等于零,其动量 不一定为零。 (2)一个系统对某惯性系来说动量守恒,这并不意味其角动量也守恒。 * * * * * * 2.8 一蓄水池,面积为 2 S = 50m ,所蓄的水面比地面低 5.0m,水深 d=1.5m。用抽水机把这 池里的水全部抽到地面上,问至少要作多少功? 解:池中水的重力为 3 5 F = mg = sdg =1.010 501.510 = 7.510 将水全部抽到地面,其发生的平均位移为 m d l h 5.75 2 1.5 5 2 = + = + = 抽水机所做的功即克服重力所做的功,所以 7.5 10 5.75 4.3 10 ( ) 5 6 A = Fl = = J 2.9 以 45 牛顿的力作用在一质量为 15 千克的物体上,物体最初处于静止状态。试计算在第
与第三秒内所作的功,以及第三秒末的瞬时功率 解:已知F=45N,m=15kg 据牛顿第二定律得物体的加速度 F a=2=45/15=3m/s2 s¥22=×3=1.5m(1秒内的位移) at= 6m S3=a2=×3×32=13.5m(3秒内的位移) 3秒末速率U3=a2=3×3=pm/s 第1秒内所做功为A1=FS1=45×1.5=675() 第3秒内所做功为A3=F(S3-S2)=45×(13.5-6)=337.() 3秒末的功率P=FU=45×9=405W 2.10一质量为的小石块从点自静止开始下滑,到达点时速率为,再沿滑行后停止。已知滑 行轨道是圆周的14,圆周半径为,为水平面(如图220所示)。试求 (1)在AB段,摩擦力所作的功 (2)水平轨道BC与石块间的摩擦系数。 已知,m=20.0g=0.02k 3m/s Bc= 3m. R=1.On (1)从A到B机械能的减少量为W=mgh-m2=0.02×(9.8×1-×32)=0.106() 此即摩檫力在AB段所做的功 (2)在BC段,摩檫力对物体做负功,其量值等于小石块在B点的功能,则摩檫力 b2×0.02×32 =003N 摩察系数μBC= 0.03 mg0.02×980.15 21一质量为2×103kg的子弹,在枪筒中前进时所受到的合力为F=400 8000 以N为单位,x以m为单位。子弹出枪口速度为300m·s-1。试计算枪筒的长度 解:设枪筒的长度为L,则子弹飞出枪口时合外力所做的功为 A=Fk=(40890 4000 9)dx=400L 据功能原理得1
2 一与第三秒内所作的功,以及第三秒末的瞬时功率。 解:已知 F = 45N, m =15kg 0 = 0 据牛顿第二定律得物体的加速度 2 45/15 3m /s m F a = = = s at 3 1.5m 2 1 2 1 2 1 = 1 = = (1 秒内的位移) s at 6m 2 1 2 2 = 2 = s at 3 3 13.5m 2 1 2 1 2 2 3 = 3 = = (3 秒内的位移) 3 秒末速率 at 3 3 m/s 3 = 3 = = 第 1 秒内所做功为 45 1.5 67.5( ) 1 1 A = Fs = = J 第 3 秒内所做功为 A F(s s ) 45 (13.5 6) 337.5(J ) 3 = 3 − 2 = − = 3 秒末的功率 P = F = 459 = 405W 2.10 一质量为的小石块从点自静止开始下滑,到达点时速率为,再沿滑行后停止。已知滑 行轨道是圆周的 1/4,圆周半径为, 为水平面(如图 2.20 所示)。试求: (1) 在 AB 段,摩擦力所作的功; (2) 水平轨道 BC 与石块间的摩擦系数。 解:已知, m = 20.0g = 0.02k g, b = 3m/s Bc = 3m, R =1.0m (1)从 A 到 B 机械能的减少量为 mgh m . ( . ) . (J ) B 3 0 106 2 1 0 02 9 8 1 2 1 W 2 2 = − = − = 此即摩檫力在 AB 段所做的功。 (2)在 BC 段,摩檫力对物体做负功,其量值等于小石块在 B 点的功能,则摩檫力 N Bc m f B 0.03 3 0.02 3 2 1 2 1 2 2 = = = 摩察系数 0 15 0 02 9 8 0 03 . . . . = = = mg f Bc 2.11 一质量为 2 10 kg −3 的子弹,在枪筒中前进时所受到的合力为 F 9 8000 F = 400 − x, , 以 N 为单位,x 以 m 为单位。子弹出枪口速度为 1 300m s − 。试计算枪筒的长度。 解:设枪筒的长度为 L,则子弹飞出枪口时合外力所做的功为 = = − = − L L A Fdx x dx L L 0 0 2 9 4000 ) 400 9 8000 (400 据功能原理得 2 2 1 A = m
即400L 40002=1×2×10×3002=90 整理得:4002-360L+81=0 解之得L=045m,即枪筒的长度为045m 212用50米/秒的初速度竖直向上抛出一物体 (1)在什么高度它的动能和势能相等? (2)在什么高度势能等于动能的一半? (3)在什么高度动能等于势能的一半? 解(1)E0=mU2=×m×502=1250m 若动能等于势能,据机械能守恒便得 1250m E=Ek=Eo 625m= mgh 62 由此得h1= 62.5(m) 10 (2)若势能等于动能的一半,则由机械能守恒便得 ngh,=Eo h2=20=1230m=41.7m) 3mx (3)若动能等于势能的一半,据机械能守恒得 E,=mgh, =Eo =2E=2×1250m 3m83m×10=83.3(m) 213一个质量为m的物体,从一光滑斜面上自高h由静止滑下,冲入一静止的装着砂子的 小车,问小车将以多大速度运动?小车和砂子的总质量为M,不计小车与地面的摩擦 解:先由机械能守恒得mgh=mU2 由此得物体冲入装着砂子的小车前瞬间的速度U=√2gh 再用动量守恒得mU=(m+M)U 从而得小车运动速度υ=M+mM+m 2.14质量为m的小物体可沿翻圈装置无摩擦地滑行,如图2.21所示,该物体从A点由静止 开始运动,A点比圈底高H=3R (1)当物体到达该翻圈的水平直径的末端B B C 图221习题214用图
3 即 2 10 300 90 2 1 9 4000 400 2 3 2 − = = − L L 整理得: 400 360 81 0 2 L − L + = 解之得 L = 0.45m,即枪筒的长度为 0.45m 2.12 用 50 米/秒的初速度竖直向上抛出一物体。 (1) 在什么高度它的动能和势能相等? (2) 在什么高度势能等于动能的一半? (3) 在什么高度动能等于势能的一半? 解(1) E m m 50 1250m 2 1 2 1 2 2 0 = 0 = = 若动能等于势能,据机械能守恒便得 0 625 h1 2 1250 2 1 m mg m Ep = Ek = E = = = 由此得 62.5( ) 10 625 625 1 m mg m h = = = (2)若势能等于动能的一半,则由机械能守恒便得 2 0 3 1 E p = mgh = E 41.7( ) 3 10 1250 3 0 2 m m m mg E h = = = (3)若动能等于势能的一半,据机械能守恒得 3 0 3 2 E p = mgh = E 83.3( ) 3 10 2 1250 3 2 0 3 m m m mg E h = = = 2.13 一个质量为 m 的物体,从一光滑斜面上自高 h 由静止滑下,冲入一静止的装着砂子的 小车,问小车将以多大速度运动?小车和砂子的总质量为 M,不计小车与地面的摩擦。 解:先由机械能守恒得 2 0 2 1 mgh = m 由此得物体冲入装着砂子的小车前瞬间的速度 0 = 2gh 再用动量守恒得 m0 = (m + M ) 从而得小车运动速度 gh M m m M m m 0 2 + = + = 2.14 质量为 m 的小物体可沿翻圈装置无摩擦地滑行,如图 2.21 所示,该物体从 A 点由静止 开始运动,A 点比圈底高 H=3R。 (1) 当物体到达该翻圈的水平直径的末端 B
点时,求其切向加速度和法向加速度以及对轨道的正压力 (2)求该物体在任一位置时对轨道的正压力,此位置用图中所示的θ角表示。在所得的结果中, 令θ=3π/2,对B点的正压力进行验算。 (3)为什么使物体完成翻圈运动,要求H有足够的值 解已知m,H=3R (1)据能量守恒得mg3R=mU2+mgR 由此得U=√4Rg 则法向加速度anR 向心力F心=man=4mg,它是靠轨道对物体的压力来提供的,据牛顿第三定律便知物体对 轨道的压力大小为4mg,方向向左。 物体在B点的切向加速度a2=RB dodo de do 而β= dt de dt de 为此先确定在任一点(极角为θ)速率随O的变化关系,同时据能量守恒得 rMg +mg(r-rcose) 由此得U=√4k+2 Rg cos6,O=UR=128(2+cos0) do -1 r in e de 2 6) R de B点处,日=丌,则B= g RB=g (2)在任一位置(用O标记),由(1)已得U=√2Rg(2+cos) 则向心力F=mR=R2kg(2+o0)=2mg(2+0s) 向心力由轨道对物体的压力(f)及物体重力的分力共同来充当,因此有 6=F 则∫= mg cose+2mg(2+cosb)=mg(4+3cos6)
4 点时,求其切向加速度和法向加速度以及对轨道的正压力; (2) 求该物体在任一位置时对轨道的正压力,此位置用图中所示的角表示。在所得的结果中, 令 = 3/ 2,对 B 点的正压力进行验算。 (3) 为什么使物体完成翻圈运动,要求 H 有足够的值 解已知 m,H=3R (1)据能量守恒得 mg R = m B + mgR 2 2 1 3 由此得 B = 4Rg 则法向加速度 g R a B n 4 2 = = 向心力 F心 = man = 4mg ,它是靠轨道对物体的压力来提供的,据牛顿第三定律便知物体对 轨道的压力大小为 4mg,方向向左。 物体在 B 点的切向加速度 a = R 而 = = = d d dt d d d dt d 为此先确定在任一点(极角为 )速率随 的变化关系,同时据能量守恒得 ( cos ) 2 1 3 2 Rmg = m + mg R − R 由此得 = 4Rg + 2Rg cos , (2 cos ) 2 = / = + R g R (2 cos ) 2 sin 2 2 1 + − = R g R g d d B 点处, 2 3 = ,则 R g d d = = = 2 3 a = R = g (2)在任一位置(用 标记),由(1)已得 = 2Rg(2 + cos) 则向心力 = ( + ) = ( + cos) = 2 2 cos 2 2 2 Rg mg R m R F心 m 向心力由轨道对物体的压力(f)及物体重力的分力共同来充当,因此有 f − mg cos = F心 则 f = mg cos + 2mg(2 + cos ) = mg(4 + 3cos )
物体对轨道的正压力大小等于∫,方向与轨道对物体的压力相反(牛三)指离圆心。 在 f∫=mg(4+0)=4mg与(1)中结果相同 (3)因为只有当H有足够的值,才能保证在圈顶时,物体具有一定的速度(动能),使得所 需向心力大于物体的重力,而不致使物体掉下来 215如图222所示,一质量为m=0.10kg的小球,系在绳的一端,放在倾角a=30°的光 滑斜面上,绳的另一端固定在斜面上的O点,绳长0.2m, 当小球在最低点A处,若在垂直于绳的方向给小球初速 度υ0(即υ与斜面的水平底边平行),使小球可以完成圆 周运动 (1)U0至少等于多大? M 图222习题215用图 (2)在最高点B处,小球的速度和加速度多大 (3)如何求出小球在任一位置C时绳子的张力TC?(小球位置用∠AOC=表示) (4)如将一根同样长度的细棒(不计重量)替代绳子,其它条件都仍如上述,υ。至少多大方能使小 球刚好完成圆周运动? 解:1)据机械能守恒得 mmu=-m+2 sin am 球在最高点不掉下来,应用TB+ mgsina (2) 而TB≥0则由(1),(2)可得U0的最小值为 U0=5 alsina=5×9.×0.2×=2.2m/ 2)由式(2)中TB=0得UB= alsina=198×0.2×=0.99m/s 法向加速度an=2=098 =49m/s2 10.2 由于B点处合力方向为竖直方向,在B点an=0a=an=0.99m/s2 3)在任一位置C,应用机械能守恒定律得 m =-mu +mgllsina-Icos sina 由此得 u2=02-2glsina(1-cos 0)=5glsin a-2glsina + 2glsin a cos0=alsina(3+2 0)
5 物体对轨道的正压力大小等于 f ,方向与轨道对物体的压力相反(牛三)指离圆心。 在 B 点, 2 = , f = mg(4 + 0) = 4mg 与(1)中结果相同。 (3)因为只有当 H 有足够的值,才能保证在圈顶时,物体具有一定的速度(动能),使得所 需向心力大于物体的重力,而不致使物体掉下来。 2.15 如图 2.22 所示,一质量为 m = 0.10kg 的小球,系在绳的一端,放在倾角 o = 30 的光 滑斜面上,绳的另一端固定在斜面上的 O 点,绳长 0.2m, 当小球在最低点 A 处,若在垂直于绳的方向给小球初速 度 0 (即 0 与斜面的水平底边平行),使小球可以完成圆 周运动。 (1) 0 至少等于多大? (2) 在最高点 B 处,小球的速度和加速度多大? (3) 如何求出小球在任一位置 C 时绳子的张力 TC ?(小球位置用 AOC = 表示) (4) 如将一根同样长度的细棒(不计重量)替代绳子,其它条件都仍如上述,0 至少多大方能使小 球刚好完成圆周运动? 解:1)据机械能守恒得 m = mB + 2lsinmg 2 1 2 1 2 2 0 (1) 球在最高点不掉下来,应用 l T mg m B B 2 + sin = (2) 而 TB 0 则由(1),(2)可得 0 的最小值为 glsin . . 2.2m/s 2 1 0 = 5 = 59 8 0 2 = 2)由式(2)中 TB = 0 得 gl m s B sin . . 0.99 / 2 1 = = 9 80 2 = 法向加速度 2 2 4.9 / 0.2 0.98 m s l a B n = = = 由于 B 点处合力方向为竖直方向,在 B 点 a = 0 2 a a 0.99m /s = n = 3) 在任一位置 C,应用机械能守恒定律得 m = m + mglsin − l cossin 2 C 2 0 2 1 2 1 由此得 = − 2 sin(1− cos) = 5 sin − 2 sin + 2 sincos = sin(3 + 2cos) 2 0 2 C gl gl gl gl gl
向心力F心=m= masinO(3+2cose) 它由重力分力和绳子的张力共同提供F=- mgsinacos+T T=F+mgsina cos e=3mgsina+2mg sina cos 0+ mgsina cose 3mgsina(1+cos 0)=1.47(1+cos a)N 4)若将绳换成细棒,此时,B处向心力小于重力也不会使小球掉下,∴只需UB≥0 则可按1)中(1)式得D0的最小值。U0=√4g/sina=14×9.8×0.2×=1.98m/s 216如图223所示,设h=10.0m。一个质量m=20kg的物体从山顶上由静止滑下,撞 击到弹簧一端的挡板上。弹簧的另一端固定在墙上,弹簧的倔强系数为k=500N·m,设所 有表面是光滑的,弹簧和挡板A的质量可略去不计。问弹簧最多可压缩多少? 解:已知h=10.0m,m=20kg,k=500N·m 把物体和弹簧作为一系统,则外力对系统不做功,那么系统机械能守恒,当弹簧压缩最大时(设 为x),物体的动能为零,所以据机械能守恒可得 由此得 2 2mgh2×20×9.8×10 =2.8m 500 图223习题216用图 217一质量为m=2×102kg的弹性球,速率 U1=5ms-,与光滑水平桌面碰撞后跳回。假设跳回时球的 速率不变,碰撞前后方向与桌面的法向所夹角度均为α。如图 2.24所示,若α=60°,球与桌面间碰撞时间M=0.05s,问 图224习题217用图 球和桌面的平均相互作用力有多大 解:应用动能定律得 2mm. cos a e、2×2×102×5×c0s60 e=2N e 2.18水力采煤用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层,设水柱直径D=0.03m,水速 υ=56m·s-,水柱垂直射在煤层表面,冲击煤层后速度为零。求水柱对煤层的平均作用力。 解:考虑M=ls,在这段时间内与煤相撞的水的质量为
6 向心力 = sin( + cos) = 3 2 2 mg l F m c 心 它由重力分力和绳子的张力共同提供 F = −mg +Tc 心 sin cos Tc = F心 + mgsincos = 3mgsin + 2mgsincos + mgsincos = 3mgsin(1+ cos) =1.47(1+ cos)N 4)若将绳换成细棒,此时,B 处向心力小于重力也不会使小球掉下, 只需 B 0 则可按 1)中(1)式得 0 的最小值。 glsin . . 1.98m/s 2 1 0 = 4 = 49 80 2 = 2.16 如图 2.23 所示,设 h0 =10.0m 。一个质量 m = 20kg 的物体从山顶上由静止滑下,撞 击到弹簧一端的挡板上。弹簧的另一端固定在墙上,弹簧的倔强系数为 1 500 − k = N m ,设所 有表面是光滑的,弹簧和挡板 A 的质量可略去不计。问弹簧最多可压缩多少? 解:已知 1 0 10 0 20 500 − h = . m ,m = k g, k = N m 把物体和弹簧作为一系统,则外力对系统不做功,那么系统机械能守恒,当弹簧压缩最大时(设 为 x),物体的动能为零,所以据机械能守恒可得 2 0 2 1 mgh = kx 由此得 m mgh x 2 8 500 2 20 9 8 10 k 2 0 . . = = = 2.17 一质量为 2 10 kg −2 m = 的弹性球,速率 1 1 5m s − = ,与光滑水平桌面碰撞后跳回。假设跳回时球的 速率不变,碰撞前后方向与桌面的法向所夹角度均为。如图 2.24 所示,若 o = 60 ,球与桌面间碰撞时间 t = 0.05s ,问 球和桌面的平均相互作用力有多大? 解:应用动能定律得 y y 2 0 y 1 e 2 e 0 05 2 2 10 5 60 e 2 N t m F = = = − . cos cos 2.18 水力采煤用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层,设水柱直径 D=0.03m,水速 1 56m s − = ,水柱垂直射在煤层表面,冲击煤层后速度为零。求水柱对煤层的平均作用力。 解:考虑 t =1s ,在这段时间内与煤相撞的水的质量为
2/zU=1×103×(003 2/x×56=396kg 据动能定律得AF=m△D∴F=mAD=396×56=2×103N 2.19一人质量为M,手中拿着质量为m的物体自地面以倾角θ,初速度υ。斜向前跳起,跳 至最高点时以相对于人的速率u将物体水平向后抛出去。忽略空气阻力,证明此人向前的距离比 不抛出物体情况下向前的距离增加了 M+m 3小 证明:在最高点水平抛出物体不影响竖直方向的运动,则不改变从最高位置到落地的时间 只改变后半段的水平速度 未抛出物体前,物和人的水平速度为 D. cos0。在最高点时,以相对人以速率u向后抛出物 体,设抛出后人的速率为U,则物体相对地面的速度为-+U,在水平方向上物和人构成的系统 不受外力,则在水平方向动量守恒 即(M+m)C0s6=MD-m(-)由此解得U=b0C0s9+ M+m 从最高点到落地的时间为t=2SnO As=t△U= 8 M+mM+mg 220石墨原子核的质量199×102kg,在核反应中作为快中子的减速剂,中子质量为 167×10-2kg,若中子以3×107ms-的初速度与静止的石墨原子作弹性碰撞后减速,问经过几 次碰撞后中子的速度减为1032m·s-。 解:已知,m1=167×10-7kg,m2=199×10-27kg:u0=3×107ms-,U2=0 由动量守恒得m2U1o=m2U1+m2D2(1) 动能守恒得1 由(1)解出U2代入(2)得(m1+m2)2-(2mU0)u1-(m2-m1)o=0 解之得(取速率)D1=m吗。(舍去D1=D0) +m 以U1作为中子的初速,用上计算又可得碰撞二次后中子的速率 m,+m2 m,+ m
7 k g D m 56 39.6 2 0.03 1 10 2 2 3 2 = = = 据动能定律得 tF = m N t m F 3 2.2 10 1 39.6 56 = = = 2.19 一人质量为 M,手中拿着质量为 m 的物体自地面以倾角,初速度 0 斜向前跳起,跳 至最高点时以相对于人的速率 u 将物体水平向后抛出去。忽略空气阻力,证明此人向前的距离比 不抛出物体情况下向前的距离增加了 g u + 0 sin M m m 证明:在最高点水平抛出物体不影响竖直方向的运动,则不改变从最高位置到落地的时间, 只改变后半段的水平速度。 未抛出物体前,物和人的水平速度为 0 cos 。在最高点时,以相对人以速率 u 向后抛出物 体,设抛出后人的速率为 ,则物体相对地面的速度为 −u + ,在水平方向上物和人构成的系统 不受外力,则在水平方向动量守恒, 即 ( ) cos ( ) M + m 0 = M − m u − 由此解得 u M m m + = 0 cos + 从最高点到落地的时间为 g t 0 sin = g u M m m u M m m g s t 0 sin 0 sin + = + = = 2.20 石墨原子核的质量 19 9 10 kg −27 . ,在核反应中作为快中子的减速剂,中子质量为 1 67 10 kg −27 . ,若中子以 7 1 3 10 m s − 的初速度与静止的石墨原子作弹性碰撞后减速,问经过几 次碰撞后中子的速度减为 2 1 10 m s − 。 解:已知, m kg 27 1 1.67 10− = , m kg 27 2 19.9 10− = ; 7 1 10 3 10 − = m s , 20 = 0 由动量守恒得 m110 = m111 + m2 2 (1) 动能守恒得 2 2 2 2 1 11 2 1 10 2 1 2 1 2 1 m = m + m (2) 由(1)解出 2 代入(2)得 ( ) (2 ) ( ) 0 2 1 10 11 2 1 10 2 m1 + m2 11 − m − m − m = 解之得(取速率) 10 1 2 1 2 11 m m m m + − = (舍去 11 =10 ) 以 11 作为中子的初速,用上计算又可得碰撞二次后中子的速率 11 1 2 1 2 12 m m m m + − = = 10 2 1 2 1 2 + − m m m m
依次类推可得碰撞N次后中子的速率为D-(m二四 m,+ 若 =102m·s 则可得 m, +m 3×1073 ln×10-5 12.6 从而可解得碰撞次数 199-1.67-0.6 19.9+1.67 221砂摆是用来测量子弹速度的一种装置,如图2.25所示,将一个质量M很大的砂箱用绳 铅直地挂起来,一颗质量为m的子弹水平射入砂箱,使砂箱摆动,测得砂摆最大摆角为θ,求子 弹射击砂箱时的速度υ,设摆长为l。 解:子弹对悬挂点的角动量为mUl,据角动量守恒得(也可用动量守恒) mmu/=(M+m)u'l (1) 由此得沙摆与子弹的共同初速为:U= (2) M+m 再由机械能守恒得 3-M+m)u=(M+m)g(-lcos 0) (3) M+ 将(2)代入(3)得U 2g(1-cos0) 图25习题21用图 222质量为m和m2的物块用倔强系数为k的轻弹簧相连,置于光滑水平桌面上,如图226 所示,最初弹簧处于自由状态。一质量为m的子弹以速度υ0沿水平方向射入内m,问弹簧压缩 的最大量为多少? 解:设子弹射入m瞬间(弹簧还未压缩)m1和m的共同速度为Uo,据动量守恒则有 Do= (1) 由(1)得00m+多(2) 图226习题222用图 在以后的过程中,动量和机械能都守恒,则有 (m1+m0Uo=(m1+m)U1+m2U2(3) 当弹簧压缩最大时,U1=U2
8 依次类推可得碰撞 N 次后中子的速率为 10 1 2 2 1 1 N N m m m m + − = 若要 2 1 1 10 − = m s N , 则可得 5 7 2 10 1 1 2 2 1 10 3 1 3 10 10 − = = = + − N N m m m m 从而可解得碰撞次数: 75 0 168 12 6 19 9 1 67 19 9 1 67 10 3 1 5 = − − = + − = − . . . . . . ln ln N 2.21 砂摆是用来测量子弹速度的一种装置,如图 2.25 所示,将一个质量 M 很大的砂箱用绳 铅直地挂起来,一颗质量为 m 的子弹水平射入砂箱,使砂箱摆动,测得砂摆最大摆角为,求子 弹射击砂箱时的速度,设摆长为 l。 解:子弹对悬挂点的角动量为 m l ,据角动量守恒得(也可用动量守恒) m l = (M + m)'l (1) 由此得沙摆与子弹的共同初速为: + = M m m ' (2) 再由机械能守恒得 3 (M + m)' = (M + m)g(l − l cos) 2 2 1 (3) 将(2)代入(3)得 2 (1− cos ) + = gl m M m 2.22 质量为 m1和m2 的物块用倔强系数为 k 的轻弹簧相连,置于光滑水平桌面上,如图 2.26 所示,最初弹簧处于自由状态。一质量为 m0 的子弹以速度 0 沿水平方向射入内 m1 ,问弹簧压缩 的最大量为多少? 解:设子弹射入 m1 瞬间(弹簧还未压缩) m1 和 m0 的共同速度为 10 ,据动量守恒则有 0 0 1 0 10 m = (m + m ) (1) 由(1)得 0 1 0 0 10 m m m + = (2) 在以后的过程中,动量和机械能都守恒,则有 1 0 10 (m + m ) 1 0 1 2 2 = (m + m ) + m (3) 2 2 2 2 2 1 0 1 2 1 0 10 2 1 2 1 2 1 2 1 (m + m ) = (m + m ) + m + k x (4) 当弹簧压缩最大时, 1 =2 (5)
解(3)、(4)、(5)构成的方程组便可得 (m1+m) m, +m2 t mo 1m+吃+2mm+厘四二听二一2m m. t m m,moDo k(m+m2+m)(m1+m)k(m1+m2+m0m1+m0) 最大压缩量x= k(m,+ m,+mo)(m+my/noDo 223一质量为M=400g的木块,静止在光滑的水平桌面上,一质量m=10.0g,速度 U=800ms-的子弹水平射入木块,子弹进入木块后,就和木块一起平动。试求:(1)子弹克服 阻力所作的功:(2)子弹作用于木块的力对木块所作的机械功:(3)失去的机械能 解:已知M=400g=0.4kg,U0=0,m=10.0g=0.01kg,U20=800m·s (1)由动量守恒得MUo+mU20=(M+m)U 由此得共同速度U 19.5m·s M+m 对子弹应用动能定理得阻力对子弹所做的功 A=m(U20-2)=×001×(8002-1952)=320×103J 这便是子弹克服阻力所做的功 (2)子弹对木块所做的机械功等于木块的动能增量(对木块应用动能定理)即 A=-MU2-0 04×(19.5)2=76J (3)失去的机械能 △B=2m00-(M+m)2=×001×8002-1×041×19.52=312×103J 224一个15g的子弹,以200m·s-的速度打入一固定的木块。如阻力与射入木块的深度成 正比的增加,即f=-Bx,比例系数β=50103N·cm-。求子弹射入木块的深度。 解:已知m=15g=0.015kg,B=50×10N·cm=5.0×103N.m,U=200m·s 设子弹射入木块的深度为L,则阻力所做的功为 [女=-xd=-12BE
9 解(3)、(4)、(5)构成的方程组便可得 2 10 1 2 0 2 1 0 1 0 2 ( ) ( ) 1 + + + = + − m m m m m m m k x 2 10 1 2 0 1 0 2 0 2 1 0 1 2 0 2 1 2 0 2 1 1 2 2 + + + + + + − − − = m m m m m m m m m m m m m m m k 2 2 0 1 0 2 0 1 2 0 2 1 0 + + + + = ( ) ( ) ( ) m m m k m m m m m m ( )( ) 1 2 0 1 0 2 0 2 2 0 k m m m m m m m + + + = 最大压缩量 0 0 1 2 0 1 0 2 ( )( ) m k m m m m m m x + + + = 2.23 一质量为 M = 400g 的木块,静止在光滑的水平桌面上,一质量 m =10.0g ,速度 1 800 − = m s 的子弹水平射入木块,子弹进入木块后,就和木块一起平动。试求:(1) 子弹克服 阻力所作的功;(2) 子弹作用于木块的力对木块所作的机械功;(3) 失去的机械能。 解:已知 M = 400g = 0.4kg , 10 = 0 , 1 10 0 0 01 20 800 − m = . g = . k g , = ms (1)由动量守恒得 M10 + m20 = (M + m) 由此得共同速度 1 20 19.5 − = + = m s M m m 对子弹应用动能定理得阻力对子弹所做的功 A m J 2 2 2 2 3 2 0 0.01 (800 19.5 ) 3.20 10 2 1 ( ) 2 1 = − = − = 这便是子弹克服阻力所做的功。 (2)子弹对木块所做的机械功等于木块的动能增量(对木块应用动能定理)即 A M 0.4 (19.5) 76J 2 1 0 2 1 2 2 = − = = (3)失去的机械能 E m M m J 2 2 2 2 3 2 0 0.41 19.5 3.12 10 2 1 0.01 800 2 1 ( ) 2 1 2 1 = − + = − = 2.24 一个 15g 的子弹,以 1 200 − m s 的速度打入一固定的木块。如阻力与射入木块的深度成 正比的增加,即 f阻 = −x ,比例系数 1 N cm − = 3 5.0 10 。求子弹射入木块的深度。 解:已知 15 0.015 , 5.0 10 5.0 10 , 3 −1 5 −1 m = g = k g = N cm = N m 1 200 − = ms 设子弹射入木块的深度为 L,则阻力所做的功为 = = − = − L L A f dx xdx L 0 0 2 2 1 阻
对子弹应用动能定理便得A=0-mU2=-mU2即BL2=mU 由此得L=/m=0015200346×102m 50×105 225一个圆盘的半径为R,各处厚度均匀,在各个象限里,各处的密度也是均匀的,但在 不同象限里的密度则不同,如图227所示,它们密度比为p1:p2:p3:p4=1:2:3:4,求此圆盘 的质心位置 解:设盘厚为h,令P1=P 则P2=2pP3=30p4=4p [xdm h(p. xds +p2]xds +p xds+p4jxds 图227习题225用图 ds+2 xds +3. xds+4xds 10×πR2/4 而x=[xy=[xR-xh=√R2-x2R2-x) 同理得「xds R xds==Rs R3-2×-R3-3×-R3+4×2R R3+2×-R3-3×-R3-4×-R R 8R 同理得y= dm R 兀R2 15π
10 对子弹应用动能定理便得 2 2 2 1 2 1 A = 0 − m = − m 即 2 2 L = m 由此得 m m L 2 5 200 3.46 10 5.0 10 0.015 − = = = 2.25 一个圆盘的半径为 R,各处厚度均匀,在各个象限里,各处的密度也是均匀的,但在 不同象限里的密度则不同,如图 2.27 所示,它们密度比为 1 :2 :3 :4 =1: 2 : 3: 4 ,求此圆盘 的质心位置。 解:设盘厚为 h,令 1 = , 则 2 = 2 3 = 3 4 = 4 + + + + + + = = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 s s s s s s s s c h ds ds ds ds h xds xds xds xds dm xdm x ( ( ) ( 10 4 2 3 4 2 1 2 3 4 R / xds xds xds xds s s s s + + + = 而 3 0 3/ 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 2 2 3 1 ( ) 3 2 2 1 ( ) 2 1 1 xds xydx x R x dx R x d R x R x R R s R R R − = − − − = − = = − = 同理得 = − 2 3 3 1 s xds R = − 3 3 3 1 s xds R = 4 3 3 1 s xds R 0 2 5 3 1 4 3 1 3 3 1 2 3 1 2 3 3 3 3 = − − + = R R R R R xc 同理得 = − − = + − − = = 15 8 2 5 3 4 2 5 3 1 4 3 1 3 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 3 3 R R R R R R R R dm ydm yc