第六章电磁感应、电磁场 61在图617所示几种情形中,线圈中有无感应电动势?有无感应电流?如果有试 确定它们的方向。 (1)如图6.17(a,b),线圈在均匀磁场中旋转; (2)如图6.17(c),在磁铁产生的磁场中线圈向右移动; (3)如图6.17(d)回路中,电阻R减少,另一回路有何变化。 ×× ××× × × 图 答:(1)(a)图在图示位置时,线圈中无感应电动势,无感应电流。(b)图的转 动,磁通量不变,则无感应电动势,无感应电流 (2)有感应电动势和感应电流,其方向为从左向右看为逆时针方向: 3)在2线圈中有感应电动势和感应电流,其方向为逆时针方向。 62在一绕有螺线管线圈的磁棒上套有四个半径相同的圆环a、b、c、d,它们分 别是由铜、铁、塑料制成的闭合圆环及由铜制成的非闭合环。当螺线管线圈与电源接 通时,问 (1)四个环中的感应电动势是否相等?如果不等,则其大小顺序如何? (2)四个环中的感应电流是否相等?如果不等,则其大小顺序如何? 答:(1)不相等,E。=56=Ea>E2=0 (2)不相等,J。>l6>l=l4=0 63将一磁棒插入一闭合导体回路中:一次迅速插入,一次缓慢插入,但两次插 入的始末位置相同。问在两次插入中 (1)感应电动势是否相等?如果不等,哪一次的大? (2)感应电量是否相等?如果不等,哪一次的大? (3)回路中的电动势是动生电动势还是感生电动势?为什么 答:(1)不相等,迅速插入的感应电动势大;(2)相等:(3)相对于闭合导体回 路是感生电动势,(回路不动),相对于磁棒是动态电动势(回路运动)。 64指出涡旋电场与静电场的异同 答:涡旋电场和静电场,都是电场,它们对带电体的作用相同,所不同的是:(1) 涡旋电场由变化的磁场产生,而静电场是由静止的电荷产生;(2)涡旋电场是非保守 力,相应的电场线是无头无尾的闭合曲线,而静电场是保守力场,其电场线是起自正 电荷,而终止负电荷,在无电荷处不中断
1 第六章 电磁感应、电磁场 6.1 在图 6.17 所示几种情形中，线圈中有无感应电动势?有无感应电流?如果有试 确定它们的方向。 (1)如图 6.17(a，b)，线圈在均匀磁场中旋转； (2)如图 6.17(c)，在磁铁产生的磁场中线圈向右移动； (3)如图 6.17(d)回路中，电阻 R 减少，另一回路有何变化。 答：（1）（a）图在图示位置时，线圈中无感应电动势，无感应电流。（b）图的转 动，磁通量不变，则无感应电动势，无感应电流。 （2）有感应电动势和感应电流，其方向为从左向右看为逆时针方向； （3）在 2 线圈中有感应电动势和感应电流，其方向为逆时针方向。 6.2 在一绕有螺线管线圈的磁棒上套有四个半径相同的圆环 a、b、c、d，它们分 别是由铜、铁、塑料制成的闭合圆环及由铜制成的非闭合环。当螺线管线圈与电源接 通时，问 （1）四个环中的感应电动势是否相等？如果不等，则其大小顺序如何？ （2）四个环中的感应电流是否相等？如果不等，则其大小顺序如何？ 答：（1）不相等， a = b = d c = 0 （2）不相等， I a I b I c = I d = 0 6.3 将一磁棒插入一闭合导体回路中：一次迅速插入，一次缓慢插入，但两次插 入的始末位置相同。问在两次插入中： （1）感应电动势是否相等？如果不等，哪一次的大？ （2）感应电量是否相等？如果不等，哪一次的大？ （3）回路中的电动势是动生电动势还是感生电动势？为什么？ 答：（1）不相等，迅速插入的感应电动势大；（2）相等；（3）相对于闭合导体回 路是感生电动势，（回路不动），相对于磁棒是动态电动势（回路运动）。 6.4 指出涡旋电场与静电场的异同。 答：涡旋电场和静电场，都是电场，它们对带电体的作用相同，所不同的是：（1） 涡旋电场由变化的磁场产生，而静电场是由静止的电荷产生；（2）涡旋电场是非保守 力，相应的电场线是无头无尾的闭合曲线，而静电场是保守力场，其电场线是起自正 电荷，而终止负电荷，在无电荷处不中断。 图 6.17
65两个线圈,长度相同,半径接近相同,在下列三种情况下,哪一种情况两线 圈的互感系数最小,哪一种情况两线圈的互感系数最大,(1)两个线圈轴线在同一直线 上,且相距很近;(2)两个线圈相距很近,但轴互相垂直;(3)个线圈套在另一个线圈 外面。 答:互感系数最小的为(2),互感系数最大的为(3)。 66变化电场所产生的磁场,是否也一定随时间而变化:反之,变化的磁场所产 生的电场,是否也一定随时间而变化? 答:不一定;不一定。 67(1)真空中静电场的高斯定理和真空中电磁场的高斯定理在形式上相同,都 为 ∮Dds=5=E5=∑q=Jpd 在理解上有何区别? 2)真空中稳恒电流的磁场和一般电磁场都有:∮B=0,这两种情况下,对 B矢量的理解有何区别? 答:(1)静电场的高斯定理中,D是静电荷产生的,各量的分布都不随时间变化。 电磁场的高斯定理,D是电荷与变化磁场共同产生的,且D与p是同一时刻的量,具 有瞬时性 (2)前者B是由稳恒电流产生的,磁场不随时间改变,后者是由电流和变化电场 共同产生的,具有瞬时性。 68有一线圈匝数为N,如果通过线圈的磁感应通量按任意方式由Φ1改变到Φ2, 试证通过该线圈回路的电量为Q N(2-①1) ,式中R为闭合回路内的总电阻。 R 证:据电磁感应定律有:E dy Ndop Nda dt dtr dt 通过该线圈回路的电量为电流对时间的积分,即: Q-=如h=如=(n吗 69在一个横截面积为0.001m2的铁磁质圆柱上,绕100匝铜线,铜线的两端连 有一个电阻器,电路的总电阻为109.如果铁柱中的纵向磁场由某一方向(B的量值为 1T改变到另一方向(B的量值仍为11)。问:有多少电量流过这个电路。 解:当磁场沿纵向反向时,这一过程磁通变化为
2 6.5 两个线圈，长度相同，半径接近相同，在下列三种情况下，哪一种情况两线 圈的互感系数最小，哪一种情况两线圈的互感系数最大，(1)两个线圈轴线在同一直线 上，且相距很近；(2)两个线圈相距很近，但轴互相垂直；(3)一个线圈套在另一个线圈 外面。 答：互感系数最小的为（2），互感系数最大的为（3）。 6.6 变化电场所产生的磁场，是否也一定随时间而变化；反之，变化的磁场所产 生的电场，是否也一定随时间而变化? 答：不一定；不一定。 6.7 (1) 真空中静电场的高斯定理和真空中电磁场的高斯定理在形式上相同，都 为： = = = V D dS E dS q dV 0 在理解上有何区别? (2) 真空中稳恒电流的磁场和一般电磁场都有： = 0 B dS ， 这两种情况下，对 B 矢量的理解有何区别? 答：（1）静电场的高斯定理中， D 是静电荷产生的，各量的分布都不随时间变化。 电磁场的高斯定理， D 是电荷与变化磁场共同产生的，且 D 与 是同一时刻的量，具 有瞬时性； （2）前者 B 是由稳恒电流产生的，磁场不随时间改变，后者是由电流和变化电场 共同产生的，具有瞬时性。 * * * * * * * 6.8 有一线圈匝数为 N，如果通过线圈的磁感应通量按任意方式由 1 改变到 2 ， 试证通过该线圈回路的电量为 R N Q ( ) 2 − 1 = ，式中 R 为闭合回路内的总电阻。 证：据电磁感应定律有： dt Nd dt d = = ， dt Nd R R i = = 1 通过该线圈回路的电量为电流对时间的积分，即： − = = = = 2 1 ( ) 2 1 R N d R N dt dt d R N Q idt 6.9 在一个横截面积为 0.001m2 的铁磁质圆柱上，绕 100 匝铜线，铜线的两端连 有一个电阻器，电路的总电阻为 10Ω．如果铁柱中的纵向磁场由某一方向(B 的量值为 1T)改变到另一方向(B 的量值仍为 1T)。问：有多少电量流过这个电路。 解：当磁场沿纵向反向时，这一过程磁通变化为：
△d=2d=2BS=2×1×0.001=0.0020b 由上题结果知流过电路的电量为 ×0.002=0.02C R 6.10如图6.18所示,一个100匝的线圈,电阻为109。将其置于方向垂直纸面 向里的均匀磁场中。设通过线圈平面的磁通按Φ=10+6-412(SI)的规律变化,求 (1)t=ls时线圈中的感应电动势的大小及方向 (2)t=ls时线圈中的感应电流的大小及方向 (3)第1秒内通过电流表G的电量 (4)电动势开始反转的时刻。 解:(1)E= d --N( dt (6-8) dt 图6.18题6.10示图 当t=1时,E=-100×(6-8×1)=200V方向为顺时针 (2)=E_20 R =20A方向为顺时针方向 (3)q=ldr dt R(6-8)dt (6-4)=-20C (4)由E=N(6-8)知,电动势开始反转的时刻t=5=0755 6.11如图6.19a)表示一根长度为L的铜棒平行于一载有电流i的长直导线,从距 离电流为a处开始以速度υ向下运动。求铜棒所产生的感应电动势。已知υ=5m·sl =100A,L=20cm,a=lcm。又如图619(b所示若铜线运动的方向u与电流方向平行。 设铜棒的上端距电流为a,问此时铜棒的感应电动势又为多少。 解:在图(a)中 0×B.d=UBL L =5×2×10×100 001×0.2=2.0×10-T 图619题6ni图(b) 在图(b)中 E=0×Bd=a=D2∫h l a+L 3.04×10 62如图620所示,半径为R的导体圆环,其线圈平面与局限于线圈平面内的 均匀磁场B垂直。一同种材料和同样粗细的直棒置于其上,导体棒以 速度υ自左向右滑动,经过环心时开始计时。设棒上和环上每单位长 度的电阻为r。求 (1)t时刻棒上的动生电动势 图6.20题6.12示图
3 = 2 = 2BS = 210.001= 0.002b 由上题结果知流过电路的电量为： C R N Q 0.002 0.02 10 100 = = = 6.10 如图 6.18 所示，一个 100 匝的线圈，电阻为 10Ω。将其置于方向垂直纸面 向里的均匀磁场中。设通过线圈平面的磁通按 2 = 10 + 6t − 4t (SI)的规律变化，求： （1）t = 1s 时线圈中的感应电动势的大小及方向； （2）t = 1s 时线圈中的感应电流的大小及方向； （3）第 1 秒内通过电流表 G 的电量； （4）电动势开始反转的时刻。 解：（1） N(6 8t) dt d N dt d = − − = − = − 当 t=1 时， = −100 (6 − 81) = 200V 方向为顺时针。 （2） A R I 20 10 200 = = = 方向为顺时针方向 （3） = = = − − = − − = − 1 0 1 0 1 0 (6 4) 20 10 100 (6 8t)dt C R N dt R q Idt （4）由 = −N(6 − 8t) 知，电动势开始反转的时刻 t 0.75s 8 6 = = 6.11 如图 6.19(a)表示一根长度为 L 的铜棒平行于一载有电流 i 的长直导线，从距 离电流为 a 处开始以速度υ向下运动。求铜棒所产生的感应电动势。已知υ= 5m·s -1 ， i=100A，L= 20cm ，a =1cm。又如图 6.19(b)所示若铜线运动的方向υ与电流方向平行。 设铜棒的上端距电流为 a，问此时铜棒的感应电动势又为多少。 解：在图（a）中： = = = L a i B dl BL 2 0 V 7 3 0 2 2 0 10 0 01 100 5 2 10− − = . = . . 在图（b）中： − + = + = = = = V a I a L dr r I B dl Bdr L a a 0 0 4 ln 3.04 10 2 1 2 6.12 如图 6.20 所示，半径为 R 的导体圆环，其线圈平面与局限于线圈平面内的 均匀磁场 B 垂直。一同种材料和同样粗细的直棒置于其上，导体棒以 速度υ自左向右滑动，经过环心时开始计时。设棒上和环上每单位长 度的电阻为 r。求： （1）t 时刻棒上的动生电动势； 图 6.18 题 6.10 示图 图 6.20 题 6.12 示图 图 6.19 题 6.11 示图
(2)t时刻感应电流在环心上产生的磁感强度。 解:(1)ε=BU=2UB√R2-2t2方向从a到b (2)等效电路为ab段与两弧段并联后相串 由两圆弧段上电流方向相反,大小与电阻成反比,进而与弧长成反比,它们在O 点产生的磁感应强度之和为0,故感应电流在环心上产生的磁感强度即ab段上感应电 流在O点产生的磁感应强度,即 B=B(-)=HR-072=HER-07 R 2πRwtR A02UB√R2-u3t2√R2-02t2μBR2=b322 2πRUt R RI r 其中电阻R为: R=2VR-u1+ arccos(、1 arccos DR HoB Bo=2mR√R2-U712+BosR→(aoR 方向垂直纸面向外 613(1)如图6.21所示,质量M,长度为l的金属棒ab从静止开始沿倾斜的绝缘 框架下滑,设磁场B竖直向上,求棒内的动生电动势与时间的函数关系。假定摩擦可 忽略不计。 (2)如果金属棒ab是沿光滑的金属框架下滑,结果又有何不同?(提示:回路abCB 将产生感生电流,可设回路电阻为R,并作常量考虑) 解:(1)棒所受合力是其重力沿斜面的分力f= mgsm 6,则运动速度 U=Do +at=(gsin e)t 故动生电动势为 E=S(UX B)d=(gsin @)tBsin(0+))=Bglt sIn ecos (2)若是金属框架,则当产生动生电动势时, 就有感应电流,从而棒还受到安培力的作用。设在某 B 瞬时,棒的速度为υ。则所受安培力为: fmEUR-51B= oBI cos 0,p ucos e R 沿斜面方向应用牛二得: 图6.21题6.13示图
4 （2）t 时刻感应电流在环心上产生的磁感强度。 解：（1） 2 2 2 = Bl = 2B R − t 方向从 a 到 b。 （2）等效电路为 ab 段与两弧段并联后相串。 由两圆弧段上电流方向相反，大小与电阻成反比，进而与弧长成反比，它们在 O 点产生的磁感应强度之和为 0，故感应电流在环心上产生的磁感强度即 ab 段上感应电 流在 O 点产生的磁感应强度，即： R R t R R t R t t I t I B 2 2 2 0 2 2 2 0 1 2 0 0 4 2 2 − = − − = = ' (cos cos ) ' ' R R t Rt B R R t R t B R t 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 − = − − = 其中电阻 ' R 为： − = − + R R t R t R r R t arccos ( arccos ) ' 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 arccos (arccos ) 2 R R t R t R t R R t Rrt B B − + − − = 方向垂直纸面向外。 6.13 (1) 如图 6.21 所示，质量 M，长度为 l 的金属棒 ab 从静止开始沿倾斜的绝缘 框架下滑，设磁场 B 竖直向上，求棒内的动生电动势与时间的函数关系。假定摩擦可 忽略不计。 (2) 如果金属棒 ab 是沿光滑的金属框架下滑，结果又有何不同? (提示：回路 abCB 将产生感生电流，可设回路电阻为 R，并作常量考虑)。 解：（1）棒所受合力是其重力沿斜面的分力 f = mg sin ，则运动速度 at (g sin )t =0 + = 故动生电动势为： = = = + a b ( B)dl (g sin ) Bsin( )l Bglt sin cos 2 t （2）若是金属框架，则当产生动生电动势时， 就有感应电流，从而棒还受到安培力的作用。设在某 瞬时，棒的速度为 。则所受安培力为： cos cos 2 2 l B R lB R Bl lB R f m IlB = = = = 沿斜面方向应用牛二得： 图 6.21 题 6.13 示图
d gsin e 12B2 cos 0 cos 0 这是υ对t的常微分方程,解之得: meRsin 0 B212cos2 B212 cos20 由t=0时,U=0得:C= rsin e B21 cos20 v= meRsin e mgRs 6 B212 c0s 20 Blucos8-Bl cos0 6.14如图622表示一个限定在圆柱形体积内的均匀磁场,磁感应强度为B,圆 柱的半径R,B的量值以10×102T“S1的恒定速率减小。当把电子放在磁场中a点 (r=5cm)处及b点时,试求电子所获得的瞬时加速度(大小、方向)。(电子的荷质比 为1.76×101C·kg1) 解:由例62知,在圆柱内涡旋电场 E 2 dt 则电子在涡旋电场中所受的力为 F=-ee=-e 2d,加速度a=F=cB m 2m du 图622题614示图 在a点,r=5cm=5×10-2m 176×101×(-1.0×10-2)×5×10-2=-44×107m/s2,方向向右 在b点=0,则a=0 615如图623所示,虚线圆内是均匀磁场,磁感应强度B的大小为0.5T,方向 垂直图面向里,并且正以001T·S的变化率减小.问 (1)在图中虚线圆内,涡旋电场的电力线如何? 冬。(2)在半径为10m的导电圆环上任一点处,涡旋电场的大小与方向如何?环内感 电动势有多大?如果环内的电阻为29,环内电流有多大?环上a,b两点的电势 差为多少? (3)如果在某点切开此环,并把两端稍许分开,此时,两端间的电势差又为多少? 解:(1)虚线圆内,涡旋电场的电力线是以轴为心的一系列同 心圆环,其方向为顺时针方向。 (2)E= 0.01)×0.1=5×10-V.m 2 dt 方向沿顺时针方向。 环内的感生电动势 图6.23题6,15示图
5 dt d l B Rm g = sin − cos cos 2 2 这是 对 t 的常微分方程，解之得： t mR B l Ce B l mgR − − = 2 2 2 2 2 2 cos cos sin 由 t=0 时， = 0 得： 2 2 2 cos sin B l mgR C = = − − t mR B l e B l mgR 2 2 2 cos 2 2 2 1 cos sin ， = = − − t mR B l e Bl mgR Bl 2 2 2 cos 1 cos sin cos 6.14 如图 6.22 表示一个限定在圆柱形体积内的均匀磁场，磁感应强度为 B，圆 柱的半径 R，B 的量值以 1.0×10-2 T·S -1 的恒定速率减小。当把电子放在磁场中 a 点 ( r = 5cm )处及 b 点时，试求电子所获得的瞬时加速度(大小、方向)。(电子的荷质比 为 1.76×1011C·kg-1 )。 解：由例 6.2 知，在圆柱内涡旋电场 r dt dB E 2 1 = − 则电子在涡旋电场中所受的力为： r dt dB F eE e 2 1 = − = ，加速度 r dt dB m e m F a 2 = = 在 a 点， r cm m 2 5 5 10− = = 1 1 2 2 7 2 1 76 10 1 0 10 5 10 4 4 10 2 1 a m s a = . (− . ) = − . / − − ，方向向右。 在 b 点 r=0，则 ab = 0 6.15 如图 6.23 所示，虚线圆内是均匀磁场，磁感应强度 B 的大小为 0.5T，方向 垂直图面向里，并且正以 0.01 T·S -1 的变化率减小．问： (1) 在图中虚线圆内，涡旋电场的电力线如何? (2) 在半径为 10cm 的导电圆环上任一点处，涡旋电场的大小与方向如何? 环内感 生电动势有多大? 如果环内的电阻为 2Ω，环内电流有多大? 环上 a，b 两点的电势 差为多少? (3) 如果在某点切开此环，并把两端稍许分开，此时，两端间的电势差又为多少? 解：（1）虚线圆内，涡旋电场的电力线是以轴为心的一系列同 心圆环，其方向为顺时针方向。 （2） 4 1 ( 0.01) 0.1 5 10 2 1 2 1 − − = − r = − − = V m dt dB E感 方向沿顺时针方向。 环内的感生电动势： 图 6.22 题 6.14 示图 图 6.23 题 6.15 示图
感d=5×10×2×0.1=3.14×10 =感314×103-1.57×10-4A,Ub=-Eab+BR=0 R (3)U=Es=3.14×10°V 6.16如图6.24是一截面为矩形的一个环式螺线管,试导出其自感的表达式,如 果N=103,a=5cm,b=15cm,h=lcm,求自感的数值。 解:环式螺线管内的磁感应强度为:B=AM 其方向沿轴向,则通过螺线管截面的通量为: Bhdr-Ho Nr Idr=owh n b 2丌 +图王 磁链为:平=N=N2n/h 图624题6.16示图 据自感定义则得 =平=地Nhnb=2x103×10°×10-m15=20×10H 617有一密绕400匝的线圈,自感为8mH,当线圈中通有电流5×103A时, 通过该线圈的磁通量有多大? 解:利用自感的定义L=坐N 得通过该线圈的磁通量为: 小=8×10-3×5×10-3/400=1×10-Wb 618一圆形线圈a由50匝细线绕成,截面积为4cm2,放在另一匝数等于100 匝,半径为20cm的圆形线圈b的中心,两线圈同轴。求: (1)两线圈的互感系数 (2)当线圈b中电流以50A·S1的变化率减小时,线圈a内磁通的变化率; (3)线圈a中的感生电动势 解:线圈a的线度远小于线圈b的线度。故线圈a处于线圈b的中心时,可把线 圈a平面上各点的磁场近似看成均匀并用b中心的磁场来代替。 o N, (1)设线圈b中的电流为l,则它在其中心的磁场为:B0=2R b线圈的磁场在a线圈中的磁通量及磁通匝链数分别为
6 E dl V 4 4 5 10 2 0 1 3 14 10 − − = = = . . 感 感 A R I 4 4 1.57 10 2 3.14 10 − − = = = 感 ，Uab = − ab + IRab = 0 （3） U V 4 3.14 10− = 感 = 6.16 如图 6.24 是一截面为矩形的一个环式螺线管，试导出其自感的表达式，如 果 N =10 3，a = 5cm ，b = 15cm ，h = 1cm ，求自感的数值。 解：环式螺线管内的磁感应强度为： r NI B 2 0 = 其方向沿轴向，则通过螺线管截面的通量为： = = = b a a NIh b dr r NIh Bhdr ln 2 1 2 0 0 磁链为： a b N N hI ln 2 0 2 = = 据自感定义则得： H a b N h I L 0 2 7 6 3 3 2.20 10 5 15 ln 2 10 10 10 ln 2 − − − = = = = 6.17 有一密绕 400 匝的线圈，自感为 8mH ，当线圈中通有电流 5×10-3A 时， 通过该线圈的磁通量有多大? 解：利用自感的定义 I N I L = = 得通过该线圈的磁通量为： 8 10 5 10 400 1 10 Wb −3 −3 −7 = = / = N LI 6.18 一圆形线圈 a 由 50 匝细线绕成，截面积为 4cm2 ，放在另一匝数等于 100 匝，半径为 20cm 的圆形线圈 b 的中心，两线圈同轴。求： ⑴ 两线圈的互感系数； ⑵ 当线圈 b 中电流以 50A·S -1 的变化率减小时，线圈 a 内磁通的变化率； ⑶ 线圈 a 中的感生电动势。 解：线圈 a 的线度远小于线圈 b 的线度。故线圈 a 处于线圈 b 的中心时，可把线 圈 a 平面上各点的磁场近似看成均匀并用 b 中心的磁场来代替。 （1）设线圈 b 中的电流为 b I ，则它在其中心的磁场为： b b b R N I B 2 0 0 = b 线圈的磁场在 a 线圈中的磁通量及磁通匝链数分别为： 图 6.24 题 6.16 示图
p=SB=S N, Ib Has=SN Ho NBI R 2Rb 据互感定义便可得两线圈的互感系数为: M=Yab=s HoNab =4×10-4x×107×50×10 6.28×10-6H 2×20×10 (2)由互感的另一种定义N==Mb得线圈a内磁通量的变化率: =M“n=628×10×(50/50=-628×10-mb.s (3)线圈a中的感生电动势为: En=-M=b=-628×10×(-50)=3.14×104V 619如图625所示,一矩形线圈长a=0.2m,宽b=0.lm,由100匝表面绝缘 的导线绕成,放在一根很长的直导线旁边并与之共面,试求线圈与长直导线之间的互 感系数 解:设长直导线载电流为Ⅰ,其磁场在矩形线圈中的磁通及磁链分别为 Hola In 2 2丌r H=№=4Na In 2 据互感定义得 Ho INa hn2=2×10-×100×0.2h2=28×10-H 图6.25题6.19示图 620已知两个电感线圈的自感分别为L1=0.4H和L2=0.9H,它们之间的耦合系 数k=0.5,当在L中通一变化率为2A·s的电流时,问在线圈L中的自感电动势 和线圈L2中的互感电动势的数值为多大? 解:互感系数为:M=k√L1L2=03H 线圈L1中的自感电动势为:Em=L1=0.4×2=0.8V 线圈L2中的互感电动势为 M=0.3×2=0.6 7
7 b b b ab a a R N I S B S 2 0 0 = = ， b b b ab a a R N I S N 2 0 = 据互感定义便可得两线圈的互感系数为： H R N I S I M b a b a b a b 6 2 7 0 4 6.28 10 2 20 10 4 10 50 100 4 10 2 − − − − = = = = （2）由互感的另一种定义 dt dI M dt d N a b a = 得线圈 a 内磁通量的变化率： 6 6 1 6.28 10 ( 50)/ 50 6.28 10 − − − = = − = − Wb S dt dI N M dt d b a a （3）线圈 a 中的感生电动势为： V dt dI M b a 6 4 6.28 10 ( 50) 3.14 10 − − = − = − − = 6.19 如图 6.25 所示，一矩形线圈长 a = 0.2m，宽 b = 0.1m ，由 100 匝表面绝缘 的导线绕成，放在一根很长的直导线旁边并与之共面，试求线圈与长直导线之间的互 感系数。 解：设长直导线载电流为 I，其磁场在矩形线圈中的磁通及磁链分别为： = = b b Ia adr r 2 I 0 0 2 2 2 ln ， ln 2 2 0 INa = N = 据互感定义得： H INa M 0 7 6 ln 2 2 10 100 0.2ln 2 2.8 10 2 − − = = = 6.20 已知两个电感线圈的自感分别为 L1 = 0.4H 和 L2 = 0.9H，它们之间的耦合系 数 k = 0.5 ，当在 L1 中通一变化率为 2A·s -1 的电流时，问在线圈 L1 中的自感电动势 和线圈 L2 中的互感电动势的数值为多大? 解：互感系数为： M = k L1L2 = 0.3H 线圈 L1 中的自感电动势为： V dt di L 0 4 2 0 8 1 1 1 自 = = . = . 线圈 L2 中的互感电动势为： V dt di M 0 3 2 0 6 1 2 互 = = . = . 图 6.25 题 6.19 示图
621一线圈具有电感5H与电阻209,如果有100V的电动势加在它两端,问在 电流增到最大值后磁场中储存的能量有多大? 解:此电路是一RL暂态电路,当接通电路后经很长时间(t→∞),电感相当于短 路,电流达到最大,其值为:Jn 100=5A R20 此时储存的磁场能为 W=-LⅠ ×5×52=62.5J 2 622在真空中,若一均匀电场中的电场能量密度与一个0.5T的均匀磁场中的磁 场能量密度相等,该电场的电场强度是多少? 解:按题意有电场能量密度等于磁场能量密度,即有: E0E2- B 2 从而得该电场的电场强度为:E=1B2=CB=3×1005=150v *623有一线圈自感系数为20H,电阻为109,将其突然接到内阻可以忽略的 电源上,电源的电动势为100V,在接通后0.1s时,试求 (1)磁场中储存的磁能为多少? (2)此时磁能的增加率是多少? 解:此为LR电路,其电路方程为:g-L=BR 这是关于Ⅰ的一阶线性常微分方程,解之得:I R 由t=0时,I=0得C= R =(1-e) (1)=2=1,51-7y20×10-0-)2=155 (2) 1210=l20-c2)(gE 100 0.1100 2.0 e2=238.7J/ 624一平行板电容器两极都是半径为50cm的圆导体片,在通电时,其中电场 强度的变化率 de 1.0×1012V.m1.si (1)求两板间的位移电流 8
8 6.21 一线圈具有电感 5H 与电阻 20Ω，如果有 100V 的电动势加在它两端，问在 电流增到最大值后磁场中储存的能量有多大? 解：此电路是—RL 暂态电路，当接通电路后经很长时间 (t → ) ，电感相当于短 路，电流达到最大，其值为： A R I m 5 20 100 = = = 此时储存的磁场能为： W LI J m m 5 5 62.5 2 1 2 1 2 2 = = = 6.22 在真空中，若一均匀电场中的电场能量密度与一个 0.5T 的均匀磁场中的磁 场能量密度相等，该电场的电场强度是多少? 解：按题意有电场能量密度等于磁场能量密度，即有： 0 2 2 0 2 2 1 B E = 从而得该电场的电场强度为： 2 8 8 1 0 0 3 10 0.5 1.5 10 1 − E = B = CB = = V m *6.23 有一线圈自感系数为 2.0H，电阻为 10Ω，将其突然接到内阻可以忽略的 电源上，电源的电动势为 100V，在接通后 0.1s 时，试求： (1) 磁场中储存的磁能为多少? (2) 此时磁能的增加率是多少? 解：此为 LR 电路，其电路方程为： IR dt dI − L = 这是关于 I 的一阶线性常微分方程，解之得： t L R Ce R I − = − 由 t=0 时，I=0 得 R C = ( ) t L R e R I − − = 1 （1） e e J R W LI L t L R m (1 ) 15.5 10 100 2.0 2 1 (1 ) 2 1 2 1 2 0.1 2.0 1 0 2 2 2 2 2 2 = = − = − = − − （2） t L R t L R m e L R R e R L dt dI L I dt dW − − − = 2 = (1 ) ( ) 2 1 . ( e ) e . J / s . . 238 7 2 100 1 10 100 2 0 0 1 2 10 0 1 2 10 = − = − − 6.24 一平行板电容器两极都是半径为 5.0 cm 的圆导体片，在通电时，其中电场 强度的变化率 12 -1 1 1 0 10 V m s − = . dt dE ⑴ 求两板间的位移电流；
(2)求极板边缘的磁感应强度B 解:(1)位移电流密度为:J 则位移电流为 10=不0==610)801010=69104 (2)应用安培环路定理手H=1+lD=1D并据对称性可得: 2IrH=/ B 2×10-7.6.96×10 2.78×10-7T 625从、可心出发,计算出作匀速直线运动的点电荷的电磁场中,离电 荷r处的磁场强度,设电荷运动速度υ<<c。 解:以电荷q运动方向为轴,并取其上一点为圆心,过场点p作半径为R的平面 (如图),电荷所产生的电位移穿过平面的通量就等于穿过以此圆面为底的球冠的电位 移通量,其值为 ds -2mrsin 6rd8==(1-cosa) 4 47 那么穿过圆面的电位移通量的时间导数为:西n=9mnaa 又因r=03ma,并利用f=如便得: dt H·dl da dt 2 电荷的运动等效为电流。由电流元产生磁场的毕一一萨定律可知,运动电荷在圆 周上的磁场方向沿着圆周切线;再由对称性可知,在半径为R的平面回路上各点的量 值相等,故有 2mR=9 sin a 2 而R=rsna所以得 IUsn a 其矢量形式为 厅=q
9 ⑵ 求极板边缘的磁感应强度 B． 解：（1）位移电流密度为： t E J D = 0 则位移电流为： A t E I r J r D D 2 2 1 2 1 2 2 0 2 2 5 10 8 85 10 1 0 10 6 96 10 − − − = = = = ( ) . . . （2）应用安培环路定理 = + D = D H dl I I I 并据对称性可得： D 2 rH = I ， r I H D 2 = ， T r I B D 7 2 2 0 7 2 78 10 5 10 6 96 10 2 10 2 − − − − = = = . . 6.25 从 dt d H dl D = 出发，计算出作匀速直线运动的点电荷的电磁场中，离电 荷 r 处的磁场强度，设电荷运动速度υ<< c 。 解：以电荷 q 运动方向为轴，并取其上一点为圆心，过场点 p 作半径为 R 的平面 （如图），电荷所产生的电位移穿过平面的通量就等于穿过以此圆面为底的球冠的电位 移通量，其值为： = = = = − a D q r rd r q ds r q D ds 0 2 2 (1 cos ) 2 2 sin 4 4 那么穿过圆面的电位移通量的时间导数为： dt q d dt d D sin 2 = 又因 = sin dt d r ，并利用 dt d H dl D = 便得： 2 sin 2 sin 2 r q dt q d H dl = = 电荷的运动等效为电流。由电流元产生磁场的毕——萨定律可知，运动电荷在圆 周上的磁场方向沿着圆周切线；再由对称性可知，在半径为 R 的平面回路上各点的量 值相等，故有： 2 sin 2 2 r q RH = 而 R = rsin 所以得： sin 4 2 r q H = 其矢量形式为： 3 4 r q r H =