第十三章量子力学基础 13.1绝对黑体和平常所说的黑色物体有什么区别? 答:绝对黑体是对照射其上的任意辐射全部吸收而不发生反射和透射的物体,而平常所 说的黑色物体是只反射黑颜色的物体。 132普朗克量子假设的内容是什么? 答:普朗克量子假设的内容是物体发射和吸收电磁辐射能量总是以E=hv为单位进行 13.3光电效应有哪些实验规律?用光的波动理论解释光电效应遇到了哪些困难? 答:光电效应的实验规律为:1)阴极K在单位时间内所发射的光子数与照射光的强度 成正比:2)存在截止频v:3)光电子的初动能与照射光的强度无关,而与频率成线性关系; 4)光电效应是瞬时的。 用光的波动理论解释光电效应遇到的困难在于:1)按照波动理论,光波的能量由光强决 定,因而逸出光电子的初动能应由光强决定,但光电效应中光电子的初动能却与光强无关;2) 若光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量,光电效应对各种频率的光都能发 生,不应存在红限;3)光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程,光强越弱,发射光子所 需时间就越长。这都与光电效应的实验事实相矛盾 134波长入为0mm的X射线其光子的能量e=199×103y;质量m=221×1032kg 动量p=663×102kg·ms- 13.5怎样理解光的波粒二象性? 答:光即具有波动性,又具有粒子性,光是粒子和波的统一,波动和粒子是光的不同侧 面的反映。 13.6氢原子光谱有哪些实验规律? 答:氢原子光谱的实验规律在于氢原子光谱都由分立的谱线组成,并且谱线分布符合组 合规律=T(k)-7()=N2小 k取12,3…,分别对应于赖曼线系,巴耳米线系,帕形线系 13.7原子的核型结构模型与经典理论存在哪些矛盾? 答:原子的核型结构与经典理论存在如下矛盾:1)按经典电磁辐射理论,原子光谱应是 连续的带状光谱:2)不存在稳定的原子。这些结论都与实验事实矛盾。 13.8如果枪口的直径为5mm,子弹质量为0.01kg用不确定关系估算子弹射出枪口时的横
1 第十三章 量子力学基础 13.1 绝对黑体和平常所说的黑色物体有什么区别？ 答：绝对黑体是对照射其上的任意辐射全部吸收而不发生反射和透射的物体，而平常所 说的黑色物体是只反射黑颜色的物体。 13.2 普朗克量子假设的内容是什么？ 答：普朗克量子假设的内容是物体发射和吸收电磁辐射能量总是以 = h 为单位进行。 13.3 光电效应有哪些实验规律？用光的波动理论解释光电效应遇到了哪些困难？ 答：光电效应的实验规律为：1）阴极 K 在单位时间内所发射的光子数与照射光的强度 成正比；2）存在截止频 0 ；3）光电子的初动能与照射光的强度无关，而与频率成线性关系； 4）光电效应是瞬时的。 用光的波动理论解释光电效应遇到的困难在于：1）按照波动理论，光波的能量由光强决 定，因而逸出光电子的初动能应由光强决定，但光电效应中光电子的初动能却与光强无关；2） 若光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量，光电效应对各种频率的光都能发 生，不应存在红限；3）光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程，光强越弱，发射光子所 需时间就越长。这都与光电效应的实验事实相矛盾。 13.4 波长λ为0.1nm的X射线,其光子的能量ε= J 15 1.99 10− ；质量m = kg 32 2.21 10− ； 动量 p = 24 1 6.63 10− − kg ms . 13.5 怎样理解光的波粒二象性？ 答：光即具有波动性，又具有粒子性，光是粒子和波的统一，波动和粒子是光的不同侧 面的反映。 13.6 氢原子光谱有哪些实验规律？ 答：氢原子光谱的实验规律在于氢原子光谱都由分立的谱线组成，并且谱线分布符合组 合规律 ) 1 1 ( ) ( ) ( ~ 2 2 k n kn = T k −T n = R − k 取 1,2,3, ，分别对应于赖曼线系，巴耳米线系，帕形线系， . 13.7 原子的核型结构模型与经典理论存在哪些矛盾？ 答：原子的核型结构与经典理论存在如下矛盾：1）按经典电磁辐射理论，原子光谱应是 连续的带状光谱；2）不存在稳定的原子。这些结论都与实验事实矛盾。 13.8 如果枪口的直径为 5mm,子弹质量为 0.01kg,用不确定关系估算子弹射出枪口时的横
向速率 解:由不确定关系A△D,=m△x△AD,≥得 4Uvm1x2x0.01×5×10 =1.05×10-30ms 即子弹射出枪口时的横向速率为1.05×10-30m·s-1.可见宏观粒子的波动性可以忽略 13.9怎样理解微观粒子的波粒二象性? 答:象光一样,实物粒子也具有波粒二象性,由于在通常情况下,实物粒子的波动性不 明显而被忽视了。实物粒子也是粒子和波的统一,但粒子和波动都已不是经典意义下的概念 通过波函数的统计解释(即几率波)将二者统一起来了 13.10什么是德布罗意波?哪些实验证实微观粒子具有波动性? 答:把与实物粒子相联系的波称为德布罗意波,或叫物质波。波的频率和波长与实物粒 子的能量和动量有如下德布罗意公式v=E/h,A=h/p 戴维孙和草末通过电子衍射实验证实了微观粒子的波动性 13.11如果加速电压U≥10°eV,还可以用公式=1225/√/m来计算电子的德布罗意波 长吗?为什么? 答:若电压U≥10°e,就不能用公式=1.225/√Um来计算电子的德布罗意波长。这 是因为粒子的运动速度不能满足低速近似条件,必须考虑相对论效应。(m=m/√1-2/c2) 13.12波函数的物理意义是什么?它必须满足哪些条件? 答:波函数的物理意义是波函数的模方代表波所描述的粒子在空间的几率密度。 (xy,=,1)axd代表r时刻在点(x,y,=)附近体元d=dcd内出现粒子的几率。 波函数必须满足的标准条件为:有限,单值,连续。同时在具体的物理问题中,要满足 相应的边界条件 13.13在量子力学中,一维无限深势阱中的粒子可以有若干个态,如果势阱的宽度缓慢地 减少至某一较小的宽度,则下列说法中正确的是: (1)每一能级的能量减少;(2)能级数增加:(3)相邻能级的能量差增加:(4)每个能 级的能量不变 谷:(3 13.14斯特恩-盖拉赫实验怎样说明了空间量子化?怎样说明电子具有自旋? 答:因为具有磁矩的原子在不均匀磁场中除受磁力矩外,还受到与运动方向垂直的磁力 作用,这将使原子束偏转。所以斯特恩一盖拉赫实验(在底片上出现两条对称分布的原子沉 积)就说明原子具有磁矩。且磁矩在外磁场中只有两种可能的方向,即空间是量子化的。 2
2 向速率. 解：由不确定关系 2 xpx = mx x 得 30 1 3 34 1.05 10 2 0.01 5 10 1.05 10 2 − − − − = = m s m x x 即子弹射出枪口时的横向速率为 30 1 1.05 10− − m s .可见宏观粒子的波动性可以忽略。 13.9 怎样理解微观粒子的波粒二象性？ 答：象光一样，实物粒子也具有波粒二象性，由于在通常情况下，实物粒子的波动性不 明显而被忽视了。实物粒子也是粒子和波的统一，但粒子和波动都已不是经典意义下的概念。 通过波函数的统计解释（即几率波）将二者统一起来了。 13.10 什么是德布罗意波？哪些实验证实微观粒子具有波动性？ 答：把与实物粒子相联系的波称为德布罗意波，或叫物质波。波的频率和波长与实物粒 子的能量和动量有如下德布罗意公式 = E / h， = h / p 。 戴维孙和草末通过电子衍射实验证实了微观粒子的波动性。 13.11 如果加速电压 U eV 6 10 ,还可以用公式 =1.225 / Unm 来计算电子的德布罗意波 长吗？为什么？ 答：若电压 U eV 6 10 ，就不能用公式 =1.225 / Unm 来计算电子的德布罗意波长。这 是因为粒子的运动速度不能满足低速近似条件，必须考虑相对论效应。（ / 1 / ) 2 2 0 m = m − c 13.12 波函数的物理意义是什么？它必须满足哪些条件？ 答：波函数的物理意义是波函数的模方代表波所描述的粒子在空间的几率密度。 x y z t dxdydz 2 ( , , , ) 代表 t 时刻在点 (x, y,z) 附近体元 dV = dxdydz 内出现粒子的几率。 波函数必须满足的标准条件为：有限，单值，连续。同时在具体的物理问题中，要满足 相应的边界条件。 13.13 在量子力学中,一维无限深势阱中的粒子可以有若干个态,如果势阱的宽度缓慢地 减少至某一较小的宽度,则下列说法中正确的是： （1）每一能级的能量减少；（2）能级数增加；（3）相邻能级的能量差增加；（4）每个能 级的能量不变. 答：（3） 13.14 斯特恩-盖拉赫实验怎样说明了空间量子化？怎样说明电子具有自旋？ 答：因为具有磁矩的原子在不均匀磁场中除受磁力矩外，还受到与运动方向垂直的磁力 作用，这将使原子束偏转。所以斯特恩—盖拉赫实验（在底片上出现两条对称分布的原子沉 积）就说明原子具有磁矩。且磁矩在外磁场中只有两种可能的方向，即空间是量子化的
对于角量子数为l的原子,其轨道角动量z分量l和轨道磁矩.=-1有21+1个不同 值,即取奇数个不同值。故实验结果显然不是电子轨道磁矩所为。这样就说明电子还存在其 它角动量及磁矩。为此乌伦贝克和高德斯密特就提出了电子自旋运动的假设,电子自旋(磁 矩)在空间有两个取向 13.15描述原子中电子定态需要哪几个量子数?取值范围如何?它们各代表什么含义? 谷主量子数n:m=1,2,…,它基本上确定了电子的能级。 角量子数h:=0.1,…(n-1),它决定原子角动量的大小,对能量也有一定影响。 磁量子数m:m=0,±1,±2,…,±l,决定轨道角动量L在外磁场中的取向。 自旋磁量子数m2:m=±1/2,它决定自旋在外磁场中的取向。 13.16简述泡利不相容原理和能量最低原理 答:泡利不相容原理:一个原子中任何两个电子都不可能处在完全相同的量子态。 能量最低原理:原子处于正常态时,每个电子都趋向占据可能的最低能级,使原子系统 的总能量尽可能的低 *13.17什么叫自发辐射和受激辐射?从辐射的机理来看普通光源和激光光源的发光有 何不同? 答:处于高能态的原子由于不稳定而自发的跃迁到低能态,同时辐射出光子,这一过程 叫自发辐射。 处于高能态的原子,若受到入射光等的激励,会从高能态跃迁到低能态,同时辐射一个 与入射光子的频率,传播方向,偏振态均相同的光子,此过程称为受激辐射。 从辐射的机理来看,普通光是自发辐射产生的,由于它是一种随机的过程,各原子的辐 射完全是自发地独立进行,各原子辐射的光的频率,传播方向,相位和偏振态等均无确定关 系,因而是不相干光。激光是通过受激辐射产生的,由于受激辐射发射的光子与入射光子状 态(频率、位相、偏振等)完全相同。因而是相干光。 *13.18什么叫粒子数反转分布?实现粒子数反转需要具备什么条件? 答:粒子数反转分布不同于玻耳兹曼分布,使能量高的能级的粒子数N2大于能量低的能 级的粒子数N,亚稳态能级的存在是实观粒子数反转所必须具备的条件 *13.19产生激光的必要条件是什么? 答:产生激光的必要条件是实现粒子数反转。 *13.20激光谐振腔在激光的形成过程中起哪些作用? 答:激光谐振腔在激光的形成过程中所起的作用是提高受激辐射几率,而且使某一方向 上的受激辐射占优势 *13.21绝缘体、导体、半导体的能带结构有什么不同? 答:绝缘体和半导体都具有充满电子的满带和隔离空带与满带的禁带。半导体的禁带较 窄(约为0.1-1.5eI),绝缘体的禁带较宽(约为3-6e)。而导体与它们在能带结构上有质 的区别,存在未被电子填满的价带,或者最高的满带与较高的空带存在交叠(形成导带) 3
3 对于角量子数为 l 的原子，其轨道角动量 z 分量 z l 和轨道磁矩 z z l m e 2 = − 有 2l +1 个不同 值，即取奇数个不同值。故实验结果显然不是电子轨道磁矩所为。这样就说明电子还存在其 它角动量及磁矩。为此乌伦贝克和高德斯密特就提出了电子自旋运动的假设，电子自旋（磁 矩）在空间有两个取向。 13.15 描述原子中电子定态需要哪几个量子数？取值范围如何？它们各代表什么含义？ 答 主量子数 n：n=1，2，…，它基本上确定了电子的能级。 角量子数 l：l = 0,1.2, (n −1) ，它决定原子角动量的大小，对能量也有一定影响。 磁量子数 m：m = 0, 1, 2 , , l ，决定轨道角动量 L 在外磁场中的取向。 自旋磁量子数 ms ：ms = 1/ 2，它决定自旋在外磁场中的取向。 13.16 简述泡利不相容原理和能量最低原理. 答：泡利不相容原理：一个原子中任何两个电子都不可能处在完全相同的量子态。 能量最低原理：原子处于正常态时，每个电子都趋向占据可能的最低能级，使原子系统 的总能量尽可能的低。 *13.17 什么叫自发辐射和受激辐射？从辐射的机理来看普通光源和激光光源的发光有 何不同？ 答：处于高能态的原子由于不稳定而自发的跃迁到低能态，同时辐射出光子，这一过程 叫自发辐射。 处于高能态的原子，若受到入射光等的激励，会从高能态跃迁到低能态，同时辐射一个 与入射光子的频率，传播方向，偏振态均相同的光子，此过程称为受激辐射。 从辐射的机理来看，普通光是自发辐射产生的，由于它是一种随机的过程，各原子的辐 射完全是自发地独立进行，各原子辐射的光的频率，传播方向，相位和偏振态等均无确定关 系，因而是不相干光。激光是通过受激辐射产生的，由于受激辐射发射的光子与入射光子状 态（频率、位相、偏振等）完全相同。因而是相干光。 *13.18 什么叫粒子数反转分布？实现粒子数反转需要具备什么条件？ 答：粒子数反转分布不同于玻耳兹曼分布，使能量高的能级的粒子数 N2 大于能量低的能 级的粒子数 N1 ，亚稳态能级的存在是实观粒子数反转所必须具备的条件。 *13.19 产生激光的必要条件是什么？ 答：产生激光的必要条件是实现粒子数反转。 *13.20 激光谐振腔在激光的形成过程中起哪些作用？ 答：激光谐振腔在激光的形成过程中所起的作用是提高受激辐射几率，而且使某一方向 上的受激辐射占优势。 *13.21 绝缘体、导体、半导体的能带结构有什么不同？ 答：绝缘体和半导体都具有充满电子的满带和隔离空带与满带的禁带。半导体的禁带较 窄（约为 0.1−1.5eV ），绝缘体的禁带较宽（约为 3−6eV ）。而导体与它们在能带结构上有质 的区别，存在未被电子填满的价带，或者最高的满带与较高的空带存在交叠(形成导带)
1322地球表面每平方厘米每分钟由于辐射而损失的能量的平均值为0.5434J试问若有 一个绝对黑体辐射相同的能量时,其温度为多少? 解:由斯特藩——玻耳兹曼定律M2(T)=a得 7、(M2(21(0.5434×104/60 1199K 56705×10-8 13.23若将恒星表面的辐射近似的看作黑体辐射,现测得太阳和北极星辐射波谱的分 别为5100A和3500A,其单位表面上发出的功率比为多少 解:由维恩位移定律nT=b得T=b/n 由此得工=2而B==()=(m=(3500=022 72m p2 al 5100 13.24设太阳落到地面上每平方米的辐射通量为8W,若平均波长为5000A.求: (1)每秒钟落到每平方米地面上的光子数 (2)若人眼瞳孔的直径为5mm,每秒钟进入人眼的光子数为多少? 解(1)设每秒落到每平方米地面上的光子数为N,则Mv=M2(T) 由此得N M2()M2(7)·28×5000×10 =201×109m-2.s- 663×0-34×3×108 (2)每秒进入人眼的光子数为 2)=201×10×31、510=3.94×10s 5×10 13.25已知铯的逸出功为1.88V,今用波长为30004的紫外光照射试求光电子的初动能 和初速度 解:由光电效应方程得: mu=hv-A 663×10 hc」 /16×10-9-1.88=226eV 3000×10 91×1031)2=892×10m,s 2×2.26×1.6×10 1326今用波长为4000A的紫外光照射金属表面产生的光电子的速度为5×105m 试求:(1)光电子的动能;(2)光电效应的红限频率 解(1)E4=m2=×9.1×103×(5×103)2=1.14×10-J
4 13.22 地球表面每平方厘米每分钟由于辐射而损失的能量的平均值为 0.5434 J.试问若有 一个绝对黑体辐射相同的能量时,其温度为多少？ 解：由斯特藩——玻耳兹曼定律 4 MB (T) = T 得 119.9 K 5.6705 10 ( ) 0.5434 10 / 60 1/ 4 8 4 1/ 4 = = = − M T T B 13.23 若将恒星表面的辐射近似的看作黑体辐射,现测得太阳和北极星辐射波谱的 m 分 别为 5100 o A 和 3500 o A ,其单位表面上发出的功率比为多少？ 解：由维恩位移定律 T b m = 得 T b m = / 由此得 1 2 2 1 m m T T = 而 ) 0.22 5100 3500 ( ) ( ) ( 4 4 1 4 2 2 1 4 2 4 1 2 1 = = = = = m m T T T T p p 13.24 设太阳落到地面上每平方米的辐射通量为 8W, 若平均波长为 5000 o A .求： （1）每秒钟落到每平方米地面上的光子数. （2）若人眼瞳孔的直径为 5mm,每秒钟进入人眼的光子数为多少？ 解（1）设每秒落到每平方米地面上的光子数为 N，则 Nh M (T) = B 由此得 19 2 1 34 8 10 2.01 10 m s 6.63 10 3 10 ( ) ( ) 8 5000 10 − − − − = = = = hc M T h M T N B B （2）每秒进入人眼的光子数为 2 19 6 14 1 3 10 3.94 10 s 4 25 ) 2.01 10 3.14 2 5 10 ' ( − − − = = N = N 13.25 已知铯的逸出功为 1.88eV ,今用波长为 3000 o A 的紫外光照射.试求光电子的初动能 和初速度. 解：由光电效应方程得： /1.6 10 1.88 2.26 eV 3000 10 6.63 10 3 10 2 1 1 9 1 0 3 4 8 2 0 0 − = = = − = − = − − − A hc Ek m h A 1/ 2 5 1 31 19 0 1/ 2 0 ) 8.92 10 m s 9.1 10 2 2.26 1.6 10 ) ( 2 ( − − − = = = m Ek 13.26 今用波长为 4000 o A 的紫外光照射金属表面,产生的光电子的速度为 5×105m·s -1 , 试求：（1）光电子的动能；（2）光电效应的红限频率. 解（1） 9.1 10 (5 10 ) 1.14 10 J 2 1 2 1 2 31 5 2 19 0 − − Ek = me = =
(2)由hv=A+E得 663×10-34×3×108 A=hv-EK Er 1.14×10-19=3.83×10-9J 4000×10-0 红限频率 A3.83×10 h663×10=578×104Hz 13.27用能量为125eV的电子去激发基态氢原子,问受激发的氢原子向低能级跃迁时会 出现哪些波长的光谱线? 解:En=E1/m2,所以有En-E1=(--1)E1=136( 当n=3时,E3-E1=12leV:当r=4时,E4-E1=1275eV>125cV 所以受激发的氢原子可处去n=3的激发态:从这一激发态向n=2的低激发态和n=1的基 态跃迁,以及从低激发态n=2向基态跃迁时,都可发射光子,其光谱线波长分别为 cc2998×10×6626×10 A12n(E3-=E2)/b(-5)×136×160210656 2.998×103×6.626×10-34 2=1=E,一E1=a-19)36X162X0=1060m 2.998×103×6626×10- =1216×10-m v3E2-E1(1-1/4)×136×1.602×10-9 13.28试计算氢原子巴耳末系最长的波长和最短的波长各等于多少?并由最短的波长确 定里德伯常数R 解 a hC(En-Ep-8chc 9.109×10-31×(1.602×10-1) 8×88542×102×6.6263×10-3×2 0968969×10( k=2对应于巴耳末系,其中最长的波长(n=3) 36 6.564×10-m 1.0968969×1075 最短的波长(n→∞)和里德伯常数分别为 4=3647×10-7m,R=4=10968969×107m 10968969×10 1329试证明氢原子中电子由n+1的轨道跃迁到n轨道时所放射光子的频率v介于电子 在n+1轨道和n轨道绕核转动频率vn与vn之间,并证明当n→∞时,p→v 5
5 （2）由 A Ek h = + 得 1.14 10 3.83 10 J 4000 10 6.63 10 3 10 19 19 10 34 8 − − − − − = = − k = − Ek = hc A h E 红限频率 5.78 10 Hz 6.63 10 3.83 10 14 34 19 0 = = = − − h A 13.27 用能量为 12.5eV 的电子去激发基态氢原子,问受激发的氢原子向低能级跃迁时,会 出现哪些波长的光谱线？ 解： 2 1 En = E / n ，所以有 ) 1 1) 13.6(1 1 ( 1 2 1 2 n E n En − E = − = − 当 n=3 时， E3 − E1 =12.1eV ； 当 n=4 时， E4 − E1 =12.75 eV 12.5 eV 所以受激发的氢原子可处去 n=3 的激发态；从这一激发态向 n=2 的低激发态和 n=1 的基 态跃迁，以及从低激发态 n=2 向基态跃迁时，都可发射光子，其光谱线波长分别为 6.565 10 m ) 13.6 1.602 10 9 1 4 1 ( 2.998 10 6.626 10 ( )/ 7 1 9 8 3 4 1 3 2 1 − − − = − = − = = E E h c c 1.026 10 m (1 1/ 9) 13.6 1.602 10 2.998 10 6.626 10 7 19 8 34 2 3 1 2 − − − = − = − = = E E c ch 1.216 10 m (1 1/ 4) 13.6 1.602 10 2.998 10 6.626 10 7 19 8 34 3 2 1 3 − − − = − = − = = E E c ch 13.28 试计算氢原子巴耳末系最长的波长和最短的波长各等于多少？并由最短的波长确 定里德伯常数 RH . 解： ) 1 1 ( 8 ( ) ~ 1 1 2 3 2 2 0 4 h c k n me E E hc n k nk nk = = − = − ) 1 1 ) 1.0968969 10 ( 1 1 ( 8 8.854 10 6.626 10 2.998 10 9.109 10 (1.602 10 ) 2 2 7 2 24 3 34 3 8 2 2 31 19 4 k n k n − = − = − − − − k=2 对应于巴耳末系，其中最长的波长（n=3） 6.564 10 m 5 36 1.0968969 10 1 7 max 7 − = = 最短的波长（ n → ）和里德伯常数分别为 4 3.647 10 m 1.0968969 10 1 7 min 7 − = = ， 7 1 min 1.0968969 10 m 4 − = = R 13.29 试证明氢原子中电子由 n +1 的轨道跃迁到 n 轨道时所放射光子的频率ν介于电子 在 n +1 轨道和 n 轨道绕核转动频率 n+1 与 n 之间,并证明当 n → 时, → n
证明 me e4n+1/2 Eh3n2(n+1)2 电子在n轨道绕核转动的频率为p 而υ满足 由此得U=-e 4 则得 ViCOm 'n iEom chns 同理得电子在n+1轨道上绕核转动的频率vn=4Eh(+1)3 显然 v>v>V n"(n+ 显然,当n→∞时,v1=vn,则v→v 1330在电子束中电子的动能为200V则电子的德布罗意波长为多少?当该电子遇到直 径为lmm的孔或障碍物时,它表现出粒子性,还是波动性? 解:电子的动量p=mU=m meK 由德布罗意公式得其波长为 663×10-3 =8.683×10 P√2mE4√2×911×10-31×200×1.6×10 对于直径为d=1mm=1×10-3m的孔或障碍物,由于d>λ,所以电子表现出粒子性。 1331假设粒子只在一维空间运动它的状态可用如下波函数来描写 v(x, t) de-E/n.T 0≤x≤a 式中E和a分别为确定常数A为任意常数计算归一化波函数和几率密度p 解:由归一化条件可得 Md=!14 4 故 /a X≥a 那么归一化波函数为v(x,)= 0≤X≤a
6 证明： 2 3 2 2 0 4 2 2 2 0 2 4 1 ( 1) 1/ 2 4 )/ 1 ( 1) 1 ( 8 + + − = + = − − = + n n n h me h h n n me h En En 电子在 n 轨道绕核转动的频率为 n n n r 2 = 而 n 满足 2 0 2 2 4 r e r m = ， 由此得 n n m r e 1 4 0 = 则得 2 3 3 0 4 3/ 2 2 2 3 0 0 3/ 2 0 1 4 ( ) 4 1 4 h n me me h n m e m r e n n = = = − − 同理得电子在 n+1 轨道上绕核转动的频率 2 3 3 0 4 1 ( 1) 1 4 + + = h n me n 显然 3 2 2 3 ( 1) 1 ( 1) 1 1/ 2 + + + n n n n n ， n n+1 显然，当 n → n+1 = n 时, ， 则 → n 13.30 在电子束中,电子的动能为 200eV,则电子的德布罗意波长为多少？当该电子遇到直 径为 1mm 的孔或障碍物时,它表现出粒子性,还是波动性？ 解：电子的动量 k k mE m E p m m 2 2 = = = 由德布罗意公式得其波长为 8.683 10 m 2 9.11 10 200 1.6 10 6.63 10 2 11 31 19 34 − − − − = = = = mEk h p h 对于直径为 1mm 1 10 m −3 d = = 的孔或障碍物，由于 d ，所以电子表现出粒子性。 13.31 假设粒子只在一维空间运动,它的状态可用如下波函数来描写 = − x x a a Ae x x a x t iEt sin 0 0 0, ( , ) / 式中 E 和α分别为确定常数,A 为任意常数,计算归—化波函数和几率密度ρ. 解：由归一化条件可得 1 2 sin 2 2 2 0 2 = = = − A a xdx a dx A a 故 A = 2/ a 那么归一化波函数为 = − x x a a e a x x a x t Et i sin 0 2 0 0, ( , )
≤0 相应的几率密度为P=w(x=12m2x 13.32求一电子处在宽度为a=1A和a=lm的势阱中的能级值,把结果同室温(7=300K)下 电子的平均动能进行比较可得到什么结论? I-h 解:宽度为a的一维无限深势阱的能级为E、2m(n=12,3… 当a 1×100m时,E (1.055×10-3)2 当a=lm时,E.= (1055×10-3)2 n2=603×10-3n2J=377×10-9n2eV 2×9.11×10-31×1 在室温(T=300K)下电子的平均平动能为 E平=kT=×1.38×10×300=621×10J=388×10cV 相比之下可以看出,当a=1A时,各能级值及能级差比电子的平均平动能大好几个数量 级,但当a=lm时,各能级值及能级差都远小于电子的平均平动能(仅是平均动能的106分 之一)。由此可见,对宏观问题,量子效应可以忽略 13.33质量为m、电量为q的粒子在点电荷q2所产生的电场中运动求其薛定谔方程 解:q1在q2的库仑场中的势能为V=99 它不显含时间,属定态问题。则描述q运动的薛定谔方程(定态薛定谔方程)为 q v(r, n =Ey(r, n) 13.34一维无限深势阱中粒子的定态波函数为x)=√2/ a sin-x试求:粒子在x=0 到x=/3之间被找到的几率,当 (1)粒子处于基态时;(2)粒子处于n2的状态时 解(1)粒子处于基态(m=1),在x=0到x=a/3之间找到粒子的几率 =wb=m:三=2 ×,- cos -r)di1 =0.196 (2)粒子处于n=2的状态,在x=0到x=a/3之间找到粒子的几率 p2 d x 3sin 2 2r dx= 0.402 13.35求氢原子基态(r=1,=0的径向函数基态的波函数和电子的几率密度最大处的半径 等于多少? 7
7 相应的几率密度为 = = x x a a a x x a x t sin 0 2 0 0, ( , ) 2 2 13.32 求一电子处在宽度为 o a =1 A 和 a=1m 的势阱中的能级值,把结果同室温(T=300K)下 电子的平均动能进行比较,可得到什么结论？ 解：宽度为 a 的一维无限深势阱的能级为 ( 1,2,3, ) 2 2 2 2 2 = n n = ma En 当 a m 10 o 1A 1 10− = = 时， 6.03 10 J 37.7 eV 2 9.11 10 1 10 (1.055 10 ) 2 18 2 2 31 20 2 34 2 En n = n = n = − − − − 当 a =1m 时， 6.03 10 J 3.77 10 eV 2 9.11 10 1 (1.055 10 ) 2 38 2 19 2 31 2 34 2 En n n n − − − − = = = 在室温（ T = 300K ）下电子的平均平动能为 1.38 10 300 6.21 10 J 3.88 10 eV 2 3 2 3 −23 −21 −2 平 = k T = = = 相比之下可以看出，当 o a =1 A 时，各能级值及能级差比电子的平均平动能大好几个数量 级，但当 a = 1 m 时，各能级值及能级差都远小于电子的平均平动能（仅是平均动能的 16 10 分 之一）。由此可见，对宏观问题，量子效应可以忽略。 13.33 质量为 m、电量为 q1 的粒子,在点电荷 q2 所产生的电场中运动,求其薛定谔方程. 解： q1 在 q2 的库仑场中的势能为 r q q V 0 1 2 4 = 它不显含时间，属定态问题。则描述 q1 运动的薛定谔方程（定态薛定谔方程）为 ( , ) ( , ) 2 4 0 2 1 2 2 t E t r q q m r r = − + 13.34 一维无限深势阱中粒子的定态波函数为 x a n n x a Ψ ( ) = 2 / sin .试求：粒子在 x=0 到 x=a/3 之间被找到的几率,当 （1）粒子处于基态时；（2）粒子处于 n=2 的状态时. 解（1）粒子处于基态（n=1），在 x=0 到 x = a/3 之间找到粒子的几率 = = = − = − = 3 0 3 0 2 3 0 2 1 1 0.196 4 3 3 1 ) 2 (1 cos 2 2 1 sin 2 a a a x dx a a xdx a a p dx （2）粒子处于 n=2 的状态，在 x=0 到 x = a / 3 之间找到粒子的几率 = = = − = + = 3 0 3 0 2 3 0 2 2 2 0.402 8 3 3 1 ) 4 (1 cos 2 1 sin 2 a a a x dx a a xdx a a p dx 13.35 求氢原子基态(n=1,l=0)的径向函数,基态的波函数和电子的几率密度最大处的半径 等于多少？
解:氢原子径向波函数Rn(r)。对于基态,径向波函数R()=2(/ay2e° 基态波函数W0(r.)=R0()(2)=J4丌 R0(r)= 径向几率密度p()=rR0()2=4r2()e2 1re3r=0得几率密度最大处的半径为 r=a=4x52=4x8855102×0105×103)=053×101 911×10-31×(1.602×10-0)2 13.36求角量子数l=2的体系的L和L之值及L与Z轴方向的最小夹角 解:1=2体系,m=0,±1,±2 L=√+1)=√6h,L2=m可取,0.,±h,±2h L与z方向的夹角=5= mh arccos 则最小夹角B= arccos2=3626 13.37计算氢原子中l=4的电子的角动量及其在外磁场方向上的投影值 解:=4时,m=0,±1,±2,±3,±4。 则角动量L=√(+1)h=2√5h 角动量在外磁场方向的投影值L.=mh可取0,±h,±2h,±3,±4h 13.38求出能够占据一个d支壳层的最多电子数并写出这些电子的m,和m,值 解:对于d支壳层,l=2,m可取0,±1,±2共Q1+1=5个值,m2=±1/2 所以d支壳层相应的量子态数为10个,故最多可有10个电子占据该支壳层 13.39某原子处在基态时其K、L、M壳层和4s、4p、4d支壳层都填满电子试问这是哪 种原子? 解:K壳层(n=1)可容纳电子数为2×12=2 L壳层(n=2)可容纳电子数为2×22=8 M壳层(m=3)可容纳电子数为2×32=1 4s支壳层(m=4,}0)可容纳电子数为2(21+1)=2 4p支壳层(m=4,1)可容纳电子数为2(2+1)=6 4d支壳层(n=4,=2)可容纳电子数为2(3+1)=10 则该原子的核外电子数为N=2+8+18+2+6+10=46 8
8 解：氢原子径向波函数 R (r) nl 。对于基态，径向波函数 r a R r a e 3/ 2 / 10 ( ) 2(1/ ) − = 基态波函数 r a e a r R r Y R r 3/ 2 / 100 10 00 10 ) 1 ( 1 ( ) 4 1 ( , , ) ( ) ( , ) − = = = 径向几率密度 r a e a r r R r r 2 3 2 / 2 10 2 ) 1 ( ) ( ) 4 ( − = = 由 ) 0 2 (2 4 2 2 / 3 = − = − r a r e a r dr a d 得几率密度最大处的半径为 0.53 10 m 9.11 10 (1.602 10 ) 4 4 8.855 10 (1.055 10 ) 10 31 19 2 12 34 2 2 2 0 − − − − − = = = = m e r a e 13.36 求角量子数 l = 2 的体系的 L 和 Lz 之值及 L 与 Z 轴方向的最小夹角. 解：l = 2 体系， m = 0, 1, 2 L = l(l +1) = 6 ， L z = m 可取， 0, , 2 L 与 Z 方向的夹角 6 arccos 6 arccos arccos m m L Lz = = = 则最小夹角 0 0 36.26 6 2 = arccos = 13.37 计算氢原子中 l = 4 的电子的角动量及其在外磁场方向上的投影值. 解：l = 4 时， m = 0, 1, 2， 3， 4。 则角动量 L = l(l +1) = 2 5 角动量在外磁场方向的投影值 L z = m 可取 0, , 2, 3, 4 13.38 求出能够占据一个 d 支壳层的最多电子数,并写出这些电子的 ml 和 ms 值. 解：对于 d 支壳层， l = 2，ml 可取 0, 1, 2 共 （2l +1）= 5 个值，ms = 1/ 2 所以 d 支壳层相应的量子态数为 10 个，故最多可有 10 个电子占据该支壳层。 13.39 某原子处在基态时,其 K、L、M 壳层和 4s、4p、4d 支壳层都填满电子.试问这是哪 种原子？ 解：K 壳层（n=1）可容纳电子数为 2 1 2 2 = L 壳层（n=2）可容纳电子数为 2 2 8 2 = M 壳层（n=3）可容纳电子数为 2 3 18 2 = 4s 支壳层（n=4，l=0）可容纳电子数为 2(2l +1) = 2 4p 支壳层（n=4，l=1）可容纳电子数为 2(2l +1) = 6 4d 支壳层（n=4，l=2）可容纳电子数为 2(3l +1) = 10 则该原子的核外电子数为 N=2+8+18+2+6+10=46
由此推知该原子是钯(P,Z=46) *1340已知N原子的某一激发态和基态的能量差E2-E1=167cV,试计算在T=300K 时,热平衡条件下处于两能级上的原子数之比 解:由玻尔兹曼分布律得 E2-E1川-。-167××10713840×3 =e-43→0 按照玻尔兹曼分布律,粒子的分布随能量按指数规律衰减。由上述计算结果可以看出, 当两能级差较大时,高能态与低能态的粒子数之比趋于0,粒子几乎全部处在低能态 *13.41硅与金刚石的能带结构相似只是禁带宽度不同,已知硅的禁带宽度为1.14eV,金 刚石的禁带宽度为533eV试根据它们的禁带宽度求它们能吸收的辐射的最大波长各是 少? 解:由hv=AE得v= △E v△E 对于AE=1.14eV=1.824×10-J的禁带宽度,由上式计算可得对应辐射的最大波长 3×103×663×10 1.824×10-19 1.090×10-m=1.090m 对于△E=533eV=8.528×10-19J 2=3×10×66×10 8528×10-9 =2.33×10-m=0233m 即硅和金刚石能吸收辐射的最大波长分别为1090m和0233mn 9
9 由此推知该原子是钯 (P ,Z = 46) d *13.40 已知 Ne 原子的某一激发态和基态的能量差 E2 − E1 =16.7 eV ,试计算在 T = 300K 时,热平衡条件下处于两能级上的原子数之比. 解：由玻尔兹曼分布律得 0 ( )/ 16.7 1.6 10 / (1.38 10 300) 645 1 2 1 9 2 3 = − 2− 1 = − = − → − − e e e N N E E kT 按照玻尔兹曼分布律，粒子的分布随能量按指数规律衰减。由上述计算结果可以看出， 当两能级差较大时，高能态与低能态的粒子数之比趋于 0，粒子几乎全部处在低能态。 *13.41 硅与金刚石的能带结构相似,只是禁带宽度不同,已知硅的禁带宽度为 1.14eV,金 刚石的禁带宽度为 5.33eV,试根据它们的禁带宽度求它们能吸收的辐射的最大波长各是多 少？ 解：由 h = E 得 h E = E c ch = = 对于 1.14 eV 1.824 10 J −19 E = = 的禁带宽度，由上式计算可得对应辐射的最大波长 1.090 10 m 1.090m 1.824 10 3 10 6.63 10 6 19 8 34 1 = = = − − − 对于 5.33 eV 8.528 10 J −19 E = = 2.33 10 m 0.233m 8.528 10 3 10 6.63 10 7 19 8 34 2 = = = − − − 即硅和金刚石能吸收辐射的最大波长分别为 1.090m 和 0.233m