第九章振动学基础 94一个运动质点的位置与时间的关系为x=010(5x1+}m,其中x的单位是 m,t的单位是s试求: (1)周期、角频率、频率、振幅和初相位 (2)【=2s时质点的位移、速度和加速度 解:(1)由题中质点位置与时间的关系便知,振幅A=01m,初相位q3’角频率 5xmad/s,频率v=5,周期T=1=4=0 (2) d x d2x 5 =--rsn-丌t+ =- cos=zt,I dt 4 3 则当t2s时,质点的位移,速度和加速度分别为 x=01ce(2x2+3=-0103=-00m D=-nsnx×2+ 3)4sm=x=068m/s a(3x2+3)3m323lm 95一个质量为25kg的物体,系于水平放置的轻弹簧的一端,弹簧的另一端被固定若 弹簧受10N的拉力,其伸长量为50cm,求物体的振动周期 解:由∫=kx可得弹簧的经度系数为k==10=2x102M/ 弹簧振子的周期T=2丌 V2;/25 2×102=0.70 96如图927图所示,求振动装置的振动频率已知物体的质量为m两个轻弹簧的劲度系 数为k1和k2 解:设物体离开平衡位置的位移是x,此时物体所受合力∫=-(k1+k2)x作为线性回复力 则有x++kx=0故=/+k 97如图928所示,求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m两个轻弹簧的径度系
1 第九章 振动学基础 9.4 一个运动质点的位置与时间的关系为 x t m = + 2 3 5 0.1cos , 其中 x 的单位是 m , t 的单位是 s.试求： （1）周期、角频率、频率、振幅和初相位； （2）t =2s 时质点的位移、速度和加速度. 解：（1）由题中质点位置与时间的关系便知，振幅 A=0.1m，初相位 3 = ，角频率 rad /s 2 5 = ，频率 Hz 4 5 = ，周期 s f T 0.8 5 1 4 = = = （2） = = − + 2 3 5 sin 4 1 t dt dx ； = = − + 2 3 5 cos 8 5 2 2 2 t dt d x a 则当 t=2s 时，质点的位移，速度和加速度分别为 x 0.05m 3 0.1cos 3 2 2 5 0.1cos = − = − = + ； 0.68m/s 8 3 3 sin 4 1 3 2 2 5 sin 4 1 = = = = − + 2 2 2 3.1 / 3 cos 8 5 3 2 2 5 cos 8 5 a = = m s = − + 9.5 一个质量为 2.5kg 的物体，系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定.若 弹簧受 10N 的拉力,其伸长量为 5.0cm,求物体的振动周期. 解：由 f = kx 可得弹簧的经度系数为 N m x f k 2 10 / 5 10 10 2 2 = = = − 弹簧振子的周期 s k m T 0.70 2 10 2.5 2 2 2 = = = 9.6 如图 9.27 图所示 ,求振动装置的振动频率,已知物体的质量为 m,两个轻弹簧的劲度系 数为 1 k 和 2 k 。 解：设物体离开平衡位置的位移是 x，此时物体所受合力 f (k k )x = − 1 + 2 作为线性回复力， 则有 0 1 2 = + + x m k k x 故 m k k 1 + 2 = m k k 1 2 2 1 + = 9.7 如图 9.28 所示 , 求振动装置的振动频率,已知物体的质量为 m,两个轻弹簧的径度系
数为k和k2 ∧ 图9.27题9.6示图 图928题97示图 解:设物体m离开平衡位置的位移为x,所受线性回复力为∫ 则有f=一kx1=-k2x2 (1)、(2)联立解之得f= 1/k1+1/k2 所以有振动方程+1(k)x=0,则0=k,y=1「 9.8仿照式(9.15)的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式 解:对于单摆系统中的物体m,其振动动能E,=2m2=2mb2 系统的势能(重力势能)E=mgh=mg(1-cosO)≈lmgl2 而系统的总能量E=E4+En=mgl2 所以m102+号mglO2=mgle 由此得:2=8(02-02)=02(02-02)6=±0O2-02) 99与轻弹簧的一端相接的小球沿x轴作简谐振动振幅为A,位移与时间的关系可以用余 弦函数表示若在P=0时小球的运动状态分别为 (1)x=-A:(2)过平衡位置向x轴正向运动:(3)过x=A2处向x轴负向运动:(4) 过x=A/处向x轴正向运动试确定上述状态的初相位 解:位移x与时间t的一般关系可表为x=Acos(ot+g) (1)=0时,x=-A,则有-A= Acos,即cosq=-1。则初相=丌 (2)=0时,过平衡位置,向x轴正向运动,即x=A=0,a=-A05m>0 由此可知初相φ=-/2 (3)过x=A/2处,向x轴负向运动,即0时x a dx 0 2
2 数为 1 k 和 2 k 。 解：设物体 m 离开平衡位置的位移为 x，所受线性回复力为 f 则有 f = −k1x1 = −k2 x2 （1） (2) 1 2 x + x = x （1）、（2）联立解之得 1 2 1 2 1 2 1/ 1/ 1 k k k k x k k f + = − + = − 所以有振动方程 ( ) 0 1 1 2 1 2 = + + x k k k k m x ，则 2 ( ) 1 , ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 m k k k k m k k k k + = + = 9.8 仿照式（9.15）的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式. 解：对于单摆系统中的物体 m，其振动动能 2 2 2 2 1 2 1 E m ml k = = 系统的势能（重力势能） 2 2 1 Ep = mgh = mgl(1− cos) mgl 而系统的总能量 2 2 0 1 E = Ek + Ep = mgl 所以 2 2 0 2 1 2 2 2 1 2 1 ml + mgl = mgl 由此得： ( ) ( ) 2 2 0 2 2 2 0 2 = − = − l g ) 2 2 = 0 − 9.9 与轻弹簧的一端相接的小球沿 x 轴作简谐振动,振幅为 A,位移与时间的关系可以用余 弦函数表示.若在 t=0 时,小球的运动状态分别为 （1）x = - A ；（2）过平衡位置,向 x 轴正向运动；（3）过 x=A/2 处,向 x 轴负向运动；（4） 过 x = A/ 2 处,向 x 轴正向运动.试确定上述状态的初相位. 解：位移 x 与时间 t 的一般关系可表为 x = Acos( t +) （1）t=0 时， x = −A， 则有− A = Acos ， 即 cos = −1 。则初相 = （2）t=0 时，过平衡位置，向 x 轴正向运动，即 x = Acos = 0 ， = −A sin 0 dt dx 由此可知初相 = − / 2 . （3）过 x = A/ 2 处，向 x 轴负向运动，即 t=0 时 2 A x = ， 0 dt dx 图 9.27 题 9.6 示图 图 9.28 题 9.7 示图
有Acoo=?→coso=1及-A0Sm90.由此得初相q=- 9.10长度为l的弹簧,上端被固定,下端挂一重物后长度变为Hs,并仍在弹簧限度之内若 将重物向上托起,使弹簧缩回到原来的长度,然后放手,重物将做上下运动 (1)证明重物的运动是简谐振动:(2)求简谐振动的振幅、角频率和频率 (3)若从放手时开始计时,求此振动的位移与时间的关系(向下为正) 解:(1)以平衡位置为坐标原点,向下为x轴正向,则在位移为x处,重物所受之力为 F=mg-k(x +s) 在平衡位置x=0,F=0。则mg=k。所以F=-kx,即合力为线性回复力,则重物的运 动是简谐振动。 (2)简谐振动的振幅A=s角频率 k频率=o/2n= (3)设x=Acos(t+)0时,x=-s则得q=r 振动的位移与时间的关系为x=o1+z) 9.11一个物体放在一块水平木板上,此板在水平方向上以频率ν作简谐振动若物体与木 板之间的静摩擦系数为μ,试求使物体随木板一起振动的最大振幅. 解:设简谐运动的位移与时间的关系为x=Acos(at+) 则加速度a=￥=-Ao2 cos(o t+g),那么物体所受的最大力为Fn=mo2=4x2Av2m 而这力要靠静摩擦力来充当。故有m4z2Av2≤mg 由此得物体随木版一起振动的最大振幅为A=8 912一个物体放在一块水平木板上此板在竖直方向上以频率ν作简谐振动试求使物体 随木板一起振动的最大振幅 解:同题9.11,这里物体要做简谐振动,重力和支持力之和充当回复力,所以有: m4T"Av-<mg+M 当N刚要为0时,振幅达到最大。由此得A= 3
3 有 2 1 cos 2 cos = → = A A 及 − A sin 0 由此得初相 3 = （4）过 x = A/ 2 处，向 x 轴正向运动，即 t=0， 2 A x = ， 0 dt dx 有 2 2 cos 2 cos = → = A A 及− A sin 0.由此得初相 4 = − . 9.10 长度为 l 的弹簧,上端被固定,下端挂一重物后长度变为 l+s,并仍在弹簧限度之内.若 将重物向上托起,使弹簧缩回到原来的长度,然后放手,重物将做上下运动. （1）证明重物的运动是简谐振动；（2）求简谐振动的振幅、角频率和频率； （3）若从放手时开始计时,求此振动的位移与时间的关系（向下为正）. 解：（1）以平衡位置为坐标原点，向下为 x 轴正向，则在位移为 x 处，重物所受之力为 F = mg − k(x + s) 在平衡位置 x=0，F=0。则 mg=ks。 所以 F = −kx ，即合力为线性回复力，则重物的运 动是简谐振动。 （2）简谐振动的振幅 A=s.角频率 m k = 频率 m k 2 1 = / 2 = （3）设 x = Acos( t +) t=0 时， x = −s 则得 = 振动的位移与时间的关系为 = cos( t + ) m k x s 9.11 一个物体放在一块水平木板上,此板在水平方向上以频率 v 作简谐振动.若物体与木 板之间的静摩擦系数为 0 ,试求使物体随木板一起振动的最大振幅. 解：设简谐运动的位移与时间的关系为 x = Acos( t +) 则加速度 cos( ) 2 a = x = −A t + ，那么物体所受的最大力为 Fm mA A m 2 2 2 = = 4 而这力要靠静摩擦力来充当。故有 m A 0mg 2 2 4 由此得物体随木版一起振动的最大振幅为 2 2 0 max 4 g A = 9.12 一个物体放在一块水平木板上,此板在竖直方向上以频率 v 作简谐振动.试求使物体 随木板一起振动的最大振幅. 解：同题 9.11，这里物体要做简谐振动，重力和支持力之和充当回复力，所以有： m A mg + N 2 2 4 . 当 N 刚要为 0 时，振幅达到最大。由此得 max 2 2 4 g A =
9.13一个系统作简谐振动周期为T,初相位为零问在哪些时刻物体的动能与势能相等? 解:由初相为零则简谐振动可表为x=Acos(at) 简谐振动的动能E,=2m2=2m0fsmo,势能E,=262=2 mo- cOS-0I 动能与势能相等,即E=Ep 有sin2ot=cos2ot,那么ot=±z+nz(n=0.,2,…),由此得在下式表示的时刻 动能和势能相等: 、n7/2±x/4 (2n+1)T/8 9.14质量为10g的物体作简谐振动,其振幅为24cm周期为10s,当=0时,位移为+24cm, 求:(1)t=1/8s时物体的位置以及所受力的大小和方向:(2)由起始位置运动到x=12cm 处所需要的最少时间:(3)在x=12cm处物体的速度、动能、势能和总能量。 AR: A=24cm=0. 24m, @=2TV= 2z/T= 2r rad/s =0时x=0.24m得初相φ=0.所以简谐振动为x=0.24c0s2t (1)t=1/8s时,位移为x=024c0s2x×1/8=0.24×√2/2=0.17m 所受力f=m=-0.01×(2x)2×0.24c0s2r/8=-67×10-2N.负号代表方向与位移的方 向相反。 (2)由0.12=024cos2xt得最少时间t=-s (3)在x=12cm处(即r=1/6s) 物体的速度U=x=-2r×0.24sn2m=-2r×0.24snr/3=-1.3lms 动能E4=mU2=×001×(-1.31)2=8.6×10-3J 势能E。 1212 m0242cos2z=1×001×(2m32×(0.24)2×2=2.8×10-3J 则总能量E=E+Ep=(86+28)×10°=114×102J 9.15质量为010kg的物体以2.0×10-2m的振幅作简谐振动,其最大加速度为40ms2, 求:(1)振动周期:(2)通过平衡位置的动能;(3)总能量 解:由题知,最大的加速度a=O2A=40ms2 由此得角频率为O=cm 4.0 AV2.0×103≈14.14rads (1)振动周期T=-= a-141=045s
4 9.13 一个系统作简谐振动,周期为 T,初相位为零.问在哪些时刻物体的动能与势能相等？ 解：由初相为零则简谐振动可表为 x = Acos( t) 简谐振动的动能 E m m A t k 2 2 2 2 sin 2 1 2 1 = = ，势能 E kx m A t p 2 2 2 2 cos 2 1 2 1 = = 动能与势能相等，即 Ek = Ep t t 2 2 有 sin = cos ，那么 4 2 t = + n (n = 0, 1, 2, ) ，由此得在下式表示的时刻 动能和势能相等： (2 1) /8 / 2 / 4 n T n t = + = 9.14 质量为 10g 的物体作简谐振动,其振幅为 24cm,周期为 1.0s,当 t=0 时,位移为+24cm, 求：（1） t =1/ 8 s 时物体的位置以及所受力的大小和方向；（2）由起始位置运动到 x=12cm 处所需要的最少时间；（3）在 x=12cm 处物体的速度、动能、势能和总能量。 解：A=24cm=0.24m， = 2 = 2 /T = 2 rad /s 由 t=0 时 x=0.24m 得初相 = 0 . 所以简谐振动为 x = 0.24cos 2 t （1） t = 1/ 8 s 时，位移为 x = 0.24cos2 1/8 = 0.24 2 / 2 = 0.17m 所受力 f mx N 2 2 0.01 (2 ) 0.24cos2 /8 6.7 10− = = − = − . 负号代表方向与位移的方 向相反。 （2）由 0.12 = 0.24cos2 t 得最少时间 s 6 1 t = （3）在 x =12cm处（即t =1/6 s) 物体的速度 = x = −2 0.24sin 2t = −2 0.24sin /3 = −1.31m/s 动能 E m J k 2 2 3 0.01 ( 1.31) 8.6 10 2 1 2 1 − = = − = 势能 E k x m A J p 2 2 2 2 2 2 3 2.8 10 4 1 0.01 (2 ) (0.24) 2 1 3 cos 2 1 2 1 − = = = = 则总能量 E E E J k p 3 2 (8.6 2.8) 10 1.14 10 − − = + = + = 9.15 质量为 0.10kg 的物体以 m 2 2.0 10− 的振幅作简谐振动，其最大加速度为 2 4.0 − ms , 求：(1) 振动周期；(2) 通过平衡位置的动能；(3) 总能量. 解：由题知，最大的加速度 2 2 max 4.0 − a = A = ms 由此得角频率为 14.14rad/s 2.0 10 4.0 2 max = = = − A a （1）振动周期 0.45 s 14.14 1 2 2 = = = = T
(2)通过平衡位置的动能 =-mD 0.1×200×(2.0×10-2)2=40×10-3J (3)总能量E=1ma2A2=40×10 9.16一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动:x1=0.05c05(2+/3)和 x2=06c0521-2/3)(式中x的单位是m,t的单位是s),求合振动的振幅和初相位 解:△p=的2-叭=-2/3-x/3=-xcos△p=-1 则由合振动的振幅和初相公式得 A=√4+2+2A1A2cos△9=|4-41=105-06-=00lm o= arctan A sin A, sin B, 0.05snn/3+0.06sn(-2n/3) arctan arctan cos中1+A2cosp 005c0s丌/3+0.06c0s(-2/3) 9.17有两个在同一直线上的简谐振动:x1=005c0s(10+3/4m和 x2=0.06cos(10-m/4m试问:(1)它们合振动的振幅和初相位各为多大?(2)若另有一简 谐振动x3=07c05(0+pm,分别与上两个振动叠加,中为何值时,x1+x3的振幅最大? φ为何值时,x2+x3的振幅最小? 解(1)A=√42+42+24142os92-q)=√42+42-2412=|A1-41|=00m q=2=-x/4 (2)若x1+x3振幅最大,则 p-q1=p-3/4=±2kz(k=o,1,2,…),φ=3x/4±2kx(k=0,1,2,…) 若x2+x3振幅最小,则 中-q2=p+x/4=±(2k+1)丌,p=±(2k+1)x-x/4=±2k+3n/4(k=0,1,2,…) 918在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为004m和0.03m,当它们的合 振动振幅为0.06m时,两个分振动的相位差为多大? 解:A2=A2+A2+2A142cos△φ A2-42-A20.062-0042-0.03 cos△p= 1124,相位差△小=627°=62042 2A1A2 2×0.04×0.03 99一个质量为500kg的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上自由振动在无阻尼的 情况下其振动周期为T=z/3s:在阻尼振动的情况下,其振动周期为T2=/2s求阻力系数 解:当无阻尼时T 丌丌 由此得O0=6rads 5
5 （2）通过平衡位置的动能 E m m A J k 2 2 2 2 2 3 max 0.1 200 (2.0 10 ) 4.0 10 2 1 2 1 2 1 − − = = = = （3）总能量 E m A J 2 2 3 4.0 10 2 1 − = = 9.16 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动： 0.05cos(2 /3) x1 = t + 和 0.06cos(2 2 /3) x2 = t − （式中 x 的单位是 m，t 的单位是 s）,求合振动的振幅和初相位. 解： =2 −1 = −2 /3− /3 = − cos = −1 则由合振动的振幅和初相公式得： A A A 2A1A2 cos A1 A2 0.05 0.06 0.01m 2 2 2 = 1 + + = − = − = 3 2 arctan 3 0.05cos / 3 0.06cos( 2 / 3) 0.05sin / 3 0.06sin( 2 / 3) arctan cos cos sin sin arctan 1 1 2 2 1 1 2 2 = = − + − + − = + + = A A A A 9.17 有两个在同一直线上的简谐振动： x1 = 0.05cos(10t +3 /4)m 和 x2 = 0.06cos(10t − /4)m,试问：（1）它们合振动的振幅和初相位各为多大？（2）若另有一简 谐振动 x3 = 0.07cos(10t +)m ,分别与上两个振动叠加,φ为何值时, 1 3 x + x 的振幅最大？ φ为何值时, 2 3 x + x 的振幅最小？ 解（1） A A A 2A A cos( ) A A 2A1A2 A1 A2 0.01m 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 = 1 + + − = + − = − = =2 = − / 4 （2）若 1 3 x + x 振幅最大，则 3 / 4 2 ( ,1,2, ) −1 = − = k k = o ， = 3 / 4 2k (k = 0,1, 2, ) 若 2 3 x + x 振幅最小，则 −2 = + /4 = (2k +1) ， = (2k +1) − / 4 = 2k + 3 / 4 (k = 0,1, 2, ) 9.18 在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为 0.04m 和 0.03m,当它们的合 振动振幅为 0.06m 时,两个分振动的相位差为多大？ 解： = + + 2 1 2 cos 2 2 2 1 2 A A A A A 11/ 24 2 0.04 0.03 0.06 0.04 0.03 2 cos 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 = − − = − − = A A A A A ，相位差 62.7 62 42' 0 0 = = . 9.19 一个质量为 5.00kg 的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上自由振动.在无阻尼的 情况下,其振动周期为 / 3 s T1 = ；在阻尼振动的情况下,其振动周期为 / 2 s T2 = .求阻力系数. 解：当无阻尼时 3 2 0 1 T = = 由此得 6 rad/s 0 =
阻尼振动的周期为 =z,由此可求得阻尼常量B=√20=447rads 阻力系数y=2mB=2×500×447=447kgs 920试证明受迫振动的共振频率和共振时振幅的峰值分别为.= 2B2和 h(2√G-B2),式中a0是振动系统的固有角频率B是阻尼常量 证明:受迫振动的振幅 -o2)2+4B2o 其中h=F/m,回是策动力的角频率,o是固有频率,共振频率就是使振幅A取极大 值的策动力频率,由山4=0得 2(2-o2)2o'+8B2o do (ob-o2)2+4B 由此可求得0=、o-2B2,即共振角频率o,=√G2-22(2) 共振时对应的振幅值为 4=07-)+4D=07-0+2)+4(0-2)=21(-F 921容量为10微法的电容器充电至100伏,再通过100欧的电阻和04亨的电感串联放 电。这时处于什么状态?若要使其处于临界状态,试求 (1)再应串或并一个多大的电阻:(2)再应串或并一个多大的电容 B =125 rad 500 rad. 04×10×10 B2-o2<0,故为阻尼振荡状态若要使其处于临界状态,则2-∞2=0 (1)设串联电阻R,由B2=03得B R+R 由此得R=2L×500-R=2×04×500-100=300 (2)设并联电容C,由2=a03即a=D(c+)=125 由此得C 1252L -10×106=1.5×10F=150F 1252×0.4 922在LC串联振荡电路中,设开始时C上的电荷为Q,L中的电流为零,试求:
6 阻尼振动的周期为 2 2 2 2 0 2 = − T = ，由此可求得阻尼常量 1 20 4.47 rad s − = = 阻力系数 = 2m = 25.00 4.47 = 44.7 kg/s 9.20 试证明受迫振动的共振频率和共振时振幅的峰值分别为 2 2 r = 0 − 2 和 /(2 ) 2 2 Ar = h 0 − ,式中ω0 是振动系统的固有角频率,β是阻尼常量. 证明：受迫振动的振幅 (1) ( ' ) 4 ' 2 2 2 2 2 0 − + = h A 其中 h = F /m，' 是策动力的角频率， 0 是固有频率，共振频率就是使振幅 A 取极大 值的策动力频率，由 0 ' = d dA 得 0 ( ' ) 4 ' 2( ' )2 ' 8 ' 2 1 3/ 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 = − + − − − + h 由此可求得 2 2 ' = 0 − 2 ，即共振角频率 2 2 r = 0 − 2 （2） 共振时对应的振幅值为 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 (0 ) 4 ( 2 ) 4 ( 2 ) 2 − = − + + − = − + = h h h A r r 9.21 容量为 10 微法的电容器充电至 100 伏，再通过 100 欧的电阻和 0.4 亨的电感串联放 电。这时处于什么状态？若要使其处于临界状态，试求 （1）再应串或并一个多大的电阻；（2）再应串或并一个多大的电容； 解： 125 rad/s 2 0.4 100 2 = = = L R ， 500 rad/s 0.4 10 10 1 1 6 0 = = = − LC . 则 0 2 0 2 − ，故为阻尼振荡状态.若要使其处于临界状态,则 0 2 0 2 − = (1) 设串联电阻 R' ，由 2 0 2 = 得 500 2 ' = 0 = + = L R R 由此得 R' = 2L500− R = 20.4500−100 = 300 (2) 设并联电容 C'，由 2 0 2 = 即 125 ( ') 1 0 = = + = L c c 由此得 10 10 1.5 10 F 150 F 125 0.4 1 125 1 ' 6 4 2 2 − = = = − = − − C L C 9.22 在 LC 串联振荡电路中，设开始时 C 上的电荷为 Q，L 中的电流为零，试求：
(1)L中的磁场能量第一次等于C中的电场所需要的时间t (2)当L=20毫亨,C=20微法时,t的值。 解:(1)RLC电路中R=0的电路就是C串联振荡电路此时B=00=C u (()=cos oof ==cos@ot i(0=C Oo, sin o,t 电场能等于磁场能,即C2()=L2() 由此得gcos32ont=lQa2sin2aon=gsin2al,即tn2o1=1 则磁场能第一次等于电场能的时间t满足o1=x/4,即t=x=zC (2)当L=20mH=2.0×102H,C=20F=20×10°F时 20×10-2×20×10 923已知串联共振电路的电容是240皮法,共振频率是460千赫芝,求该共振电路的电 感 解:由串联共振频率 得 oC4x2lC42×(460×103)2×240×10-2 4.99×10-H 9.24串联共振电路的电容是C=320皮法,在共振频率∫=640千赫芝时电路的有功电阻为 =200欧姆,问电路的品质因数Q为多大? 解:品质因数Q=aCr27f6C727x×640×10×320×10×20°389 925串联共振电路中L=120毫亨,C=30.3皮法,R=10.0欧姆,求 (1)共振频率f0:(2)电路的Q值。 解:(1)f=2xC=2x10×03×303×10 =8.35×104Hz (2)Q= 2GCR2x×835×104×303×1012×10=629x10 7
7 （1）L 中的磁场能量第一次等于 C 中的电场所需要的时间 t； （2）当 L=20 毫亨，C=2.0 微法时，t 的值。 解：(1) RLC 电路中 R=0 的电路就是 LC 串联振荡电路.此时 = 0 LC 1 0 = t C Q u t U t c 0 0 ( ) = cos = cos ， Q t dt du i t C c 0 0 ( ) = = − sin 电场能等于磁场能，即 ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 2 Cu t Li t c = 由此得 t C Q t LQ t C Q 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 2 cos = sin = sin ，即 tan 0 1 2 t = 则磁场能第一次等于电场能的时间 t 满足 / 4 0 t = ，即 t LC 4 0 4 = = （2）当 L mH H 2 20 2.0 10− = = ， C F F 6 2.0 2.0 10− = = 时 t s 2 6 4 4 10 1.57 10 2 2.0 10 2.0 10 4 − − − − = = = 9.23 已知串联共振电路的电容是 240 皮法，共振频率是 460 千赫芝，求该共振电路的电 感。 解：由串联共振频率 LC 1 0 = 得 H C C L 4 2 2 3 2 1 2 0 2 2 0 4.99 10 4 (460 10 ) 240 10 1 4 1 1 − − = = = = 9.24 串联共振电路的电容是 C =320 皮法，在共振频率 f=640 千赫芝时电路的有功电阻为 r=20.0 欧姆，问电路的品质因数 Q 为多大？ 解：品质因数 38.9 2 640 10 320 10 20.0 1 2 1 1 3 1 2 0 0 = = = = − Cr f Cr Q 9.25 串联共振电路中 L=120 毫亨，C=30.3 皮法，R=10.0 欧姆，求 （1）共振频率 0 f ；（2）电路的 Q 值。 解：（1） 8.35 10 Hz 120 10 30.3 10 1 2 1 1 2 1 4 3 12 0 = = = − − LC f （2） 3 4 1 2 0 6.29 10 2 8.35 10 30.3 10 10 1 2 1 = = = − f CR Q