第十章波动学基础 10.1波动与振动有何区别和联系? 答:振动的传播就是波。振动是一质点(或某一物量)在平衡位置附近的机械运动,而 波是多个质点在平衡位置附近的振动,它是通过媒质的弹性(或场量的相互激发)把波源的 振动状态传递给其他质点。振动中,质点的动能和势能互相交换,其总能量保持不变。而在 波动中动能和势能大小相等,相位相同,都是时间的周期函数。它不断地接受来自波源的能 量,同时也不断地把能量释放出去。 102机械波形成的条件是什么? 答:机械波形式的条件有:1)存在波源(即物体的振动);2)存在传播机械波的弹性媒质。 10.3在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波,它们的波长是否可能相等?为什 么?如果这两列波分别在两种介质中传播它们的波长是否可能相等?为什么? 答:它们的波长不可能相等。因为根据波的叠加原理(独立性原理)可知,一列波的状 态不因其它波的存在与否,故两列不同频率的简谐波在同一种介质中频率仍然不同,但在同 一种介质中,波速是相同的,所以它们的波长也不可能相等 若这两列波分别在两种介质中传播,它们的波长则可能相等。这是因为,它们的频率和 波速都不相同,据M=Av知,它们的波长可能相等 104当波从一种介质进入另一种介质中时波长、频率、波速、振幅各量中哪些量会改变? 哪些量不会改变? 答:当波从一种介质进入另一种介质时,波的频率不变(等于波源的频率);波速(由介 质决定)、波长(=2)、振幅都会发生改变 10.5根据波长、频率、波速的关系式,有人认为频率高的波传播的速度大你认为对否? 答:由u=λν认为频率高的波传播速度大是错误的。波的传播速度是由介质的性质决定 的,与波的频率无关 10.6波传播时,介质质点是否“随波逐流”?“长江后浪推前浪”这句话从物理上说是否 有根据? 波传播时,介质质点并不“随波逐流”。“长江后浪推前浪”这句话从物理上说是无 根据的,前浪并不因后浪(波)的存在而改变其传播。 10.7(1)为什么有人认为驻波不是波?(2)驻波中,两波节间各个质点均作同相位的简 谐振动,那么每个振动质点的能量是否保持不变? 答:(1)有人认为驻波不是波,是因为在驻波中,波腹附近的动能与波节附近的势能之 间不断进行互相转换和转移,但没有能量的定向传播,同时也看不到波形的定向移动
1 第十章 波动学基础 10.1 波动与振动有何区别和联系？ 答：振动的传播就是波。振动是一质点（或某一物量）在平衡位置附近的机械运动，而 波是多个质点在平衡位置附近的振动，它是通过媒质的弹性（或场量的相互激发）把波源的 振动状态传递给其他质点。振动中，质点的动能和势能互相交换，其总能量保持不变。而在 波动中动能和势能大小相等，相位相同，都是时间的周期函数。它不断地接受来自波源的能 量，同时也不断地把能量释放出去。 10.2 机械波形成的条件是什么？ 答：机械波形式的条件有：1）存在波源(即物体的振动）；2) 存在传播机械波的弹性媒质。 10.3 在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波,它们的波长是否可能相等？为什 么？如果这两列波分别在两种介质中传播,它们的波长是否可能相等？为什么？ 答：它们的波长不可能相等。因为根据波的叠加原理（独立性原理）可知，一列波的状 态不因其它波的存在与否，故两列不同频率的简谐波在同一种介质中频率仍然不同，但在同 一种介质中，波速是相同的，所以它们的波长也不可能相等。 若这两列波分别在两种介质中传播，它们的波长则可能相等。这是因为，它们的频率和 波速都不相同，据 u = 知，它们的波长可能相等。 10.4 当波从一种介质进入另一种介质中时,波长、频率、波速、振幅各量中哪些量会改变？ 哪些量不会改变？ 答：当波从一种介质进入另一种介质时，波的频率不变（等于波源的频率）；波速（由介 质决定）、波长（ u = ）、振幅都会发生改变。 10.5 根据波长、频率、波速的关系式 ,有人认为频率高的波传播的速度大,你认为对否？ 答：由 u = 认为频率高的波传播速度大是错误的。波的传播速度是由介质的性质决定 的，与波的频率无关。 10.6 波传播时,介质质点是否“随波逐流”?“长江后浪推前浪”这句话从物理上说,是否 有根据？ 答：波传播时，介质质点并不“随波逐流”。“长江后浪推前浪”这句话从物理上说是无 根据的，前浪并不因后浪（波）的存在而改变其传播。 10.7（1）为什么有人认为驻波不是波？（2）驻波中,两波节间各个质点均作同相位的简 谐振动,那么,每个振动质点的能量是否保持不变？ 答：（1）有人认为驻波不是波，是因为在驻波中，波腹附近的动能与波节附近的势能之 间不断进行互相转换和转移，但没有能量的定向传播，同时也看不到波形的定向移动
(2)驻波中,两波节各质点虽作同相位简谐振动,但每个振动质点的能量并非保持不变 108为什么在振动过程中振动物体在平衡位置时动能最大而势能为零:在最大位移处动 能为零,而势能最大?为什么在波动过程中参与波动的质点在振动时却是在平衡位置动能和 势能同时达到最大值在最大位移处又同时为零? 答:在振动过程中振动物体在平衡位置时其速率最大,位移为零,故动能最大而势能为 零;在最大位移处,由于振动物体位移最大,速率为零,故其动能为零,而势能最大 在波动过程中参与波动的质点在振动时,在平衡位置,质点的速率最大,同时此处媒质 的弹性形变也最大,故平衡位置处动能和势能同时达到最大值:在最大位移处,质点的速率 为零,同时弹性形变也为零,故动能和势能同时为零。 10.9在某一参考系中,波源和观察者都是静止的,但传播的介质相对与参考系是运动的 假设发生了多普勒效应,问接收到的波长和频率如何变化? 答:接收到的波长和频率均不改变。 10.10某一声波在空气中的波长为0.30m,波速为340m/s。当它进入第二种介质后,波长 变为0.81m。求它在第二种介质中的波速 解:由u=Av可求得这波的频率v=a 03-1.13×103H 而波的频率不因所传播的介质而变,再由M=Av可求得该波在第二种介质中的波速 2=2V=0.81×340 =9.18×102m/s 10.1已知平面简谐波的角频率为o=15.2×102rad/s,振幅为A=1.25×10-2m。波长 为λ=1.10m,求波速u,并写出此波的波函数 解:u=v=A 1.1×132×10=266×102m/ 2×3.14 由波的一般形式便可写出此波的波函数为 y=4c80-2)=125×102cos152×x0(-x)+m 其中ρ是初相位。 10.12一平面简谐波沿x轴的负方向行进,其振幅为100cm,频率为550Hz,波速为330m/s 求波长,并写出此波的波函数 解:波长为:= 0.6 由于波是沿x轴负方向传播的,故在波的一般式中x前取正号,则由本题所给数据可写 出波函数为 y= A cos o(+-)=10×102co1.1×103m(+)+om 330 2
2 （2）驻波中，两波节各质点虽作同相位简谐振动，但每个振动质点的能量并非保持不变。 10.8 为什么在振动过程中振动物体在平衡位置时动能最大,而势能为零；在最大位移处动 能为零,而势能最大？为什么在波动过程中参与波动的质点在振动时,却是在平衡位置动能和 势能同时达到最大值,在最大位移处又同时为零？ 答：在振动过程中振动物体在平衡位置时其速率最大，位移为零，故动能最大而势能为 零；在最大位移处，由于振动物体位移最大，速率为零，故其动能为零，而势能最大。 在波动过程中参与波动的质点在振动时，在平衡位置，质点的速率最大，同时此处媒质 的弹性形变也最大，故平衡位置处动能和势能同时达到最大值；在最大位移处，质点的速率 为零，同时弹性形变也为零，故动能和势能同时为零。 10.９ 在某一参考系中,波源和观察者都是静止的,但传播的介质相对与参考系是运动的. 假设发生了多普勒效应,问接收到的波长和频率如何变化？ 答：接收到的波长和频率均不改变。 10.10 某一声波在空气中的波长为 0.30m，波速为 340m/s。当它进入第二种介质后，波长 变为 0.81m。求它在第二种介质中的波速。 解：由 u = 可求得这波的频率 Hz u 3 1.13 10 0.3 340 = = = 而波的频率不因所传播的介质而变，再由 u = 可求得该波在第二种介质中的波速 u 9.18 10 m/s 0.3 340 0.81 2 2 = λ 2 ν = = 10.11 已知平面简谐波的角频率为 15.2 10 rad /s 2 = ，振幅为 A m 2 1.25 10− = 。波长 为 =1.10m ，求波速 u，并写出此波的波函数。 解：u 2.66 10 m/s 2 3.14 1.1 15.2 10 2 2 2 = = = = 由波的一般形式便可写出此波的波函数为 ) m 266 cos ( ) 1.25 10 cos 1.52 10 ( 2 3 = − = − + − x t u x y A t 其中 是初相位。 10.12 一平面简谐波沿x轴的负方向行进，其振幅为1.00cm，频率为550Hz，波速为330m/s. 求波长，并写出此波的波函数。 解：波长为： 0.6 m 550 330 = = = u 由于波是沿 x 轴负方向传播的，故在波的一般式中 x 前取正号，则由本题所给数据可写 出波函数为 ) m 330 cos ( ) 1.0 10 cos 1.1 10 ( 2 3 = + = + + − x t u x y A t
10.13在平面简谐波传播的波射线上有相距3.5cm的A,B两点,B点的相位比A点落后 45°。已知波速为15cm/s,试求波的频率和波长 解:波长可看成是沿波射线相位差2m的两点间的距离,则由题知其波长为 3.5 =28cm,进而可求得波的频率为 15 0.54H 丌/4 10.14证明y=Acos(kx-ot)可写成下列形式:y= A cos k(x-ll) y=Acos 2T(-vt,y=Acos 2T( 2八),以及y= AcosO(-0) 证明:kx-t=k(x-2t)=k(x 27/元0)=k(x=t) 所以波函数可写为:y= A cos k(x-t) 又kx-01=2x-2H=2x(2-),则波函数还可写为y=Ac2xD 由 则还可得:y=Acos2z(x1 kx-ot=o(-x-)=o(--1),则波函数还可写为y= A cos o(--) 10.15波源做简谐振动,位移与时间的关系为y=(400×103)cos240nztm,它所激发的 波以300m/s的速率沿一直线传播。求波的周期和波长,并写出波函数 解:由波源的振动方程y=(400×103)cos240mm知振动角频率O=240丌 而波的频率就等于波源的振动频率,所以波的频率和周期分别为 =120H T= =8.33×10-s 进一步计算波长为x=2=30=025m 120 最后可写出波函数为y= A coso(-2)=(400×10-3)os240m(-x)m 10.16沿绳子行进的横波波函数为y=10cos(0.01xx-2r1),式中长度的单位是cm,时 间的单位是s。试求:(1)波的振幅、频率、传播速率和波长;(2)绳上某质点的最大横向振 动速率。 解:(1)由y=10cos(0.01zx-2rt)=10cos2m(t-50×103x)知: 振幅A=10m=0lm:频率=O_2兀=1H:波长150×10÷2.0×102m 波速u=Ay=20×102×1=2.0×102m/s 3
3 10.13 在平面简谐波传播的波射线上有相距 3.5cm 的 A，B 两点，B 点的相位比 A 点落后 450。已知波速为 15cm/s，试求波的频率和波长。 解：波长可看成是沿波射线相位差 2 的两点间的距离，则由题知其波长为 28 cm / 4 3.5 = 2 = ， 进而可求得波的频率为 Hz u 0.54 28 15 = = = 10.14 证 明 y = Acos(kx − t) 可 写 成 下 列 形 式 ： y = Acos k(x − u t) ， cos 2 ( t) x y A = − ， ) 1 cos 2 ( T x y = A − ，以及 cos ( t) u x y = A − 。 证明： ) ( ) 2 / 2 ( t) k(x t k x ut k k x − t = k x − = − = − 所以波函数可写为： y = Acos k(x − ut) 又 2 2 ( ) 2 t x k x t x t − = − = − ，则波函数还可写为 cos 2 ( t) x y A = − 由 T 1 = 则还可得： cos 2 ( ) T x t y = A − ( ) ( t) u x x t k kx − t = − = − ，则波函数还可写为 cos ( t) u x y = A − 10.15 波源做简谐振动，位移与时间的关系为 (4.00 10 )cos 240 m 3 y t − = ，它所激发的 波以 30.0m/s 的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。 解：由波源的振动方程 (4.00 10 )cos 240 m 3 y t − = 知振动角频率 = 240 . 而波的频率就等于波源的振动频率，所以波的频率和周期分别为 120Hz 2 = = ， 8.33 10 s 120 1 1 −3 = = = T 进一步计算波长为 0.25 m 120 30.0 = = = u 最后可写出波函数为 ) m 30 cos ( ) (4.00 10 ) cos 240 ( 3 x t u x y = A t − = − − 10.16 沿绳子行进的横波波函数为 y = 10cos(0.01 x − 2 t)，式中长度的单位是 cm，时 间的单位是 s。试求：（1）波的振幅、频率、传播速率和波长；（2）绳上某质点的最大横向振 动速率。 解：（1）由 10cos(0.01 2 ) 10cos2 ( 5.0 10 ) 3 y x t t x − = − = − 知： 振幅 A =10cm = 0.1m ；频率 1 Hz 2 2 2 = = = ；波长 m 2 3 2.0 10 5.0 10 1 = = − 波速 u 2.0 10 1 2.0 10 m / s 2 2 = = =
(2)振动速率D=9=-2x×105m-50×10-x) 则绳上某质点的最大恒向振动速率为:U=2×10=63cms=063ms 10.17证明公式O=ku 证明:o=2mv=2x=2x=kn 1018用横波的波动方程y=G.y和纵波的波动方程y=Y.⊙y,证明横波的波 t2 速和纵波的波速分别为n=和n= 证明:任何横波均要满足横波的波动方程,现考虑平面简谐波y=Acos(ωt-kx) 将其代入横波动方程便得:9=92,再由o=k便得横波的传播速度为n= 同理可证纵波的速度= 10.19在某温度下测的水中的声速为146×103m/s,求水的体变摸量 解:由横波的波速关系=G/P得水的体变横量为 G=p2=1.0×103×(1.46×103)2=213×10°P 020频率为300Hz、波速为330m/s的平面简谐声波在直径为160cm的管道中传播,能 流密度为100×10-3J·s-m-2。求:(1)平均能量密度:(2)最大能量密度;(3)两相邻同相 位波面之间的总能量 解:(1)由=Wl得平均能量密度W=~100×123093×10Jm3 330 (2)最大能量密度W=2W=606×10-5Jm-3 (3)两相邻同相波面之间的距离为:1==4=30=11m 其间的总能量w=Wk=Wr(2)2=303×10°7<5×102y=670×10-7J 10.21P和Q是两个以相同相位、相同频率和相同振幅在振动并处于同一介质中的相干波 源,其频率为ν、波长为λ,P和Q相距3λ/2。R为P、Q连线延长线上的任意一点,试 求:(1)自P发出的波在R点引起的振动与自Q发出的波在R点引起的振动的相位差;(2)
4 （2）振动速率 2 10sin( 5.0 10 ) 3 t x t y − = − − = 则绳上某质点的最大恒向振动速率为： = 2 10 = 63 cm/s = 0.63 m/s m 10.17 证明公式 = ku 证明： u ku u = = = = 2 2 2 10.18 用横波的波动方程 2 2 2 2 x G y t y = 和纵波的波动方程 2 2 2 2 x Y y t y = ，证明横波的波 速和纵波的波速分别为 G u = 和 Y u = 。 证明：任何横波均要满足横波的波动方程 ，现考虑平面简谐波 y = Acos( t − kx) 将其代入横波波动方程便得： 2 2 k G = ，再由 = ku 便得横波的传播速度为 G u = 同理可证纵波的速度 Y u = . 10.19 在某温度下测的水中的声速为 1.46 10 m /s 3 ，求水的体变摸量。 解：由横波的波速关系 u = G / 得水的体变横量为 G u Pa 2 3 3 2 9 = =1.0 10 (1.46 10 ) = 2.1310 10.20 频率为 300Hz、波速为 330m/s 的平面简谐声波在直径为 16.0cm 的管道中传播，能 流密度为 3 1 2 10.0 10− − − J s m 。求：（1）平均能量密度；（2）最大能量密度；（3）两相邻同相 位波面之间的总能量。 解：（1）由 I = wu 得平均能量密度 5 3 3 3.03 10 J m 330 10.0 10 − − − = = = u I w （2）最大能量密度 5 3 max 2 6.06 10 J m − − w = w = （3）两相邻同相波面之间的距离为： 1.1m 300 330 = = = = u l 其间的总能量 ) 6.70 10 J 2 16 10 ) 3.03 10 1.1 ( 2 ( 2 7 2 2 5 − − − = = = = d w wls wl 10.21 P 和 Q 是两个以相同相位、相同频率和相同振幅在振动并处于同一介质中的相干波 源，其频率为 、波长为 ，P 和 Q 相距 3 / 2。R 为 P、Q 连线延长线上的任意一点，试 求：（1）自 P 发出的波在 R 点引起的振动与自 Q 发出的波在 R 点引起的振动的相位差；（2）
R点的合振动的振幅。 解:如图取PQ连线的延长线方向为x轴正向 F=,n+4 以P点为坐标原点,设两振动的初相为 10.21题示图 自P和Q发出的波在R点引起的振动的相位分别为 0p=00+O1-2n2:9=0+1-2r 则相位差 2丌3元 (2)由于△p=3丌,cos△φ=-1。而A=A2 A=4-41|=0 即R点由于△p=3与R点在Q外侧的具体位置无关(不含x),则在Q右侧任一点均有 △p=3z,同时A=0,即沿x轴在Q右侧的所有点都是干涉相消的 1022弦线上的驻波相邻波节的距离为65cm,弦的振动频率为23×102H。求波的传播 速率u和波长A。 解:驻波相邻波节的距离为半波长,则A/2=65cm=065m,∴波长A=2×065=1.3m 波速为u=y=13×2.3×102=30×102m/s 1023火车汽笛的频率为v,当火车以速度V通过车站上的静止观察者身边时,观察者所 接受到的笛声频率的变化为多大?已知声速为u 解:火车驶向站台时,波源向着观测者,则频率y= 当火车驶离站台时,波源背离观测者,则频率 那么火车通过站台,观擦者所接受到的笛声频率的变化为 + u-v u+v 5
5 R 点的合振动的振幅。 解：如图取 PQ 连线的延长线方向为 x 轴正向， 以 P 点为坐标原点，设两振动的初相为 0 自 P 和 Q 发出的波在 R 点引起的振动的相位分别为 1 0 2 x t p = + − ； 2 0 2 x t Q = + − 则相位差 3 2 2 3 ( ) 2 = Q − p = x1 − x2 = = （2）由于 = 3 ， cos = −1。而 A1 = A2 ， A = A1 − A2 = 0 即 R 点由于 = 3 与 R 点在 Q 外侧的具体位置无关（不含 x），则在 Q 右侧任一点均有 = 3 ，同时 A=0，即沿 x 轴在 Q 右侧的所有点都是干涉相消的。 10.22 弦线上的驻波相邻波节的距离为 65cm，弦的振动频率为 Hz 2 2.310 。求波的传播 速率 u 和波长 。 解：驻波相邻波节的距离为半波长，则 / 2 = 65cm = 0.65m，波长 = 20.65 =1.3 m 波速为 1.3 2.3 10 3.0 10 m/s 2 2 u = = = 10.23 火车汽笛的频率为 ，当火车以速度 V 通过车站上的静止观察者身边时，观察者所 接受到的笛声频率的变化为多大？已知声速为 u。 解：火车驶向站台时，波源向着观测者，则频率 ν ν u V u − ' = 当火车驶离站台时，波源背离观测者，则频率 ν ν u V u + '' = 那么火车通过站台，观擦者所接受到的笛声频率的变化为 ν ν ν ν ν ν ν 2 2 2 2 ( ) 2 Δ ' '' u V uV u V u u V u V u V u u V u − = − + − + = + − − = − = P Q R x 3 / 2 10.21 题示图 x