第一部分力学 、什么是力学( Mechanics)? 在物质的各种运动形式中,最简单、最基本的一种运动是物体之间或物 体各部分之间相对位置的变化,称为机械运动( Mechanical Motion)。机械 运动是一切物理运动中最简单的运动,机械运动的例子很多,如车辆的行驶 机器的转动、星体的运动等。质点的曲线运动是机械运动中最基本的形式 力学就是研究机械运动及其规律的科学。 力学是其他学科的基础。 二、力学的分类: 根据研究内容的不同,力学分为静力学、运动学和动力学三部分。 运动学( Kinematics)研究物体运动的规律 动力学( Dynamies)研究物体运动的原因; 静力学( Statics) 研究物体平衡时的规律 运动学研究的是如何描述物体的运动,以及各运动学量之间的关系,它不涉及引起和改变运动的原因 动力学研究的是物体运动与物体间相互作用的内在联系;静力学研究的是物体在相互作用下的平衡问题。 根据研究对象的不同,力学又可分为质点力学和刚体力学 三、数学工具—微积分和矢量 牛顿和莱布尼兹在研究经典力学的过程中,同时创立了微积分( Calculus),可见在处理力学问题中微积分 的重要性。此外,矢量( Vector)在力学中也是一个重要的数学工具。 本部分共有5章 第一章质点运动学 第二章牛顿运动定律 第三章运动守恒定律 第四章流体的运动 第五章刚体的定轴转动
第一章质点运动学 简介 质点运动学是研究质点位置随时间而改变的运动规律的理论。本章主要内容有位置矢量、位移、速度和加 速度,质点的运动方程、切向加速度和法向加速度、相对运动等 内容与时间分布 1.质点、参照系、坐标系;位置矢量、运动方程;位移 (50分钟) 2.速度、加速度;质点运动的第一类问题 (50分钟) 3.质点运动的第二类问题;圆周运动 (50分钟) 4.切向加速度和法向加速度;运动描述的相对性 (50分钟) 重点与难点 重点描述质点运动的基本物理量(位置矢量、位移、速度、加速度等物理概念)的矢量表示及其计算、 运动方程和轨道方程;质点运动的两类问题;圆周运动的角量描述,切向加速度和法向加速度。 难点位置矢量、速度、加速度的矢量性、瞬时性、相对性;由已知速度(或加速度)和初始条件求解运 动方程(即运动学的第二类问题)。 基本要求 1.了解大学物理的研究对象与研究方法 2.理解参考系和坐标系、质点的概念 3.掌握位置矢量、位移、速度和加速度等描述质点运动的物理量,明确这些物理量的矢量性、相对性和 速度、加速度的瞬时性 4.熟练掌握质点运动学的两类问题,即利用运动方程求速度和加速度(求导问题),利用速度或加速度求 运动方程 5.熟悉和掌握在几种常用坐标系(直角坐标系、自然坐标系、极坐标系)下速度、加速度的表达形式 6.了解角坐标、角位移、角速度和角加速度等描述质点圆周运动的物理量及角量与线量的关系; 7.能够计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度,理解切向加速度和法向加速度。 8.了解伽利略相对性原理在经典力学中的重要意义 章节目录 s1-1质点和参考系 §1-2质点运动的描述 §1-3加速度为恒矢量时的质点运动 §1-4圆周运动 §1-5相对运动
s1-1质点和参考系 一、质点( Particle, Mass point)—理想模型 1.质点的引入 大家知道,任何物体都有大小和形状。一般说来,物体在运动时,内部各点的位置变化是不同的,物体的 运动情况是非常复杂的。 例如,平直公路上行驶的汽车,车身:平动 车轮:平动,转动 发动机内部的运动就更复杂了 2.质点的概念 质点是一个理想化的力学模型,当物体的大小和形状忽略不计时,可以把物体当作只有质量没有形状和大 小的几何点,这就是质点 1)质点的概念是为了突出主要因素而忽略次要因素(化繁为简,以利于解决问题)对考察对象进行科 学的抽象而引入的一个理想化的力学模型。建立理想模型是物理学中重要的、常用的科学分析方法。可以说 物理学离不开理想化模型。选取适当的模型代替实际物体,这不仅对于学习物理学,而且对于学习其它一切科 学技术,都是一种极为重要的方法 2)一个物体是否可以当作质点来处理,并不取决与它本身的绝对大小,而要看它的体积或线度与所讨 论问题相关的距离相比较是否小到可以忽略不计。所以把物体看作质点是有条件的、相对的,而不是无条件的、 绝对的。 例如:地球绕太阳公转:地球可当作质点。 地球自转:地球不可当作质点。 附:地球公转轨道平均半径:1.5510km 地球半径 6370km 两者之比 2.33×10 、参考系和坐标系 1.运动的相对性 宇宙万物中,大到日、月、星、辰,小至原子内部的粒子都在不停地运动着。自然界一切物质都处在永恒 的运动中,绝对静止的物体是不存在的,这就是运动的绝对性。但对运动的描 述却是相对的。例如:坐在运动的火车上的乘客看同车厢的乘客是“静止”的, 看车外路面上的人却向后运动;反过来,在车外路面上的人看车内的乘客是随 月亮 车前进,而路边一同站着的人却是静止不动的;这是因为车内的乘客是以“车 厢”为标准进行观察的,而路面上的人是以地球为标准进行观察的。即当选取 地球 不同的标准物对同一运动进行描述时,所得结论不同叫运动的相对性。而被选 为描述物体运动的标准物(或物体组)叫参考系 2.参考系( Reference system)的定义: 图1-1以地球为参照系 为描述物体的运动而选择的标准物(或物体组)称为参考系 3.参照系的选择 1)参考系的选择是任意的 月亮 在运动学中,参照系的选择是取决于问题的性质和使用的方便,因此 有很大的任意性。如研究物体在地面上的运动时,选地球为参考系最为方 ●地球轨道 太阳 2)参考系的作用 通过参照系可判定所研究的物体是运动的还是静止的,所以当提到物 图1-2以太阳为参照系
体的运动时,必须指明是相对哪一个参考系。例如,匀速运动的火车上落下一物体 以火车作为参考系:自由落体运动—轨迹是直线 以地面作为参考系:平抛运动—轨迹是抛物线 (3)若不指明参考系,则认为以地面为参考系。 4.坐标系 1)引入坐标系的必要性: 为了定量描述物体相对于参考系的位置,就要在参考系上选定一个固定的坐标系。应该明确,坐标系是参 照系的数学抽象,并依赖于参照系而存在。这样才能达到既定性又定量的描述。至于选什么坐标系也应该根据 论问题的方便 坐标系的原点一般选在参考系上,并取通过原点标有单位长度的有向直线 作为坐标轴 2)物理学中常用的坐标系—直角坐标系(笛卡儿坐标系) (Rectangular Coordination) x方向单位矢量:i;y方向单位矢量:j;z方向单位矢量:k 如图1-3,A(1,2,4),i+2j+4k 图1-3直角坐标系 前面讲过坐标系的选择是任意的,主要由研究问题的方便而定。但坐标系的选择不同,描述物体运动的方 程是不同的,但对物体运动的规律是没有影响 3)说明 (1)坐标系是由参考系抽象而成的数学框架; (2)常用的坐标系是直角坐标系。除此之外,还有极坐标系( Polar coordination)、柱坐标系( Cylindric Coordination)、球坐标系( Spherical Coordination)和自然坐标系( Natural Coordination)等 附录:笛卡儿( Rene descartes,1596-1650) 法国哲学家、物理学家、数学家、生理学家。解析几何的创始人 笛卡儿对物理的发展曾做出很大贡献:否认真空的存在;论述了动量守恒问题;提岀宇宙永远保持着同量 的运动;还推导出了拋体的轨迹;发现了光的折射的基本定律。在光学理论上坚持光的微粒说和光是一种压力 的观点 笛卡儿最杰出的成就是在数学上创立了解析几何学。1637年,在创立了坐标系后,成功地创立了解析几何 学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础。 三、时间和时刻 物体的运动不能脱离空间,也不能脱离时间;因此要定量描述物体的运动,还要建立适当的时间坐标轴。 时间轴上的点表示时刻,它与物体的某一位置相对应;两个时刻之间的间隔表示时间,它与物体位置的某一变 化过程相对应。 时刻:是事物运动过程中所经历的各个状态先后顺序的标志。它只有“先”与“后”、“迟”与“早”的区 别,而无“大小、长短”的区分。并且时刻具有连续变化(非跳跃)、单向发展、不可滞留、不可重复的特性。 时间:是两个时刻之间的间隔。是一个用来量度事物运动所经历的过程长度的尺度。所以时间是用长短或 大小来表达的。它本身不包含“先后”或“迟早”的意义。 四、思考题: 1.有人说:“分子很小,可将其当作质点;地球很大,不能当作质点”,对吗 2.如果有人问地球和一粒小米比较那个可以看做质点,你将怎样回答?
§1-2质点运动的描述 位置矢量、运动方程、位移 位置矢量( Position vector) 1)位置矢量的基本概念 现在我们知道,为表示运动质点的位置,首要应该选一个参考系,然后在参照系再选定坐标系。则某一时 刻质点在空间的位置可以用从原点O到质点所在的位置P的有向线段来表示。因而定义从原点O到质点所在 的位置P点的有向线段,叫做位置矢量或位矢 在直角坐标系中 i、j、k表示三个坐标轴正方向的单位矢量 大小r=√x2+y2+2或F=√x2+y2+z2 方向余弦:cosa=、cosB=2、cosy=2 图1-4位置矢量 2)说明: (1)位置矢量是矢量:有大小和方向 (2)位置矢量具有瞬时性:运动质点在不同时刻的位置矢量是不同的; (3)位置矢量具有相对性:位置矢量的大小和方向,与坐标系的原点选择有关。在不同的坐标系中,同 质点的位置矢量是不同的。 3)质点的运动方程和轨迹 当质点运动时,它相对坐标原点O的位置矢量产是随时间变化的。因此,F是时间的函数,即 r=r(t) 矢量式 x=x(1) 或{y=y( 标量式 z=z( 如果能知道上两式的具体形式的函数关系,则质点在任一时刻的位置都能确定。因此上两式叫做质点运动 方程,它包含了质点运动的全部信息。 运动学的重要任务之一,就是找出各种具体运动所遵循的运动方程,或者说知道运动方程,也就可以解决 质点的运动问题 质点在空间所经过的路径称为轨迹。运动轨迹为直线或曲线,称之为直线或曲线运动。从运动方程的分量 式中,消去时间t可得质点的轨迹方程fx,y,z)=0。显然,运动方程和轨迹方程是有区别的 例1.自由落体运动的运动方程为 y=gt2—坐标与时间的关系 例2.平抛运动的运动方程
从运动方程中消去t得轨迹方程 3x2坐标之间的关系 2.位移( Displacement)—描述质点位置变化的物理量: 1)位移的概念 如图所示,在t时刻质点运动到A点,其矢径为rA,t△t时刻质点运动到B点,其矢径为r。则在△t内 质点的位置从始点A变化到终点B。我们把由始点A到终点B的有向线段AB定义为质点的位移矢量,简称 位移,用Δr表示。值得注意的是这里的位移是质点在△t时间内的位移 2)位移的计算 由矢量计算可知 F4+△F=FB B 即位移等于终点B与始点A的位置矢量之差。 大小:△=4B方向:A→B 在直角坐标系中F=x1i+y+zk, 图1-5曲线运动中的位移 rR=xgi tyre +gk AF=rB-=(rgi+yBj+zBk)-(xityj+z,k) =(xB-xi+g-yj+(zB-z)k 大小|△=√(x-x1)2+(-y1)+(=-z,) 方向余弦:cosa V8-3 COSY= 3)位移与路程——位移与路程是两个完全不同的概念 位移是矢量:是描述质点位置矢量的变化的物理量 路程是标量:是描述质点运动轨迹的长度的物理量。 路程是质点在Δt内走过的轨道的长度,而位移大小是质点实际移动的直线距离;位移和位矢均为矢量, 但路程为标量,路程用ΔS表示。只在单向直线运动中,位移和路程的大小相同。除此之外,其他情况位移和 路程是截然不同的两个概念 4)小结:位移是位置矢量的增量,是与运动过程有关的物理量,它是时间间隔的函数,与位置矢量不同 的是,一旦参考系确定,位移和坐标系原点的选择无关 *关于“米”的定义: 1.19世纪:通过巴黎的地球子午线长度的四千万分之一定义为一米; 1889年:国际计量大会( General Conference on Weight and Measures)上,通过用铂铱合金米尺上 两刻度线的距离为一米。(国际米原器:精度为百万分之一。 3.1960年:国际计量大会规定1米等于氪-86原子的2p和5d能级间跃迁辐射的真空波长的1,650,763.73 倍的长度。 4.1983年:国际计量大会规定1米是光在真空中,在1/299,792,458S的时间间隔内运行路程的长度 、速度( Velocity)-粗略描述质点位置随时间变化快慢的物理量 1.平均速度:
1时刻,质点的位置矢量F(1) h2时刻,质点的位置矢量F2(t2) B 位移 AF=F2(2)-F(1) 所用时间≠=t 定义△t时间内的平均速度为 △ 图1-6曲线运动中的位移 平均速度是矢量,大小为ΔrΔt,表示质点在确定时间间隔内运动的快慢程度,方向就是质点在这段时间 内位移的方向。另外:平均速度与质点的位移和所用的时间有关。因而在叙述平均速度时,必须指明是哪一段 时间内或哪一段位移内的平均速度。 注意:在一般的曲线运动中,较长的时间内的平均速度将变成一个没有实际物理意义的抽象概念。例如作 圆周运动的质点,运动一周时的平均速度为零,根本体现不出质点运动的快慢或其他什么性质。因此,平均速 度只有在考察时间不太长的条件下,才有意义。为了精确的描述质点的真实运动情况引入瞬时速度 2.瞬时速度——精确地描述质点在某一时刻或某一位置运动快慢和运动方向的物理量 定义:平均速度的极限值称为瞬时速度,简称速度,用ν表示。 v=lir 即位置矢量(或位移)对时间的一阶导数 这里的△t趋近于零,从数学上讲,就是指△t是一看大于零而又无限接近于零的任意小的时间间隔。而在 物理学中实际测定瞬时速度时,Δt可理解为一看“足够小”的时间间隔。所谓“足够小”就是说不能比它再 小了。另外,上式左边可叙述为“质点的瞬时速度等于Δt趋近于零时平均速度的极限”;右边可叙述为“质点 的瞬时速度等于位移矢量对时间的一阶导数”。 速度是矢量,大小简称速率( speed),方向为沿轨道上质点所在位置的切线并且指向前进的一方 B B B B B B △F 图1-7质点在轨道上A点处的速度的方向 在直角坐标系中v dt =27+27+2k=v,+,万+vk d x dz 标量式:ν 速度的大小和方向的计算参考位移的数学公式 3.关于速度的说明 1)速度是矢量,即有大小又有方向,二者只要有一个变化,速度就变化 v= const匀速运动 v≠ const变速运动 2)速度具有瞬时性;速度具有相对性;速度具有矢量性;速度的单位:m·sl
3)平均速度是定义瞬时速度不可缺少的过渡性概念。即平均速度对瞬时速度的引出起了一个桥梁和铺垫 的作用。 4.速度与速率——速度与速率是两上完全不同的概念。 1)平均速度与平均速率: 平均速度:质点在△t时间内的位移A与△t时间的比值;是矢量。 平均速率:质点在Δt时间内的路程Δs与Δt时间的比值;是标量。 平均速度的大小不等于平均速率的大小 2)瞬时速度与瞬时速率: 瞬时速度:质点在Δ1→0时间内的位移与dt时间的比值;是矢量。 瞬时速率:质点在Δ→0时间内的路程ds与d时间的比值;是标量。 瞬时速度的大小等于瞬时速率的大小。因为当△-0时,△F=△S 只有当质点的位置矢量和速度同时被确定时,其运动状态才被确知。所以位置矢量r和速度ν是描述质点 运动状态的两个物理量。这两个物理量可以从运动方程求出,所以知道了运动方程可以确定质点在任意时刻的 运动状态。 常用的初等函数导数公式: (C)′=0 (x)’=1 (sin x) gA (e)=e x)=1/x arcsin x)=1/v1 (arctgx)=1/1+x *时间的单位:秒(s) 1hour=60min 1min=60sec 关于“秒”的定义 1.地球自转一周所需时间的1/86 1967年,1秒是铯-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应辐射的919263170个周期的持续 时间 三、加速度( Acceleration)(加速度概念首先是由伽利略提出的) 加速度是一个用来描述速度变化快慢程度的物理量。例如:汽车紧急刹车的情况和关闭油门使其减速滑行 的情况相比较,显然,在相同的时间内,刹车比滑 行时速度的变化要急剧的多。为了描述这种速度变z (1) 化的缓急程度的差别,物理上引入了加速度的概 念。 定义加速度的方法和定义速度的方法完全相 同,也是由平均加速度过渡到瞬时加速度的 △ 1.平均加速度:一粗略地描述质点速度变O v2(t2) 化快慢的物理量 1时刻,P1点,质点的速度可(1) 图1-8速度的增量 h2时刻,P2点,质点的速度v2(2) 定义A=h-1时间内的速度的增量△v=v2(2)-(1)与所用时间△=h2-41的比值叫做质点的平均加 速度,用a表示
△v △tt2-t1 平均加速度是矢量,大小为△v△t,表示质点在确定时间间隔内速度改变的快慢程度,方向就是质点在这 段时间内速度增量的方向。 说明:在叙述平均加速度时,必须指明是哪一段时间内或哪一段位移 2.瞬时加速度——精确地描述质点在某一时刻或某一位置速度变化快慢的物理量 定义:平均加速度的极限值称为瞬时加速度,简称加速度,用a表示 d-r a=lim 即加速度为速度对时间的一阶导数或位置矢量(或位移)对时间的二阶导数 方向:速度增量的极限方向。 对于曲线运动:加速度的方向和速度的方向不一定相同:当二者成锐角时,速率增加;成钝角时,速率减 小;成直角时,速率不变。加速度的方向总是指向曲线凹的一方。 (a)a与v成锐角 (b)a与v成钝角 (c)a与v成直角 图1-9曲线运动中加速度与速度的方向 2)加速度具有瞬时性;加速度具有相对性;加速度的单位:m·s2 3.直角坐标系中a= d2r d2x d'yitink =aita+ak 标量式(分量式):1a=地_dy dv d 4.关于加速度的说明: 1)加速度是矢量,即有大小又有方向,二者只要有一个变化,加速度就变化 a= const匀变速运动 a≠ const非匀变速运动 对于直线运动:当加速度的方向与速度的方向相同时,加速运动:当加速度的方向与速度的方向相反时, 减速运动。并不是说,加速度为正就是加速运动,加速度为负就是减速运动。因为加速度的正负与坐标系的选 择有关 注意:加速度是速度的变化,它有速率的变化和速度方向的变化。 四、思考题 对于一个运动质点,下面哪种情况不可能发生: 1.质点具有恒定速度,但有变化的速率;质点具有恒定的速率,但有变化的速度 2.质点加速度为零而速度不为零;质点的加速度不为零而速度为零
伽利咚( Galileo galilei,1564--1642)杰出的意大利物理学家和天文学家,实验物理 学的先驱者 1.提出著名的相对性原理、惯性原理、拋体的运动定律、摆振动的等时性等。2.伽 利略捍卫哥白尼日心说。3.《关于两门新科学的对话和数学证明对话集》一书,总结了他 的科学思想以及在物理学和天文学方面的研究成果。 伽利略所取得的巨大成就,开创了近代物理学的新纪元。历史证明了伽利略在科学事 业上的成功。1979年11月10日罗马教皇正式承认,对伽利略的审判是不公正的 小结: 1.在描述质点运动的四个物理量中,位置矢量和速度是描述质点运动状态的物理量,而位移和加速度是 反映质点运动状态变化的物理量 2.质点运动学的两类问题是 (1)第一类问题:已知质点的运动方程,求质点在任意时刻的速度和加速度,从而得知质点运动的全部 情况—用微分方法求解; (2)第二类问题:已知质点在任意时刻的速度(或加速度)以及初始状态,求质点的运动方程(第一 问题的逆运算)—用积分方法求解(例题中给出计算方法)。 例3.一个质点在x轴上作直线运动,运动方程为x=27+47+8,式中x的单位为米,t的单位为秒,求(1) 任意时刻的速度和加速度;(2)在=2s和t=3s时刻,物体的位置,速度和加速度;(3)在t=2到=3s时间内, 物体的平均速度和平均加速度。 解:(1)由速度和加速度的定义式,可求得 6t2+8tm·s dv 2+8)=(12+8) (2)=2s时 x=2×23+4×22+8=40(m) v=6×22+8×2=40(ms-) a=12×2+8=32(m·s-2) x=2×3+4×32+8=98(m) v=6×32+8×3=78m·s-) a=12×3+8=44(m·s-2) 58(ms a=1=18-40 例4.匀速直线运动,1)特点:1=oms;2)加速度:a==0;3)位移和位置失量。 dt