人教A版高中数学必修1第一章 集合与函数概念1.1 集合导学案(1)

第一章集合的概念及运算 §11集合的概念 自从19世纪末德国数学家康托为集合论做奠基工作以来,集合论在一百年的时间里 经称为数学中不可缺少的基本的描述工具。 集合作为数学中最基本的概念,是不能被严格定义的,只能加以描述。简单说来,一个 集合就是一些不同对象构成的整体。 一般地,人们用大写英文字母A,B,C,…表示集合,用小写英文字母a,b,c, 表示集合中的元素。用a∈A表示a为A的元素,读作a属于A:用a∈A表示a 不是A的元素,读作a不属于A 可以用两种方法来表示集合 a.列举法:列出集合中的全体元素,元素之间用逗号分开,然后用花括号括起来。设A 是以a,b,c,d为元素的集合。则A={a,b,c,d}。 b.描述法:即集合的成员可以用其具备的独特性质来描述。例如 A={x∈R:x≥2}。 注1:对于集合的表示法应该注意以下几点 (1)集合中的元素是各不相同的 (2)集合中的元素不规定顺序 (3)集合的两种表示法有时是可以互相转化的。 注2:随意地用描述法来确定(定义)集合,可能导出不可预料的困难。设B是含10个 以上元素的集合构成的集合,则有B∈B。设C是由集合构成的集合,使得 C={x:x是集合且xgx} 那么C∈C还是CgC呢,无论哪一个情况都会导出矛盾?这是一个悖论。是英国数理学 家罗素( Russel!提出的,称为罗素悖论 除罗素悖论外,还有一些其他的悖论,说明不加限制地使用集合一词会出毛病。对集合概 念的运用必须制定一些规则,这就导致了公里化集合论。而把由康托开始建立的未进行公 理化的集合论称为朴素集合论 我们将学习朴素集合论的基本内容,但借鉴公理化集合论的思想,以避免出现悖论。 定义11设A,B为二集合,若B中的元素都属于A,则称B是A的子集,也称A包 含B或B含于A,记作BcA

1 第一章 集合的概念及运算 §1.1 集合的概念 自从 19 世纪末德国数学家康托为集合论做奠基工作以来，集合论在一百年的时间里，已 经称为数学中不可缺少的基本的描述工具。 集合作为数学中最基本的概念，是不能被严格定义的，只能加以描述。简单说来，一个 集合就是一些不同对象构成的整体。 一般地，人们用大写英文字母 A ， B ，C ，"表示集合，用小写英文字母 a ，b ， c ， "表示集合中的元素。用 a A ∈ 表示 a 为 A 的元素，读作 a 属于 A ；用 a A ∉ 表示 a 不是 A 的元素，读作 a 不属于 A 。 可以用两种方法来表示集合。 a. 列举法：列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来。设 A 是以 a ，b ， c ， d 为元素的集合。则 A = { , , , } abcd 。 b. 描述法：即集合的成员可以用其具备的独特性质来描述。例如， Ax x =∈ ≥ { : 2} R 。 注 1：对于集合的表示法应该注意以下几点： (1) 集合中的元素是各不相同的； (2) 集合中的元素不规定顺序； (3) 集合的两种表示法有时是可以互相转化的。 注 2：随意地用描述法来确定（定义）集合，可能导出不可预料的困难。设 B 是含10 个 以上元素的集合构成的集合，则有 B∈ B 。设C 是由集合构成的集合，使得 C xx x x = ∉ {: } 是集合且 那么C C ∈ 还是C C ∉ 呢，无论哪一个情况都会导出矛盾？这是一个悖论。是英国数理学 家罗素(Russell)提出的，称为罗素悖论。 除罗素悖论外，还有一些其他的悖论，说明不加限制地使用集合一词会出毛病。对集合概 念的运用必须制定一些规则，这就导致了公里化集合论。而把由康托开始建立的未进行公 理化的集合论称为朴素集合论。 我们将学习朴素集合论的基本内容，但借鉴公理化集合论的思想，以避免出现悖论。 定义 1.1 设 A ， B 为二集合，若 B 中的元素都属于 A ，则称 B 是 A 的子集，也称 A 包 含 B 或 B 含于 A ，记作 B ⊆ A

定义12设A,B为二集合,若A包含B且B包含A,则称A与B相等,记作A=B 定义13设A,B为二集合,若A为B的子集,且A≠B,则称A为B的真子集,记 作ACB。 定义1.4不具有任何元素的集合称为空集,记作Q 注1:空集是任何集合的子集;空集是唯一的 定义1.如果限定所讨论的集合都是某一集合的子集,则称该集合为全集,常记为E 定义16设A为一个集合,称由A的所有子集组成的集合为A的幂集,记作P(A) 注1:以A表示A中的元素个数,当A|为有限数时,称A为有限集。元素个数为n (n为自然数)的集合称为n元集 除了P(A)这样由集合构成的集合外,我们还会遇到许多形式的由集合构成的集合,统称这样 的集合为集族。幂集是特殊的集族 定义17设为一集族,S为一个集合,若S中的元素a可一一对应到划中的元素A, 则称4是以S为指标的集族,记为划={A:a∈S}或={4n}as 注:如果将空集看作集族,则称Q为空集族 我们要特别提到多重集合的概念。前面谈到的集合都是由不同对象组成的,而在实际中,某 元素的重复出现往往表达了某种特别的意义。例如,在一个班里学生的名字,可能有两 或多个学生有相同的名字,并且我们又有可能会谈及到学生名字的总体。又例如,某项工程 中所需要的工程技术人员的种类可用集合 A={机工程师,机械工程师,数学家,制图员,程序员 表示,但从集合A中看不出所需要人员的数量。再如方程 的解集应以{0,1,1,1表示。于是引出多重集合的概念。 定义18设全集为E,E中元素可以不止一次在其中出现的集合A,称为多重集合。若E中 元素e在A中出现k(k≥0)次,则称e在A中的重复度为k。 例11设全集E={a,b,c,d,e},A={a,a,b,b,}为多重集合,其中a,b的重复度为2

2 定义 1.2 设 A ， B 为二集合，若 A 包含 B 且 B 包含 A ，则称 A 与 B 相等，记作 A = B 。 定义 1.3 设 A ， B 为二集合，若 A 为 B 的子集，且 A ≠ B ，则称 A 为 B 的真子集，记 作 A ⊂ B 。 定义 1.4 不具有任何元素的集合称为空集，记作∅ 。 注 1：空集是任何集合的子集；空集是唯一的。 定义 1.5 如果限定所讨论的集合都是某一集合的子集，则称该集合为全集，常记为 E 。 定义 1.6 设 A 为一个集合，称由 A 的所有子集组成的集合为 A 的幂集，记作 ρ( ) A 。 注 1：以| | A 表示 A 中的元素个数，当| | A 为有限数时，称 A 为有限集。元素个数为 n （ n 为自然数）的集合称为 n 元集。 除了 ρ( ) A 这样由集合构成的集合外，我们还会遇到许多形式的由集合构成的集合，统称这样 的集合为集族。幂集是特殊的集族。 定义 1.7 设 A 为一集族， S 为一个集合，若 S 中的元素α 可一一对应到 A 中的元素 Aα ， 则称 A 是以 S 为指标的集族，记为 {: } A S A = ∈ α α 或 { } A = Aα α∈S 。 注：如果将空集∅ 看作集族，则称∅ 为空集族。 我们要特别提到多重集合的概念。前面谈到的集合都是由不同对象组成的，而在实际中，某 一元素的重复出现往往表达了某种特别的意义。例如，在一个班里学生的名字，可能有两个 或多个学生有相同的名字，并且我们又有可能会谈及到学生名字的总体。又例如，某项工程 中所需要的工程技术人员的种类可用集合 A ={ } 电机工程师，机械工程师，数学家，制图员，程序员 表示，但从集合 A 中看不出所需要人员的数量。再如方程 3 x x( 1) 0 − = 的解集应以{0,1,1,1}表示。于是引出多重集合的概念。 定义 1.8 设全集为 E ， E 中元素可以不止一次在其中出现的集合 A ，称为多重集合。若 E 中 元素 e 在 A 中出现 k （ k ≥ 0 ）次，则称 e 在 A 中的重复度为 k 。 例 1.1 设全集 E ={,,, ,} abcde ， A ={, ,,,} aabbc 为多重集合，其中 a ，b 的重复度为 2

c的重复度为1,而d,e的重复度为0。 其实,集合可看成是各元素重复度均小于等于1的多重集合。在图论部分,我们将会用到多重 集合的概念 §12集合的运算 给定两个集合A,B,除了他们的交,并运算外,我们还要介绍差和对称差两种运算 定义21设A,B为两个集合,由属于A而不属于B的元素组成的集合称为B对A的相对 补集,记作A一B,称“一”为相对补运算符,A-B可表示为 A-B={x:xX∈A且xgB} 也可称为A减B的差。 注:设E为全集,AcE,称E一A为A的补集,记作A 定义22设A,B为两个集合,由属于A而不属于B或属于A而不属于B的元素组成的集 合称为A与B的对称差,记作A⊕B,称“”为对称差运算符,AB可描述为 AB={x:x∈A但xgB,或X∈B但xgA 注1:容易看出A由B=(A-B)∪(B-A)=(AUB)-(A∩B) 2:A=A.A⊕A=。 我们下面来定义两个多重集P和O的交,并,差运算。 P和Q的并,记为P∪Q,它也是一个多重集,使得P∪Q里任一个元素的重数,等于该 元素在P和Q中重数的最大者:P和Q的交用P∩Q来表示,使得P∩Q的任一元素的重 数,等于该元素在P和Q中重数的最小者;P和Q的差用P-Q来表示,使得如果一个元素 在P中的重数大于它在Q中的重数,那么该元素在P-Q中的重数等于它在P中的重数减去 它在Q中的重数,否则它在P-Q中的重数为0。类似地,对称差PQ中元素的重数等于 元素在P中和Q中两个重数的绝对差值

3 c 的重复度为1，而 d ， e 的重复度为 0 。 其实，集合可看成是各元素重复度均小于等于 1 的多重集合。在图论部分，我们将会用到多重 集合的概念。 §1.2 集合的运算 给定两个集合 A ， B ，除了他们的交，并运算外，我们还要介绍差和对称差两种运算。 定义 2.1 设 A ， B 为两个集合，由属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为 B 对 A 的相对 补集，记作 A− B ，称“ − ”为相对补运算符， A− B 可表示为 A−= ∈ ∉ B xx Ax B {: } 且 ， 也可称为 A 减 B 的差。 注：设 E 为全集， A E ⊆ ，称 E − A 为 A 的补集，记作 A 。 定义 2.2 设 A ， B 为两个集合，由属于 A 而不属于 B 或属于 A 而不属于 B 的元素组成的集 合称为 A 与 B 的对称差，记作 A⊕ B ，称“ ⊕ ”为对称差运算符， A⊕ B 可描述为 A⊕= ∈ ∉ ∈ ∉ B xx Ax B x Bx A {: , } 但 或但 注 1：容易看出 A⊕= − − = − B AB BA AB AB ( )( ) ( )( ) ∪ ∪∩ 2: A⊕∅= A , A A ⊕ =∅ 。 我们下面来定义两个多重集 P 和Q 的交，并，差运算。 P 和Q 的并，记为 P Q∪ ，它也是一个多重集，使得 P Q∪ 里任一个元素的重数，等于该 元素在 P 和Q 中重数的最大者； P 和Q 的交用 P Q∩ 来表示，使得 P Q∩ 的任一元素的重 数，等于该元素在 P 和Q 中重数的最小者； P 和Q 的差用 P Q− 来表示，使得如果一个元素 在 P 中的重数大于它在Q 中的重数，那么该元素在 P Q− 中的重数等于它在 P 中的重数减去 它在Q 中的重数，否则它在 P Q− 中的重数为 0 。类似地，对称差 P Q ⊕ 中元素的重数等于 元素在 P 中和Q 中两个重数的绝对差值

还可以将交,并运算推广到集族上 定义23设为一个集族,称由别中全体集合的元素组成的集合为的广义并集,记作∪ 称∪为广义并运算符, 可描述为 Ux={x:存在A∈,使得x∈丹} 例21设={a,b},,d,td,e,},则={a,bcd,e,八} 当是以S为指标集的集族时,∪=U{:a∈S}=UA 定义24设为非空集族,称由烈中全体集合的公共元素组成的集合为烈的广义交集,记作 ∩,称∩为广义交运算符,∩2可描述为 ∩={x:对任意A∈都有x∈A 例22设={12,3,1,16,7},则∩= 当2是以S为指标集的集族时,∩2=∩{4a∈S}=∩A 有限集元素的计数 (1)| AUBA|+|B|-|A∩B|:(2)|A④BHA|+|B|-2|A∩B 定理21设A1,A2 A.为n个有限集合,则 U4∑4-∑An4+∑|4n4n4+ +(-)-∑|4n4∩…∩4|+…+(-114∩40…∩A1 此定理称为包含排斥原理,简称容斥原理。 证明:采用数学归纳法易证。 例23求出在1和250之间,能被2,3,5,7中任意一个数整除的整数的个数。 解:设A1,A2,A4,A4分别是1和250之间能被2,3,5,7整除的整数集合。因为

4 还可以将交，并运算推广到集族上。 定义 2.3 设 A 为一个集族，称由 A 中全体集合的元素组成的集合为 A 的广义并集，记作∪A ， 称 ∪ 为广义并运算符，∪A 可描述为 ∪A A = ∈∈ {: , } x 存在 使得 A xA 。 例 2.1 设 A = {{ , },{ , },{ , , }} ab cd de f ，则∪A = {,,, ,, } abcde f 。 当 A 是以 S 为指标集的集族时， {: } S AS A α α α α ∈ ∪∪ ∪ A = ∈= 。 定义 2.4 设 A 为非空集族，称由 A 中全体集合的公共元素组成的集合为 A 的广义交集，记作 ∩A ，称 ∩ 为广义交运算符。∩A 可描述为 ∩A A = ∈∈ {: , } x 对任意 都有 A xA 。 例 2.2 设 A = {{1,2,3},{1, , },{1,6,7}} a b ，则∩A = {1}。 当 A 是以 S 为指标集的集族时， {: } S AS A α α α α ∈ ∩∩ ∩ A = ∈= 。 有限集元素的计数： （1）| || | | | | | A∪ ∩ B A B AB =+ − ；（2）| | | | | | 2| | A⊕ B A B AB =+ − ∩ 定理 2.1 设 A1， A2 ，"， An 为 n 个有限集合，则 12 123 12 123 1 1 | | || | | | | n n i i ii iii i i ii iii A A AA AAA = = < << ∪ =− + + ∑∑ ∑ ∩ ∩∩ " 1 2 1 2 1 1 2 ( 1) | | ( 1) | | k k k n ii i n ii i A A A AA A − << < +− + + − ∑ " ∩ ∩"∩ " ∩ ∩"∩ 。 此定理称为包含排斥原理，简称容斥原理。 证明：采用数学归纳法易证。 例 2.3 求出在1和 250 之间，能被 2, 3, 5, 7 中任意一个数整除的整数的个数。 解：设 A1， A2 ， A3 ， A4 分别是1和 250 之间能被 2, 3, 5, 7 整除的整数集合。因为

250 AH-=125,|A2 3|=83.4÷/250 5/=50,|4/250 14∩23/≈41.140A￥\2×5/=25,14014/250 250 =17 2×7 144/3250 3×5|=16,|A2∩4 =11l,|A3∩A A∩A2∩A3F= =8,|4∩A04F 4n4∩4A230 250 2×5×7 =3,14n4n4[3x5x7=2 1A∩A2∩A3nAF 3×5×7 所以,我们有 AUA2UA2UA4=(125+83+50+35)-(41+25+17+16+11+7)+(8+5+3+2)-1 =193 §13基本的集合恒等式 交,并,补的综合运算规律。 设E为全集,A,B,C为E的子集,则下面列出的运算规律成立 (1)等幂律A∪A=A,A∩A=A (2)交换律AUB=BUA,A∩B=B∩A (3)结合律(∪B)UC=AU(BUC),(A∩B)∩C=A∩(B∩C) (4)分配律AU(B∩C)=(AUB)∩(4UC),A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C) (5)德·摩根律AUB=A∩B,A∩B=A∪B A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C),A-(B∩C)=(A-B)U(A-C (6)吸收律AU(A∩B)=A,An∩(UB)=A (7)零律AUE=E,A∩= (8)同一律AU=A,A∩E=A (9)排中律AUA=E

5 1 250 | | 125 2 A ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， 2 250 | | 83 3 A ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， 3 250 | | 50 5 A ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， 4 250 | | 35 7 A ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， 1 2 250 | | 41 2 3 A A ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ × ∩ ， 1 3 250 | | 25 2 5 A A ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ × ∩ ， 1 4 250 | | 17 2 7 A A ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ × ∩ ， 2 3 250 | | 16 3 5 A A ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ × ∩ ， 2 4 250 | | 11 3 7 A A ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ × ∩ ， 3 4 250 || 7 5 7 A A ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ × ∩ ， 123 250 || 8 235 AAA ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ × × ∩ ∩ ， 124 250 || 5 237 AAA ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ × × ∩ ∩ ， 134 250 || 3 257 AAA ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ × × ∩ ∩ ， 234 250 || 2 357 AAA ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ × × ∩ ∩ ， 1234 250 | |1 2357 AAAA ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ××× ∩∩∩ ， 所以，我们有 1234 | | (125 83 50 35) (41 25 17 16 11 7) (8 5 3 2) 1 AAAA ∪∪∪ = + + + − + + + + + + +++ − =193 §1.3 基本的集合恒等式 交，并，补的综合运算规律。 设 E 为全集， A ， B ，C 为 E 的子集，则下面列出的运算规律成立。 (1) 等幂律 AAA ∪ = ， AAA ∩ = (2) 交换律 ABBA ∪ ∪ = ， ABBA ∩ ∩ = (3) 结合律 () () A∪∪ ∪∪ B C A BC = ， () () A∩∩ ∩∩ B C A BC = (4) 分配律 A∪∩ ∪∩∪ ( )( )( ) BC AB AC = ， A∩∪ ∩∪∩ ( )( )( ) BC AB AC = (5) 德·摩根律 ABAB ∪ ∩ = ， ABAB ∩ ∪ = A− =− − ( )( )( ) B C AB AC ∪ ∩ ， A− ( )( )( ) B C AB AC ∩ ∪ =− − (6) 吸收律 A∪ ∩ ( ) AB A = ， A∩ ∪ ( ) AB A = (7) 零律 AEE ∪ = ， A∩ ∅=∅ (8) 同一律 A A ∪∅ = ， AE A ∩ = (9) 排中律 A∪ A E =

(10)矛盾律A∩A= (11)全补律⑧=E,E= (12)双重否定律A=A (13)补交转换律A-B=A∩B 特别要指出的是,有些运算规律,如结合律,分配律,德·摩根律,吸收律等可以推广到集族 的情况,设{A4n}aes为集族,B为一集合,则分配律的形式为 BU∩4)=∩(BUA),B∩(U4)=U(B∩4) 结合律的形式为 (U4儿U(UA)=∪4,其中S和S2是S的子集 德·摩根律的形式为 A=∩A A B-4=∩B-4)B-∩4=U(B-4) 以上运算规律并不独立,可用其中的某些规律导出其他规律。这一点留待讲述布尔代数时再作 详细讨论。 作业 1.设P,Q,R是多重集,下列等式成立吗? (P由gdR=P(QR 2.设A,B,C为全集E的任意三个子集,已知:A∩B=A∩C,A∩B=A∩C,证明,B=C 3.化简下列各式 (1)(AnBU(A-B):(2)AU(B-A)-B (3)((AUBUC)N(AUB))-((AU(B-C))0A) 4.设A,B,C为全集E的任意三个子集,证明 (1)AcC,BcC当且仅当A∪BcC (2)CgA,CcB当且仅当CcA∩B 5.75名儿童到游乐场去玩,他们可以骑旋转木马,坐滑行铁道,乘宇宙飞船。已知其中20人这三种东西 都玩过,其中55人至少乘坐过其中的两种。若每样乘坐一次的费用是5元,游乐场总共收入700元,试确 定有多少儿童没有乘坐其中任何一种

6 (10) 矛盾律 A A ∩ = ∅ (11) 全补律 ∅ = E ， E = ∅ (12) 双重否定律 A = A (13) 补交转换律 A− = B AB ∩ 特别要指出的是，有些运算规律，如结合律，分配律，德·摩根律，吸收律等可以推广到集族 的情况，设{ } Aα α∈S 为集族， B 为一集合，则分配律的形式为 ( )( ) S S B A BA α α α α ∈ ∈ ∪ ∪ ∩ ∩= ， ( )( ) S S B A BA α α α α ∈ ∈ ∩ ∩ ∪ ∪= 。 结合律的形式为 1 2 12 ( )( ) S S SS Aα A A α α α αα ∈ ∈∈ = ∪ ∪∪ ∪ ∪ ，其中 1 S 和 2 S 是 S 的子集。 德·摩根律的形式为 S S Aα Aα α α ∈ ∈ ∪ ∩= ， S S Aα Aα α α ∈ ∈ ∩ ∪= ( ) S S B A BA α α α α ∈ ∈ −=− ∪ ∩ ， ( ) S S B A BA α α α α ∈ ∈ −=− ∩ ∪ 以上运算规律并不独立，可用其中的某些规律导出其他规律。这一点留待讲述布尔代数时再作 详细讨论。 作业 1．设 P ，Q ， R 是多重集，下列等式成立吗？ () () PQ RP QR ⊕ ⊕=⊕ ⊕ 2．设 A ，B ，C 为全集 E 的任意三个子集，已知：AB AC ∩ ∩ = ，A∩ ∩ B AC = ，证明; B = C . 3. 化简下列各式 （1） ( )( ) A∩ ∪ B AB− ；（2） A∪( ) BA B − − ； （3） (( ) ( )) (( ( )) ) A∪∪ ∩ ∪ ∪ ∩ BC AB A BC A − − 。 4．设 A ， B ，C 为全集 E 的任意三个子集，证明 （1） A C ⊆ ， B ⊆ C 当且仅当 AB C ∪ ⊆ ； （2）C A ⊆ ，C B ⊆ 当且仅当C AB ⊆ ∩ 。 5．75 名儿童到游乐场去玩，他们可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船。已知其中 20 人这三种东西 都玩过，其中 55 人至少乘坐过其中的两种。若每样乘坐一次的费用是 5 元，游乐场总共收入 700 元，试确 定有多少儿童没有乘坐其中任何一种

§14集合列的极限 数列的极限定义可以通过适当的方式移植到集合列上来。 定义41称集族{4N为集合列,其中A∈E·子集合列{4ks的概念,参照子数列的概念可类似 我们首先回顾一下数列的极限定义 定义1对实数列{an},若存在实数a,使得对于VE>0,存在正整数N,使得当n>N时,恒有 an-akE,则称{an}存在极限a(可证明极限唯一),记作 lim a=a 定义2(1)若{an}是递增数列,则称{an}的上确界为{an}的极限(2)若{an}是递减数列,则称{an} 的下确界为{an}的极限;(3)对于一般数列{an},定义b=sSup{amn,cn= infa, i”则{b} 和{cn}分别为递减数列和递增数列。{bn}和{cn}的极限分别称为{an}的上极限,下极限(这是因为 imbn≥ lim c),记为 lima, lim a。若 lima= lim a,则称该值为{an}的极限,记作 lim a = lima =lim a 大家知道,定义1和定义2是等价的,定义2的形式可以很方便地移植到集合列上来 定义42设{4n}为一集合列,若 A2A2A2…An2An+彐 则称{4n}为递减集合列:若 ACACA,C… CA CA+ 则称{An}为递增集合列。递减和递增集合列统称为单调集合列 定义43(1)若{4}为递减集合列,则定义{4}的极限为∩41:(2)若{4}为递增集合列,则定

7 §1.4 集合列的极限 数列的极限定义可以通过适当的方式移植到集合列上来。 定义 4.1 称集族{ } Ai i∈` 为集合列，其中 A E i ∈ 。子集合列{ }k Ai k∈` 的概念，参照子数列的概念可类似 定义。 我们首先回顾一下数列的极限定义。 定义 1 对实数列{ }n a ，若存在实数 a ，使得对于∀ε > 0 ，存在正整数 Nε ，使得当 n N> ε 时，恒有 | | n a a − < ε ，则称{ }n a 存在极限 a （可证明极限唯一），记作 lim n n a a →∞ = 。 定义 2 （1）若{ }n a 是递增数列，则称{ }n a 的上确界为{ }n a 的极限；（2）若{ }n a 是递减数列，则称{ }n a 的下确界为{ }n a 的极限；（3）对于一般数列{ }n a ，定义 sup{ } n j jn b a = ≥ ， inf{ } n j jn c a = ≥ ，则{ }n b 和{ }n c 分别为递减数列和递增数列。{ }n b 和{ }n c 的极限分别称为{ }n a 的上极限，下极限（这是因为 lim lim n n n n b c →∞ →∞ ≥ ），记为 lim n n a →∞ ， lim n n a →∞ 。若lim lim n n n n a a →∞ →∞ = ，则称该值为{ }n a 的极限，记作 lim lim lim nn n n n n aa a →∞ →∞ →∞ = = 。 大家知道，定义 1 和定义 2 是等价的，定义 2 的形式可以很方便地移植到集合列上来。 定义 4.2 设{ } An 为一集合列，若 AAA AA 012 1 ⊇⊇ ⊇⊇ ⊇ ⊇ " " n n+ 则称{ } An 为递减集合列；若 AAA AA 012 1 ⊆⊆ ⊆⊆ ⊆ ⊆ " " n n+ 则称{ } An 为递增集合列。递减和递增集合列统称为单调集合列。 定义 4.3 （1）若{ } An 为递减集合列，则定义{ } An 的极限为 0 n n A ∞ = ∩ ；（2）若{ } An 为递增集合列，则定

义{4}的根限为41,()对任一集合列4},定义B=U4,CG=∩4,则{B},C 分别为递减集合列,递增集合列。{Bn},{Cn}的极限分别称为{An}的上极限(记作 lim a),下极限 im4=∩UA,lim4=U∩4 若 lim a=limA,则称该集合为{An}的极限,记作limA= lim a=1imAn,此时称{An}是 收敛的 注:从定义可立即看出 (1)x∈lmA分x属于{4}中无限个集合,即存在{4}的子集合列{4} 使得x∈A,Vk∈N (2)x∈limA分x属于{An}中几乎所有集合(即x仅可能不属于有限个An),也就是说,存在正 整数N,使得当n>N时,恒有x∈A。 (3)lim a lim a (4){An}是收敛的分→属于{An}中无限个集合的元素必属于{An}中几乎所有集合 关于集合列的极限还有如下等价定义。 定义44设{4n}是一集合列,E为全集,若对于任意x∈E,存在正整数Nx,使得要么(1)当n>N 时,恒有x∈An;要么(2)当n>N时,恒有xgA,则称{4n}收敛于A(A是由满足(1)的所 有元素构成) 注:若集合列对应的特征函数列点点收敛,则集合列存在极限 例41(1)设A=[n,∞),则4}是递减集合列,ImA=∩[n,∞)=② (2)设A=(-0,n,则{4}是递增集合列,1mA=U,n =(-00.0

8 义{ } An 的极限为 0 n n A ∞ = ∪ ；（3）对任一集合列{ } An ，定义 n k k n B A ∞ = =∪ ， n k k n C A ∞ = =∩ ，则{ } Bn ，{ } Cn 分别为递减集合列，递增集合列。{ } Bn ，{ } Cn 的极限分别称为{ } An 的上极限（记作 lim n n A →∞ ），下极限 （记作 lim n n A →∞ ）。即 0 lim n k n n kn A A ∞ ∞ →∞ = = =∩∪ ， 0 lim n k n n kn A A ∞ ∞ →∞ = = =∪∩ 。 若 lim lim n n n n A A →∞ →∞ = ，则称该集合为{ } An 的极限，记作 lim lim lim nnn n n n A A A →∞ →∞ →∞ = = ，此时称{ } An 是 收敛的。 注：从定义可立即看出： （1） lim n n x A →∞ ∈ ⇔ x 属于{ } An 中无限个集合，即存在{ } An 的子集合列{ }k Ai ， 使得 ki x∈ A ，∀ ∈k ` 。 （2） lim n n x A →∞ ∈ ⇔ x 属于{ } An 中几乎所有集合（即 x 仅可能不属于有限个 An ），也就是说，存在正 整数 Nx ，使得当 x n N> 时，恒有 n x∈ A 。 （3） lim lim n n n n A A →∞ →∞ ⊇ 。 （4）{ } An 是收敛的⇔ 属于{ } An 中无限个集合的元素必属于{ } An 中几乎所有集合。 关于集合列的极限还有如下等价定义。 定义 4.4 设{ } An 是一集合列，E 为全集，若对于任意 x∈ E ，存在正整数 Nx ，使得要么（1）当 x n N> 时，恒有 n x∈ A ；要么（2）当 x n N> 时，恒有 n x∉ A ，则称{ } An 收敛于 A （ A 是由满足（1）的所 有元素构成）。 注：若集合列对应的特征函数列点点收敛，则集合列存在极限。 例 4.1 (1) 设 [ , ) A n n = ∞ ，则{ } An 是递减集合列， 0 lim [ , ) n n n A n ∞ →∞ = =∩ ∞ =∅ ； （2）设 ( ,] A n n = −∞ ，则{ } An 是递增集合列， 0 lim ( , ] ( , ) n n n A n ∞ →∞ = =∪ −∞ = −∞ ∞ ；

(3)设S1,S2是两个集合,作集合列如下 A ∫S,niod s. n is even 则 lim a=SUS2,imAn=S1∩S2 (4)如下定义集合列{A n=1,2, A2n=[0 此处集合列的指标集为Z。事实上,就研究集合列的极限性质来说,集合列中有限个集合的改变是没有 影响的。子集合列{A2n}和{A2n}都是单调集合列。limA2n1=[0,2),limA2n=[0,1。所以由 上,下极限的性质知(见注) imAn=[0,2)U0,1]=[0,2),limA2=[O,2)∩[o,]=[0,1。 注:事实上,设集合列{A}是两个集合列{Bn}和{Cn}的并,则 imAn= lim B. UlimC,imAn= lim B∩ lim C。 集合列的极限与数列的极限有许多平行的结论 定理41{An}的极限存在台{An}的任意子列有极限,且极限都相等 以下是关于极限运算性质的两个定理 定理42设{4n}为一集合列,B为一集合,则 (1)B-lim A,=lim(B-A):(2)B-lim A, lim(B-A) n→① 特别地,取B=全集E,可相应得到 0(4)=mx,(2)(m)不 证明:利用德·摩根律

9 （3）设 1 S ， 2 S 是两个集合，作集合列如下 1 2 , is odd , is even n S n A S n ⎧ = ⎨ ⎩ ， 则 1 2 lim n n ASS →∞ = ∪ ， 1 2 lim n n ASS →∞ = ∩ 。 （4）如下定义集合列{ } An 2 1 2 1 [0, 2 ] 2 1 , 1, 2, 1 [0, 1 ] 2 n n A n n A n − ⎧ = − ⎪⎪ − ⎨ = ⎪ = + ⎪⎩ "。 此处集合列的指标集为 ]+ 。事实上，就研究集合列的极限性质来说，集合列中有限个集合的改变是没有 影响的。子集合列 2 1 { } A n− 和 2 { } A n 都是单调集合列。 2 1 lim [0,2) n n A − →∞ = ， 2 lim [0,1] n n A →∞ = 。所以由 上，下极限的性质知（见注） lim [0,2) [0,1] [0,2) n n A →∞ = = ∪ ， lim [0,2) [0,1] [0,1] n n A →∞ = ∩ = 。 注：事实上，设集合列{ } An 是两个集合列{ } Bn 和{ } Cn 的并，则 lim lim lim nnn nnn ABC →∞ →∞ →∞ = ∪ ， lim lim lim nnn nnn ABC →∞ →∞ →∞ = ∩ 。 集合列的极限与数列的极限有许多平行的结论。 定理 4.1 { } An 的极限存在⇔ { } An 的任意子列有极限，且极限都相等。 以下是关于极限运算性质的两个定理 定理 4.2 设{ } An 为一集合列， B 为一集合，则 （1） lim lim( ) n n n n B A BA →∞ →∞ − =− ；（2） lim lim( ) n n n n B A BA →∞ →∞ − =− 。 特别地，取 B = 全集 E ，可相应得到 （1）( ) lim lim n n n n A A →∞ →∞ = ；（2） lim lim n n n n A A →∞ →∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 证明：利用德·摩根律

定理43设{An},{Bn}为两个集合列,则 (1) lim A, lim B clim(A, UB)clim A, Ulim B, clim(A, UB,)=lim A, Lim B (2)m4nimB=im(4∩B)sm4nmB,sm4nB)s四m4nmB (3)lim(Am, -B,)c lim A,-lim B,, lim(A-B)=lim A, -lim B 特别地,当{4n},{Bn}都收敛时,则相应地有 (1){A∪Bn}收敛,且IimA1UBn= lim A. Lim B. a (2){A1∩Bn}收敛,且 lim a∩Bn= lim a∩imBn (3){4n-Bn}收敛,且lim(A-Bn)=limA- lim B 作业 1.设{A4}为一集合列,其中An=0,1+-],n=1,2,…,求 :lim a和 alim a,{4n}收敛吗? 2.证明定理43的(1) 15集合的特征函数 定义51设E是全集,AsE,函数x4:E→>{0,1}定义为 j1 x∈A x4(x) 0.xE A 称ZA为集合A的特征函数 下面给出特征函数的一些性质 定理51设A和B是全集E的子集,对于Vx∈E,下列各式成立 (1)x4(x)=0当且仅当A= (2)x4(x)≡1当且仅当A=E (3)4(x)≤x(x)当且仅当AcB (4)x4(x)=x(x)当且仅当A=B (5)xn2(x)=x4(x)·x2(x)

10 定理 4.3 设{ } An ，{ } Bn 为两个集合列，则 （1） lim lim lim( ) lim lim lim( ) lim lim n n nn n n nn n n n n nn n n n n A B AB A B AB A B →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ ∪ ∪ ∪ ∪∪ JJJM JJJ ⊆⊆ ⊆= M （2） lim lim lim( ) lim lim lim( ) lim lim n n nn n n nn n n n n nn n n n n A B AB A B AB A B →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ ∩ ∩∩ ∩∩ JJJM JJJ =⊆ ⊆⊆ M （3） lim( ) lim lim nn n n n n n A B AB →∞ →∞ →∞ −⊆ − ， lim( ) lim lim nn n n n n n A B AB →∞ →∞ →∞ −= − 特别地，当{ } An ，{ } Bn 都收敛时，则相应地有 （1）{ } A B n n ∪ 收敛，且 lim lim lim nn n n n nn A BAB →∞ →∞ →∞ ∪ ∪ = ； （2）{ } A B n n ∩ 收敛，且 lim lim lim nn n n n nn A BAB →∞ →∞ →∞ ∩ ∩ = ； （3）{ } A B n n − 收敛，且 lim( ) lim lim nn n n n nn A B AB →∞ →∞ →∞ −= − 。 作业 1． 设{ } An 为一集合列，其中 1 [0,1 ] An n = + ， n =1,2, , " 求 lim n n A →∞ 和 lim n n A →∞ ，{ } An 收敛吗？ 2． 证明定理 4.3 的（1）。 §1.5 集合的特征函数 定义 5.1 设 E 是全集， A E ⊆ ，函数 χ A ： E →{0,1} 定义为 1, ( ) 0, A x A x x A χ ⎧ ∈ = ⎨ ⎩ ∉ 。 称 χ A 为集合 A 的特征函数。 下面给出特征函数的一些性质 定理 5.1 设 A 和 B 是全集 E 的子集，对于∀x∈ E ，下列各式成立 （1） () 0 A χ x ≡ 当且仅当 A = ∅ ； （2） () 1 A χ x ≡ 当且仅当 A = E ； （3） () () A B χ x ≤ χ x 当且仅当 A B ⊆ ; （4） () () A B χ x = χ x 当且仅当 A = B ; （5） () () () AB A B χ x = ⋅ χ χ x x ∩ ；