集合的基本关系及运算 编稿:丁会敏审稿:王静伟 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别一些给定集合的子集.在具体情境中,了解空集和全集的 含义 2.理解两个集合的交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集 的补集的含义,会求给定子集的补集 【要点梳理】 要点一、集合之间的关系 1.集合与集合之间的“包含”关系 集合A是集合B的部分元素构成的集合,我们说集合B包含集合A 子集:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集 合B的子集( subset)记作:AcB(或BA),当集合A不包含于集合B时,记作AB,用Vem图表示 两个集合间的“包含”关系:AB(或B彐A) B 要点诠释: (1)“A是B的子集”的含义是:A的任何一个元素都是B的元素,即由任意的x∈A,能推出x∈B (2)当A不是B的子集时,我们记作“A女B(或B∠A)”,读作:“A不包含于B”(或“B不包含 A”) 真子集:若集合AcB,存在元素x∈B且xgA,则称集合A是集合B的真子集( proper subset) 记作:AB(或BA) 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 2集合与集合之间的“相等”关系 AB且BcA,则A与B中的元素是一样的,因此A=B 要点诠释: 任何一个集合是它本身的子集,记作AcA 要点二、集合的运算 1.并集 般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作:AUB 读作:“A并B”,即:AUB={x|x∈A,或x∈B Venn图表示 B A UB
集合的基本关系及运算 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的 含义． 2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集 的补集的含义，会求给定子集的补集． 【要点梳理】 要点一、集合之间的关系 1.集合与集合之间的“包含”关系 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合，我们说集合 B 包含集合 A； 子集：如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集 合 B 的子集(subset).记作： A B( B A) 或 ，当集合 A 不包含于集合 B 时，记作 A B，用 Venn 图表示 两个集合间的“包含”关系： A B( B A) 或 要点诠释： （1）“ A 是 B 的子集”的含义是： A 的任何一个元素都是 B 的元素，即由任意的 x A ，能推出 x B ． （2）当 A 不是 B 的子集时，我们记作“ AB (或 B A )”，读作：“ A 不包含于 B ”（或“ B 不包含 A ”）． 真子集：若集合 A B ，存在元素 x B 且 x A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset). 记作：A B(或 B A) 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系 A B B A 且 ，则 A 与 B 中的元素是一样的，因此 A=B 要点诠释： 任何一个集合是它本身的子集，记作 A A ． 要点二、集合的运算 1.并集 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作：A∪B 读作：“A 并 B”，即：A∪B={x|x A，或 x B} Venn 图表示：
要点诠释 (1)“x∈A,或x∈B”包含三种情况:“x∈A但x∈B”;“x∈B,但x∈A”;“x∈A,且x∈B (2)两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现 2.交集 般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集:记作:A∩B,读 作:“A交B”,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}:交集的Venn图表示 B A∩B 要点诠释: (1)并不是任何两个集合都有公共元素,当集合A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而 是A∩B= (2)概念中的“所有”两字的含义是,不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”,同时“A 与B的公共元素都属于A∩B” (3)两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有公共元素组成的集合 3.补集 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集, 通常记作U. 补集:对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相 对于全集U的补集( complementary set),简称为集合A的补集,记作:痤A;即A={xx∈U且xA} 补集的Venn图表示: CUA 要点诠释 (1)理解补集概念时,应注意补集A是对给定的集合A和U(AcU)相对而言的一个概念,一个 确定的集合A,对于不同的集合U,补集不同 (2)全集是相对于研究的问题而言的,如我们只在整数范围内研究问题,则Z为全集;而当问题扩展 到实数集时,则R为全集,这时Z就不是全集 (3)A表示U为全集时A的补集,如果全集换成其他集合(如R)时,则记号中“U”也必须换成 相应的集合(即QA)
要点诠释： （1）“x A，或 x B”包含三种情况：“ x A x B ,但 ”；“ x B x A ,但 ”；“ x A x B ,且 ”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现 一次). 2.交集 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B 的交集；记作：A∩B，读 作：“A 交 B”，即 A∩B={x|x A，且 x B}；交集的 Venn 图表示： 要点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合 A 与 B 没有公共元素时，不能说 A 与 B 没有交集，而 是 A B =． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B 中的任意元素都是 A 与 B 的公共元素”，同时“A 与 B 的公共元素都属于 A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集， 通常记作 U. 补集：对于全集 U 的一个子集 A，由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相 对于全集 U 的补集(complementary set)，简称为集合 A 的补集，记作： 痧U U A A={x|x U x A} ；即 且 ； 补集的 Venn 图表示： 要点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集 ðUA 是对给定的集合 A 和 U A U ( ) 相对而言的一个概念，一个 确定的集合 A ，对于不同的集合 U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则 Z 为全集；而当问题扩展 到实数集时，则 R 为全集，这时 Z 就不是全集． （3） ðUA 表示 U 为全集时 A 的补集，如果全集换成其他集合（如 R ）时，则记号中“U”也必须换成 相应的集合（即 ðRA ）．
4.集合基本运算的一些结论 A∩BcA,A∩BcB,A∩A=A,A=,A∩B=B∩A AcA∪B,BcA∪B,A∪A=A,AUO=A,A∪B=B∪A (癞A∪A=U(uA)∩A= 若A∩B=A,则AcB,反之也成立 若AUB=B,则AcB,反之也成立 若x∈(A∩B),则x∈A且x∈B 若x∈(AUB),则x∈A,或x∈B 求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且” 与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图 或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法 【典型例题】 类型一、集合间的关系 例1.集合4==2keNy,集合B={b=D-(2-1N),那么AB间的 关系是() A AB B. B EA C. A=B D.以上都不对 【答案】B 【解析】先用列举法表示集合A、B,再判断它们之间的关系.由题意可知,集合A是非负偶数集 0(n为非负偶数时) 即A=(2468,集合B中的元素b21-(yr-)={ (n+1)(n-1)(n为正奇数时 又(n+1)n-1)(n为正奇数时)表示0或正偶数,但不是表示所有的正偶数,即n=1,3,5,7,…由 (n+1)n-1)依次得0,2,6,12,…,即B={0,2612,20,…} 综上知,B吴A,应选B 【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于:弄清两个集合的元素的构成,也就是弄清楚集合是 由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化(如用列举法来表示集合)、形象化(用Venn图, 或数形集合表示) 举一反三 【变式1】若集合A={xx=2k-1k∈+},B={x|x=4±1,l∈+},则( B.B吴AC.A=BD.AUB=Z 【答案】C 例2.写出集合{a,b,c}的所有不同的子集 【解析】不含任何元素子集为⑧,只含1个元素的子集为{a},{b},{c},含有2个元素的子集有{a b},{a,c},{b,c},含有3个元素的子集为{a,b,c},即含有3个元素的集合共有2=8个不同的子集 如果集合增加第4个元素d,则以上8个子集仍是新集合的子集,再将第4个元素d放入这8个子集中 会得到新的8个子集,即含有4个元素的集合共有2=16个不同子集,由此可推测,含有n个元素的集合 共有2个不同的子集
4.集合基本运算的一些结论 A B A A B B A A=A A = A B=B A ， ， ， ， A A B B A B A A=A A =A A B=B A ， ， ， ， U U ( A) A=U ( A) A= 痧 ， 若 A∩B=A，则 A B ，反之也成立 若 A∪B=B，则 A B ，反之也成立 若 x (A∩B)，则 x A 且 x B 若 x (A∪B)，则 x A，或 x B 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn 图 或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法. 【典型例题】 类型一、集合间的关系 例 1. 集合 A a a k k N = = | 2 , ，集合 1 2 | 1 ( 1) ( 1), 8 n B b b n n N = = − − − ，那么 A B, 间的 关系是（ ）. A. A B B. B A C. A = B D.以上都不对 【答案】B 【解析】先用列举法表示集合 A 、 B ，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合 A 是非负偶数集， 即 A = 0,2,4,6,8, .集合 B 中的元素 1 2 1 ( 1) ( 1) 8 n b n = − − − 0( ) 1 ( 1)( 1)( ) 4 n n n n = + − 为非负偶数时 ， 为正奇数时 .而 1 ( 1)( 1) 4 n n + − （ n 为正奇数时）表示 0 或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即 n = 1,3,5,7, .由 1 ( 1)( 1) 4 n n + − 依次得 0,2,6,12， ，即 B = 0 2 612 20 ，，，， ， . 综上知， B A ，应选 B . 【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是 由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用 Venn 图， 或数形集合表示）. 举一反三： 【变式 1】若集合 A x x k k z B x x l l z = = − = = | 2 1, , | 4 1, ，则（ ）. A. A B B. B A C. A = B D. A B Z = 【答案】C 例 2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集. 【解析】不含任何元素子集为 ，只含 1 个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有 2 个元素的子集有{a， b}，{a，c}，{b，c}，含有 3 个元素的子集为{a，b，c}，即含有 3 个元素的集合共有 2 3 =8 个不同的子集. 如果集合增加第 4 个元素 d，则以上 8 个子集仍是新集合的子集，再将第 4 个元素 d 放入这 8 个子集中， 会得到新的 8 个子集，即含有 4 个元素的集合共有 2 4 =16 个不同子集，由此可推测，含有 n 个元素的集合 共有 2 n 个不同的子集
【总结升华】要写出一个集合的所有子集,我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数 相同时,应依次将每个元素考虑完后,再写剩下的子集如本例中要写出2个元素的子集时,先从a起 与每个元素搭配有{a,b},{a,c},然后不看a,再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的 子集:②和它本身. 举一反三: 【变式1】已知{ab}≤A吴{a,cd,e},则这样的集合A有个 【答案】7个 【变式2】同时满足:①M∈{2345}:②a∈M,则6-a∈M的非空集合M有() A.16个B.15个C.7个D.6个 【答案】C 【解析】a=3时,6-a=3;a=1时,6-a=5;a=2时,6-a=4:a=4时,6-a=2;a=5 时,6-a=1:∷非空集合M可能是:{3,15}{24,135}{2,34},{245},{2345}共7 个.故选C. 例3.集合A={x|y=x2+1},B={yy=x2+1},C={(x,y)ly=x2+1},D={y=x2+1}是否表示同一集合? 【答案】以上四个集合都不相同 【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x,故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围, 即函数的定义域A=(-∞,+∞) 集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y,故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围,即函数的 值域B=[1,+∞); 集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点(x,y),故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的 集合 集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合,该集合中只有一个元素:方程y=x2+1 【总结升华】认清集合的属性,是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法,是列举法还是 描述法;其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素,准确理解对代表元素的限制条件 举一反三 【变式1】设集合M={(x,y)y=3x+4},N={(x,y)y 2},则M∩N=( {x=-1,y=1} C.(-1,1) D.{(-1,1)} 【答案】D 【解析】排除法:集合M、N都是点集,因此M∩N只能是点集,而选项A表示二元数集合,选项B 表示二元等式集合,选项C表示区间(-1,1)(无穷数集合)或单独的一个点的坐标(不是集合),因此可 以判断选D 【变式2】设集合M={x|y=2x+1,x∈},N={yy=2x+1,x∈},则M与N的关系是( A. NU B. MUN C. N=M D.N∩M=② 【答案】A
【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数 相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出 2 个元素的子集时，先从 a 起，a 与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看 a，再看 b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的 子集： 和它本身. 举一反三： 【变式 1】已知 a b A , a b c d e , , , , ，则这样的集合 A 有 个. 【答案】7 个 【变式 2】同时满足：① M 1,2,3,4,5 ；② a M ，则 6− a M 的非空集合 M 有（ ） A. 16 个 B. 15 个 C. 7 个 D. 6 个 【答案】C 【解析】 a = 3 时， 6 3 − = a ； a =1 时， 6 5 − = a ； a = 2 时， 6 4 − = a ； a = 4 时， 6 2 − = a ； a = 5 时， 6 1 − = a ； 非空集合 M 可能是： 3 , 1,5 , 2,4 , 1,3,5 , 2,3,4 , 1,2,4,5 ，1,2,3,4,5 共 7 个.故选 C. 例 3．集合 A={x|y=x2 +1}，B={y|y=x2 +1}，C={(x,y)|y=x2 +1}，D={y=x2 +1}是否表示同一集合？ 【答案】以上四个集合都不相同 【解析】集合 A={x|y=x2 +1}的代表元素为 x，故集合 A 表示的是函数 y=x 2 +1 中自变量 x 的取值范围， 即函数的定义域 A= ( , ) − + ； 集合 B={y|y=x2 +1}的代表元素为 y，故集合 B 表示的是函数 y=x 2 +1 中函数值 y 的取值范围，即函数的 值域 B= [1, ) + ； 集合 C={(x,y)|y=x2 +1}的代表元素为点（x，y），故集合 C 表示的是抛物线 y=x 2 +1 上的所有点组成的 集合； 集合 D={y=x 2 +1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程 y=x 2 +1． 【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是 描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件． 举一反三： 【变式 1】 设集合 M x y y x = = + {( , ) | 3 4}， N x y y x = = − − {( , ) | 3 2} ，则 M N = （ ） A. { 1,1} − B. { 1, 1} x y = − = C. ( 1,1) − D. {( 1,1)} − 【答案】D 【解析】排除法：集合 M、N 都是点集，因此 M N 只能是点集，而选项 A 表示二元数集合，选项 B 表示二元等式集合，选项 C 表示区间 ( 1,1) − （无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可 以判断选 D． 【变式 2】设集合 M x y x x Z = = + { | 2 1, }，N y y x x Z = = + { | 2 1, } ，则 M 与 N 的关系是（ ） A. N M Ü B. M N Ü C. N M= D. N M = 【答案】A
【解析】集合M表示函数y=2x+1,x∈Z的定义域,有M={整数} 集合N表示函数y=2x+1,x∈Z的值域,有N={奇数},故选A 【高清课堂:集合的概念、表示及关系377430例2】 【变式3】设M={x|x=a2+1,a∈N},N={x|x=b2-4b+5,beN},则M与N满足() A.M=NB.M兵NC.N吴MD.M∩N=② 【答案】B 【解析】当a∈N时,元素x=a2+1,表示正整数的平方加1对应的整数,而当b∈N时,元素 x=b2-4b+5=(b-2)2+1,其中b-2可以是0,所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数,即M中元素 都在N中,但N中至少有一个元素x=1不在M中,即MN,故选B. 【高清课堂:集合的概念、表示及关系377430例3】 例 已知M={x,xyx-y},N=10y,若M=N (x+y)+(x2+y2)+…+(x+y) B.200 C 100 【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手,本题应侧重考虑集合中元素的互异性. 【答案】D 【解析】由M=N,知M,N所含元素相同由0∈{0,|x|,y}可知0∈{x,xy, 若x=0,则xy=0,即x与xy是相同元素,破坏了M中元素互异性,所以x≠0. 若x·y=0,则x=0或y=0,其中x=0以上讨论不成立,所以y=0,即N中元素0,y是相同元素,破坏 了N中元素的互异性,故xy≠0 若√x-y=0,则x=y,M,N可写为 M={x,x2,0)},N={0,|x|,x} 由MN可知必有x2=|x|,即|x|2=|x x|=0或|x|=1 若|x|=0即x=0,以上讨论知不成立 若|x|=1即x=±1 当x=1时,M中元素|x与x相同,破坏了M中元素互异性,故x≠1 当x=1时,M{-1,1,0},N={0,1,-1}符合题意,综上可知,x=y=-1 (x+y)+(x2+y2)+…+(x+y)=2+2-2+2+…+2=0 【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征,而找不到题目的突破口.因此, 集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点 举一反三 【变式1】设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,-,b},则ba=() 【答案】2 【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征:
【解析】集合 M 表示函数 y x x Z = + 2 1, 的定义域，有 M ={ } 整数 ； 集合 N 表示函数 y x x Z = + 2 1, 的值域，有 N ={ } 奇数 ，故选 A. 【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例 2】 【变式 3】 设 M={x|x=a2 +1，a N+}，N={x|x=b2 -4b+5，b N+}，则 M 与 N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M∩N= 【答案】B 【解析】 当 a N+时，元素 x=a 2 +1，表示正整数的平方加 1 对应的整数，而当 b N+时，元素 x=b2 -4b+5=(b-2)2 +1，其中 b-2 可以是 0，所以集合 N 中元素是自然数的平方加 1 对应的整数，即 M 中元素 都在 N 中，但 N 中至少有一个元素 x=1 不在 M 中，即 M N，故选 B. 【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例 3】 例 4 ． 已 知 M = {x, xy, x − y},N = {0, x , y}, 若 M=N ， 则 + + + 2 (x y) (x ) ( ) 2 100 100 y ++ x + y = ． A．－200 B．200 C．－100 D．0 【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性． 【答案】D 【解析】由 M=N，知 M，N 所含元素相同.由 O {0，|x|，y}可知 O {x,xy, x-y} 若 x=0，则 xy=0，即 x 与 xy 是相同元素，破坏了 M 中元素互异性，所以 x≠0. 若 x·y=0，则 x=0 或 y=0，其中 x=0 以上讨论不成立，所以 y=0，即 N 中元素 0，y 是相同元素，破坏 了 N 中元素的互异性，故 xy≠0 若 x-y=0 ，则 x=y，M，N 可写为 M={x，x 2，0}，N={0，|x|，x} 由 M=N 可知必有 x 2 =|x|，即|x|2 =|x| ∴|x|=0 或|x|=1 若|x|=0 即 x=0，以上讨论知不成立 若|x|=1 即 x=±1 当 x=1 时，M 中元素|x|与 x 相同，破坏了 M 中元素互异性，故 x≠1 当 x=-1 时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1 + + + 2 (x y) (x ) ( ) 2 100 100 y ++ x + y =-2+2-2+2+…+2=0 【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此， 集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点． 举一反三： 【变式 1】设 a，b R，集合 b {1,a+b,a}={0, ,b} a ，则 b-a=( ) 【答案】2 【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：
l∈{0,-,b},0∈{1,a+b,a},又∵a≠0,a+b=0 ∴当b=1时,a=-1,∴{0,-b}={0,-1,1} 当-=1时,∴b=a且a+b=0,∴a=b=0(舍) ∴综上:a=-1,b=1, 类型二、集合的运算 例5.设集合A={xx=3∈公},B={yy=3k+k∈2},C={-|=3k+2k∈2 D={wlw=6k+1k∈2},求A∩B,A∩C,B∩C,B∩D 【答案】A∩B=A∩C=B∩C=,B∩D=D 【解析】先将集合A、B、C、D转化为文字语言叙述,以便弄清楚它们的构成,再求其交集即可. 集合A={x|x=3k,k∈以表示3的倍数所组成的集合 集合B={x|x=3+1k∈公}表示除以3余1的整数所组成的集合 集合C={xx=3k+2k∈2}表示除以3余2的整数所组成的集合 集合D={x|x=6k+1k∈2}表示除以6余1的整数所组成的集合 ∴A∩B=A∩C=B∩C=②,B∩D=D 【总结升华】求两个集合的交集或并集,关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的,因而有时需要 对集合进行转化,或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合,有利于弄清集合的元 素的构成类似地,若一个集合元素的特征由不等式给出时,利用数轴就能使问题直观形象起来 举一反三 【变式1】已知集合M={yly=x2-4x+3,x∈R},N={yly=x2-2x+8,x∈R},则M∩N等于() B. R C.{-1,9} 【答案】D 【解析】集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值范围,故可知:M={yy≥-1},N={y|y≤9},所 以M∩N{y|-1≤y≤9},选D 例6.设集合M={3,a},N={x|x2-2x<0,x∈2},M∩N={1},则MUN为() A.{1,3,a}B.{1,2,3,a}C.{1,2,3}D.{1 【思路点拨】先把集合N化简,然后再利用集合中元素的互异性解题 【答案】D 【解析】由N={x|x2-2x<0,x∈功}可得:N={x0<x<2,x∈Z}={1},又由M∩N={1},可知1∈M,即a=1, 故选D 举一反三: 【变式1】(1)已知:M={xx≥2},P={x|x2-x-2=0},求MUP和M∩P (2)已知:A={y|y=3x2},B={y|y=-x2+4},求:A∩B,AUB (3)已知集合A={-3,a2,1+a},B={a-3,a2+1,2a-1},其中a∈R,若A∩B={-3},求AUB. 【答案】(1){xx≥2或x=1},{2}:(2){y|0≤y≤4},R;(3){-4,-3 【解析】(1)P={2,-1},MUP={x|x≥2或x=1},M∩P={2}
b 1 {0, ,b},0 {1,a+b,a} a 0 a b=0 a + ，又 ， ∴当 b=1 时，a=-1， b {0 ,b}={0,-1,1} a ， 当 b =1 a 时，∴b=a 且 a+b=0，∴a=b=0(舍) ∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2. 类型二、集合的运算 例 5. 设集合 A x x k k Z B y y k k Z = = = = + | 3 , , | 3 1, ， C z z k k Z = = + | 3 2, ， D w w k k Z = = + | 6 1, ，求 A B A C B C B D ,,, . 【答案】 A B A C B C = = = , B D D= 【解析】先将集合 A 、 B 、C 、 D 转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可. 集合 A x x k k Z = = | 3 , 表示 3 的倍数所组成的集合； 集合 B x x k k Z = = + | 3 1, 表示除以 3 余 1 的整数所组成的集合； 集合 C x x k k Z = = + | 3 2, 表示除以 3 余 2 的整数所组成的集合； 集合 D x x k k Z = = + | 6 1, 表示除以 6 余 1 的整数所组成的集合； = = = A B A C B C , B D D= . 【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要 对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元 素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来. 举一反三： 【变式 1】已知集合 M={y|y=x2 -4x+3，x R}，N={y|y=-x 2 -2x+8，x R}，则 M∩N 等于( ) A. B. R C. {-1，9} D. [-1，9] 【答案】D 【解析】集合 M、N 均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所 以 M∩N={y|-1≤y≤9}，选 D. 例 6. 设集合 M={3，a}，N={x|x2 -2x<0，x Z}，M∩N={1}，则 M∪N 为( ) A. {1，3，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} D. {1，3} 【思路点拨】先把集合 N 化简，然后再利用集合中元素的互异性解题． 【答案】D 【解析】由 N={x|x2 -2x<0，x Z}可得：N={x|0<x<2，x Z}={1}，又由 M∩N={1}，可知 1 M，即 a=1， 故选 D. 举一反三： 【变式 1】（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x2 -x-2=0}，求 M∪P 和 M∩P； （2）已知：A={y|y=3x2 }， B={y|y=-x 2 +4}， 求：A∩B，A∪B； （3）已知集合 A={-3， a 2 ，1+a}， B={a-3， a 2 +1， 2a-1}， 其中 a R，若 A∩B={-3}，求 A∪B. 【答案】（1）{x|x≥2 或 x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}. 【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2 或 x=-1}，M∩P={2}
(2)∵A={yy≥0},B={yly≤4},A∩B={y|0≤y≤4},AUB=R (3)∵A∩B={-3},-3∈B,则有: ①a-3=-3→a=0,A={-3,0,1},B={-3,1,-1}→A∩B={-3,1},与已知不符,∴a≠0 ②2a-1=-3→a=1,∴A={-3,1,0},B={-4,2,-3},符合题设条件,∴AUB={-4,-3,0,1, 【总结升华】此例题既练习集合的运算,又考察了集合元素的互异性.其中(1)易错点为求并集时 是否意识到要补上孤立点-1:而(2)中结合了二次函数的值域问题:(3)中根据集合元素的互异性,需 要进行分类讨论,当求出a的一个值时,又要检验是否符合题设条件 【高清课堂:集合的运算377474例5】 【变式2】设集合A={2,a2-2a,6},B={2,2a2,3a-6},若A∩B={2,3},求AUB 【答案】{2,3,6,18} 【解析】由A∩B={2,3},知元素2,3是A,B两个集合中所有的公共元素,所以3∈{2,a2-2a,6}, 则必有a2-2a=3,解方程a2-2a-3=0得a=3或a=1 当a=3时,A={2,3,6},B={2,18,3} AUB={2,3,6}U{2,18,3}={2,3,6,18} 当a=1时,A={2,3,6},B={2,2,9} 这既不满足条件A∩B={2,3},也不满足B中元素具有互异性,故a=-1不合题意,应舍去 综上AUB={2,3,6,18} 例7已知全集U={2345},A={x1x2+px+4=0},求CA 【思路点拨】CA隐含了A∈U,对于AcU,注意不要忘记A=必的情形 【答案】当-4<p<4时,CA=(12345}:当P=-4时,CA={1345}:当p=-5时,CA=(235} 【解析】 当A=②时,方程x2+px+4=0无实数解 此时△=p2-16<0,-4<p<4.CnA=U 当A≠时,二次方程x2+px+4=0的两个根x1,x2,必须属于U 因为x1x2=4,所以只可能有下述情形: 当x=x2=2时,p=-4,此时A={2},CA={1345} 当x=1x2=4时,p=-5,此时A={14},C={2,35} 综上所述,当-4<P<4时,CA={2,34.5} 当p=-4时,CMA={1345}: 当P=-5时,CA={2,3,5 【总结升华】求集合A的补集,只需在全集中剔除集合A的元素后组成一个集合即可.由于本题中集 合A的元素不确定,因此必须分类讨论才行
（2）∵A={y|y≥0}， B={y|y≤4}， A∩B={y|0≤y≤4}， A∪B=R. （3）∵A∩B={-3}，-3 B，则有： ①a-3=-3a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}A∩B={-3，1}，与已知不符，∴a≠0； ②2a-1=-3a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A∪B={-4，-3，0，1， 2}. 【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时， 是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需 要进行分类讨论，当求出 a 的一个值时，又要检验是否符合题设条件. 【高清课堂：集合的运算 377474 例 5】 【变式 2】设集合 A={2，a 2 -2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若 A∩B={2，3}，求 A∪B. 【答案】｛2，3，6，18｝ 【解析】由 A∩B={2，3}，知元素 2，3 是 A，B 两个集合中所有的公共元素，所以 3 ｛2，a 2 -2a，6｝， 则必有 a 2 -2a=3，解方程 a 2 -2a-3=0 得 a=3 或 a=-1 当 a=3 时，A={2，3，6}，B={2，18，3} ∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝ 当 a=-1 时，A={2，3，6}，B={2，2，-9} 这既不满足条件 A∩B={2，3}，也不满足 B 中元素具有互异性，故 a=-1 不合题意，应舍去. 综上 A∪B=｛2，3，6，18｝ 例 7.已知全集 2 U A x x px = = + + = 1,2,3,4,5 , | 4 0 ，求 CuA. 【思路点拨】CuA 隐含了 A U ，对于 A U ，注意不要忘记 A= 的情形. 【答案】当 − 4 4 p 时，CuA= 1,2,3,4,5 ；当 p = −4 时，CuA= 1,3,4,5 ；当 p = −5 时，CuA= 2,3,5 . 【解析】 当 A= 时，方程 2 x px + + = 4 0 无实数解. 此时 2 = − − p p 16 0, 4 4 .CuA= U 当 A 时，二次方程 2 x px + + = 4 0 的两个根 1 2 x x, ，必须属于 U . 因为 1 2 x x = 4 ，所以只可能有下述情形： 当 1 2 x x = = 2 时， p = −4 ，此时 A =2 , CuA= 1,3,4,5 ； 当 1 2 x x = = 1, 4 时， p = −5 ，此时 A =1,4 , CuA= 2,3,5 . 综上所述，当 − 4 4 p 时，CuA= 1,2,3,4,5 ； 当 p = −4 时，CuA= 1,3,4,5 ； 当 p = −5 时，CuA= 2,3,5 . 【总结升华】求集合 A 的补集，只需在全集中剔除集合 A 的元素后组成一个集合即可.由于本题中集 合 A 的元素不确定，因此必须分类讨论才行
举一反三 【变式1】设全集U={x∈Nx≤8},若A∩(CB)={1,8},(C1A)∩B={2,6},CnA)∩(CB)={4,7}, 求集合A,B. 【答案】{1,3,5,8},{2,3,5,6} 【解析】全集U={1,2,3,4,5, 由A∩(CB)={1,8}知,在A中且不在B中的元素有1,8:由(CA)∩B={2,6},知 不在A中且在B中的元素有2,6;由(CA)∩(CB)={4,7},知不在A中且不在B中的 元素有4,7,则元素3,5必在A∩B中 由集合的图示可得 A={1,3,5,8},B={2,3,5,6} 类型三、集合运算综合应用 例8.已知全集A={x|-2≤x≤4},B={x|x>a} (1)若A∩B≠⑧,求实数a的取值范围 (2)若A∩B≠A,求实数a的取值范围 (3)若A∩B≠且A∩B≠A,求实数a的取值范围. 【思路点拨】(1)画数轴:(2)注意是否包含端点 【答案】(1)aa},又A∩B≠②,如图,a<4 (2)画数轴同理可得:a≥-2 (3)画数轴同理可得:如图,-2≤a<4. 【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算,但其本质是一个定区间,和一个动区间的问题.思路是 使动区间沿定区间滑动,数形结合解决问题 举一反三 【变式1】已知集合P={x|x21},M={a}.若PUM=P,则a的取值范围是 (-∞,-1 C.[-1,1 D.(-∞,-1]U[,+∞) 【答案】C 【解析】P={x|-1≤x≤1}又:PUM=P,∴McP,∴-1≤a≤1 例9设集合A=(x1x2+4x=0},B=(1x+2a+1x+d2-1=0a∈ (1)若A∩B=B,求a的值: (2)若A∪B=B,求a的值 【思路点拨】明确A∩B=B、A∪B=B的含义,根据问题的需要,将其转化为等价的关系式BcA 和AB,是解决本题的关键.同时,在包含关系式BA中,不要漏掉B=⑧的情况 【答案】(1)a=1或a≤-1:(1)2. 【解析】首先化简集合A,得A={-4 (1)由A∩B=B,则有BA,可知集合B为必,或为{0}、{-4},或为0,-4} ①若B=时,△=4(a+1)2-4a2-1)<0,解得a<-1 ②若0∈B,代入得a2-1=0→a=1或a=-1
举一反三： 【变式 1】 设全集 U={x N+|x≤8}，若 A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}， 求集合 A，B. 【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}. 【解析】全集 U={1，2，3，4，5，6，7，8} 由 A∩(CuB)={1，8}知，在 A 中且不在 B 中的元素有 1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知 不在 A 中且在 B 中的元素有 2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在 A 中且不在 B 中的 元素有 4，7，则元素 3，5 必在 A∩B 中. 由集合的图示可得 A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}. 类型三、集合运算综合应用 例 8．已知全集 A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}. （1）若 A∩B≠ ，求实数 a 的取值范围； （2）若 A∩B≠A，求实数 a 的取值范围； （3）若 A∩B≠ 且 A∩B≠A，求实数 a 的取值范围． 【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点. 【答案】（1）aa}，又 A∩B≠ ，如图，a<4； (2)画数轴同理可得：a≥-2； (3)画数轴同理可得：如图，-2≤a<4. 【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是， 使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题. 举一反三： 【变式 1】已知集合 P=｛x︱x 2≤1｝,M=｛a｝.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是（ ） A．(-∞, -1] B．[1, +∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 【答案】C 【解析】 P = ｛ x ︱ − 1 1 x ｝又 P M P = ， ∴ M P ，∴ − 1 1 a 故选 C． 例 9. 设集合 2 2 2 A x x x B x x a x a a R = + = = + + + − = | 4 0 , | 2( 1) 1 0, . （1）若 A B B = ，求 a 的值； （2）若 A B B = ，求 a 的值. 【思路点拨】明确 A B B = 、A B B = 的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式 B A 和 A B ，是解决本题的关键.同时，在包含关系式 B A 中，不要漏掉 B = 的情况. 【答案】（1） a =1 或 a −1 ；（1）2． 【解析】首先化简集合 A ，得 A = − 4,0 . （1）由 A B B = ，则有 B A ，可知集合 B 为 ，或为 0 、−4 ，或为 0, 4− . ①若 B = 时， 2 2 = + − − 4( 1) 4( 1) 0 a a ，解得 a −1. ②若 0B,代入得 2 a a a − = = = − 1 0 1 1 或
当a=1时,B={x1x2+4x=0}=0-4}=A符合题意 当a=-1时,B={x1x2=0}={0)=A也符合题意 ③若-4∈B,代入得a2-8a+7=0,解得a=7或a=1 当a=1时,已讨论,符合题意 当a=7时,B={x1x2+16x+48=0}={-12,-4},不符合题意 由①②③,得a=1或a≤-1 (2):AUB=B,:A∈B,又A={-40},而B至多只有两个根,因此应有A=B,由(1)知a=1. 【总结升华】两个等价转化:∪B=B台AcB,A∩B=B→BcA非常重要,注意应用.另外 在解决有条件AcB的集合问题时,不要忽视A≠⑧的情况 举一反三: 【变式1】已知集合A={-2},B={x1x2+ax+a2-12=0},若A∩B=B,求实数a的取值范围 【答案】a≥4.或a4,或a2},B={x|x0},B={x|x>1,则A∩aB=( A.{x|0≤x1}
当 a =1 时， 2 B x x x A = + = = − = | 4 0 0, 4 , 符合题意； 当 a =−1 时， 2 B x x A = = = | 0 0 , 也符合题意. ③若 − 4 B ，代入得 2 a a − + = 8 7 0 ，解得 a = 7 或 a =1. 当 a =1 时，已讨论，符合题意； 当 a = 7 时， 2 B x x x = + + = = − − | 16 48 0 12, 4 ，不符合题意. 由①②③，得 a =1 或 a −1. （2） A B B A B = , .又 A = − 4,0 ，而 B 至多只有两个根，因此应有 A B = ，由（1）知 a =1. 【总结升华】两个等价转化： A B B A B A B B B A = = , 非常重要，注意应用.另外， 在解决有条件 A B 的集合问题时，不要忽视 A 的情况. 举一反三： 【变式 1】已知集合 2 2 A B x x ax a = − = + + − = 2 , | 12 0 ，若 A B B = ,求实数 a 的取值范围. 【答案】 a 4, 或 a −4 【解析】 A B B = , B A. ①当 B = 时，此时方程 2 2 x ax a + + − = 12 0 无解，由 0 ，解得 a 4, 或 a −4. ②当 B 时，此时方程 2 2 x ax a + + − = 12 0 有且仅有一个实数解-2， = 0 ，且 2 2 ( 2) 2 12 0 − − + − = a a ，解得 a = 4. 综上，实数 a 的取值范围是 a 4, 或 a −4. 【变式 2】设全集 U R= ，集合 A x x B x x p = − = + | 1 2 , | 4 0 ，若 B CuA，求实数 p 的取 值范围. 【答案】 p 4 【解析】 CuA= x x x | 1, 2 − 或 ， | 4 p B x x = − . B CuA， 1 4 p − − ，即 p 4. 实数 p 的取值范围是 p 4 . 【巩固练习】 1．设 U = R ， A x x = { | 0}， B x x = { | 1} ，则 A B ðU = （ ） A．{ | 0 1} x x B．{ | 0 1} x x C．{ | 0} x x D．{ | 1} x x
2.已知全集U=R,则正确表示集合M={10和N={x1x2+x=0)}关系的韦恩(Vem)图是 M B 3.若集合A={-11,B={xmx=1},且A∪B=A,则m的值为() A.1B.-1C.1或-1 或-1或0 4.已知集合AB满足A∩B=A,那么下列各式中一定成立的是() A.A≠BB.BzAC.A∪B=BD.AUB=A 5.若全集U={0,12,3且CA={2},则集合A的真子集共有() A.3个B.5个C.7个D.8个 6.设集合M={x1x=2+4 k 1 k 1 k∈Z},N={x|x k∈Z},则() A. M=N M≠NC.N≠MD.M∩N=② 7.用适当的符号填空: (1)m m,n}:(2){ (3) 8.若集合A={x|x≤6,x∈N},B={x|x是非质数},C=A∩B,则C的非空子集的个数 9.若集合A={x13≤x<7},B={x12<x<10)},则AUB= 10.设集合A={x3≤x≤2},B={x2k-1≤x≤2k+1},且A彐B,则实数k的取值范围 已知4={y=x2+2x-1,B=(y=2x+,则AmB 12.已知集合A={12},B={1234.5},若AM≤B,请写出满足上述条件得集合M
2．已知全集 U R= ，则正确表示集合 M = −{ 1,0,1} 和 2 N x x x = + = | 0 关系的韦恩（Venn）图是 （ ） 3．若集合 A = {−1,1}， B = {x | mx = 1} ，且 A B = A ，则 m 的值为( ) A．1 B．-1 C．1 或-1 D．1 或-1 或 0 4．已知集合 A B, 满足 A B A = ,那么下列各式中一定成立的是（ ） A． A B B． B A C． A B B = D． A B A = 5．若全集 U C A = = 0,1,2,3 2 且 U ，则集合 A 的真子集共有( ) A．3 个 B．5 个 C．7 个 D．8 个 6．设集合 , } 4 1 2 { | k Z k M = x x = + ， , } 2 1 4 { | k Z k N = x x = + ，则( ) A． M = N B． M N C． N M D． M N = 7．用适当的符号填空： （1） m m n, ；（2） m m n, ；（3） m n, . 8. 若集合 A x x x N = | 6, ， B x x ={ | } 是非质数 ， C A B = ，则 C 的非空子集的个数 为 . 9．若集合 A x x = | 3 7， B x x = | 2 10 ，则 A B = _____________． 10．设集合 A x x = − { 3 2}， B x k x k = − + { 2 1 2 1} ，且 A B ，则实数 k 的取值范围 是 . 11．已知 2 A y y x x B y y x = = − + − = = + 2 1 , 2 1 ，则 A B = _________. 12．已知集合 A B = = 1,2 , 1,2,3,4,5 ，若 A M B ，请写出满足上述条件得集合 M