课题:第一章集合与函数概念12函数及其表示 主备人:高一数学备课组陈伟坚编写时间:2013年9月10日使用班级_(21)(22) 计划上课时间:_2013-2014学年第_二学期第_3周星期_一至三、五(中秋放假) 课标、大纲、考纲内容l 「课标要求 ‖教学大纲要求广东考试说明的内容 ①通过丰富实例,进一步体会函数是描述变了解映射的概念,在 量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基此基础上加深对函数|①了解构成函数的要素会求 础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,概念的理解。 些简单函数的定义域和值域 体会对应关系在刻画函数概念中的作用:了 ②在網辨概舍根据不同的 解构成函数的要素,会求一些简单函数的定 需要选择恰当的方法(如图象法 义域和值域:了解映射的概念。 列表法、解析法)表示函数 ②在实际情境中,会根据不同的需要选 ③了解简单的分段函数,并能简 择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 单应用. 表示函数 ④理解函数的单调性、最大值 ③通过具体实例,了解简单的分段函数 最小值及其几何意义;结合具体 并能简单应用。 函数,了解函数奇偶性的含义 ④通过已学过的函数特别是二次函数 ⑤会运用函数图象理解和研究函 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何 数的性质 意义:结合具体函数,了解奇偶性的含义 ⑤学会运用函数图象理解和研究函数的 性质 【教材与学情分析】 函数的表示是本节的主要内容之一,学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前 比较习惯的是用解析式表示函数,但这是对函数很不全面的认识,教材从引进函数概念开 始就比较注重函数的不同表示方法。函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解 抽象的函数概念,结合信息技术的使用,使学生通过函数的学习更好地体会数形结合的思 想方法。 教学目标] 知识目标 能力目标:情感态度与价值观目标 1通过丰富实例,进一步体会函数是描述1会求一些简单函数的定1.使学生懂得一切事物都是 变量之间的依赖关系的重要数学模型,在义域和值域 在不断变化、相互联系和相互 此基础上学习用集合与对应的语言来刻2在实际情境中,会根据制约的辩证唯物主义观点 画函数,体会对应关系在刻画函数概念中不同的需要选择恰当的2经历求函数定义域及值域 的作用:了解构成函数的要素,了解映射方法(如图象法、列表法、的过程,培养学生良好的数学 的概念。 解析法)表示函数 学习品质 2在实际情境中,理解表示函数的方法(如3学会运用函数图象理解 图象法、列表法、解析法) 和研究函数的性质 3通过具体实例,了解简单的分段函数, 并能简单应用。 4通过已学过的函数特别是二次函数,理 解函数的单调性、最大(小)值及其几何 意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义 教学重难点
1 [课题]：第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 主备人：高一数学备课组陈伟坚 编写时间：2013 年 9 月 10 日 使用班级 （21）（22） 计划上课时间： 2013-2014 学年第 一学期 第 3 周 星期 一至三、五（中秋放假） [课标、大纲、考纲内容]： 课标要求 教学大纲要求 广东考试说明的内容 ①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变 量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基 础上学习用集合与对应的语言来刻画函数， 体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了 解构成函数的要素，会求一些简单函数的定 义域和值域；了解映射的概念。 ②在实际情境中，会根据不同的需要选 择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法） 表示函数。 ③通过具体实例，了解简单的分段函数， 并能简单应用。 ④通过已学过的函数特别是二次函数， 理解函数的单调性、最大（小）值及其几何 意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。 ⑤学会运用函数图象理解和研究函数的 性质 了解映射的概念，在 此基础上加深对函数 概念的理解。 ① 了解构成函数的要素，会求一 些简单函数的定义域和值域； ②在了解映射的概念． 实际情境中，会根据不同的 需要选择恰当的方法(如图象法、 列表法、解析法)表示函数． ③了解简单的分段函数，并能简 单应用． ④理解函数的单调性、最大值、 最小值及其几何意义；结合具体 函数，了解函数奇偶性的含义． ⑤会运用函数图象理解和研究函 数的性质． 【教材与学情分析】 函数的表示是本节的主要内容之一，学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前， 比较习惯的是用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识，教材从引进函数概念开 始就比较注重函数的不同表示方法。函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解 抽象的函数概念，结合信息技术的使用，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合的思 想方法。 [教学目标]： 知识目标： 能力目标： 情感态度与价值观目标： 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述 变量之间的依赖关系的重要数学模型，在 此基础上学习用集合与对应的语言来刻 画函数，体会对应关系在刻画函数概念中 的作用；了解构成函数的要素，了解映射 的概念。 2.在实际情境中，理解表示函数的方法（如 图象法、列表法、解析法） 3.通过具体实例，了解简单的分段函数， 并能简单应用。 4.通过已学过的函数特别是二次函数，理 解函数的单调性、最大（小）值及其几何 意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。 1.会求一些简单函数的定 义域和值域； 2.在实际情境中，会根据 不同的需要选择恰当的 方法（如图象法、列表法、 解析法）表示函数。 3.学会运用函数图象理解 和研究函数的性质 1.使学生懂得一切事物都 是 在不断变化、相互联系和相互 制约的辩证唯物主义观点。 2.经历求函数定义域及值域 的过程，培养学生良好的数学 学习品质。 [教学重难点]：
、重点:使学生在已有认识的基础上,学会用集合与对应的语言刻画函数概念,认 识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型 2、难点:对函数概念的整体性认识,对函数符号的理解。 课的类型、教具、教法、教时]: 课的 米刑 主要教法 教时 新授课 多媒体课件 合作探究交流 第1课时1.2.1函数的概念(一) 【学习目标】 1、通过丰富的实例,使学生进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 2、学习用集合语言刻画函数 3、理解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域并能够正确使用“区间”的符号表示某些函数 的定义域 4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。 【教学重难点】 1.教学重点:体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,正确理解函数的概念 2.教学难点:函数的概念及符号y=f(x)的理解 【教学过程设计】 )、复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想 (二)、教学过程 情境引入:函数是数学中最主要的概念之一,而函数概念贯穿整个中学数学,如:数、式、方 程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学 内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的 数学模型的思想: (1)炮弹的射高与时间的变化关系问题 (2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题 (3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 通过多教材上三个例子的研究,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 合作交流 1.用集合语言刻画函数关键词语有哪些? 2.明确函数的三要素:定义域、值域、解析式 2
2 1、重点： 使学生在已有认识的基础上，学会用集合与对应的语言刻画函数概念，认 识到函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。 2、难点： 对函数概念的整体性认识，对函数符号的理解。 [课的类型、教具、教法、教时]： 课的类型 教具 主要教法 教时 新授课 多媒体课件 合作探究交流 4 第 1 课时 1.2.1 函数的概念（一） 【学习目标】 1、通过丰富的实例，使学生进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 2、学习用集合语言刻画函数 3、理解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域并能够正确 使用“区间”的符号表示某些函数 的定义域。 4、使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。 【教学重难点】 1. 教学重点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念 2. 教学难点：函数的概念及符号 y=f(x)的理解 【教学过程设计】 (一）、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； (二)、教学过程 一、情境引入：函数是 数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方 程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学 内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的 数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3） “八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 通过多教材上三个例子的研究，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 二、合作交流 1．用集合语言刻画函数关键词语有哪些？ 2．明确函数的三要素：定义域、值域、解析式
注意:因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时,更重要的是必须给学生讲清楚概念及注 意事项,并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解,这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思 想和知识结构中打上深刻的烙印,为学生能学好后面的知识打下坚实的基础 3.函数的概念: 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数fx)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数(fun 记作:y=f(x),x∈A 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域( domain):与x的值相对应的y值叫 做函数值,函数值的集合{f(x)川x∈A}叫做函数的值域( range 注意: (1)“y=x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如y=g(x) (2)函数符号“y=(x)”中的fx)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘 (3)函数是非空数集到非空数集的对应关系 (4)吓:A→B″表示一个函数有三要素:法则f(是核心),定义域A(要优先),值域C(上函数 值的集合且C∈B) 4.区间的概念 区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 {x|a≤x≤b}=[a,b a≤x0且x≠0,解得一≤x<2且x≠0,所以定 义域为[一,0)U(0,2) [点评]题中既有分母又有根式,要保证两种形式同时有意义 变式训练一:求函数y 的定义域 解:由x2-4≠0解得x≠2且x≠-2
3 注意：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注 意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思 想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。 3．函数的概念： 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（fun ction）． 记作： y=f(x)，x∈A． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域（domain）；与 x 的值相对应的 y 值叫 做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A}叫做函数的值域（range）． 注意： （1） “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x) ”； （2） 函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 x． （3） 函数是非空数集到非空数集的对应关系。 （4）“f：A→B”表示一个函数有三要素：法则 f（是核心），定义域 A（要优先），值域 C（上函数 值的集合且 C∈B） 4．区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； {x | a x b} = [a,b] {x | a x b} = [a,b) {x | a x b} = (a,b] {x | a x b} = (a,b) {x | x b} = (−,b] {x | a x} = [a,+) 三、精讲精练 例 1：求函数ｙ＝ x x x 1 2 1 2 3 + − + − 的定义域。 解：由条件知应满足２ｘ＋３≥０且２－ｘ＞０且ｘ≠０，解得－ 2 3 ≤ｘ＜２且ｘ≠０，所以 定 义域为［－ 2 3 ，０）∪（０，２）． ［点评］题中既有分母又有根式，要保证两种形式同时有意义 变式训练一：求函数ｙ＝ 4 2 2 − − x x 的定义域； 解：由ｘ2－４≠０解得ｘ≠２且ｘ≠－２
定义域为{x|x≠2且x≠-2,x∈R} [点评]题中虽然分子分母有公因式,但是要保证原式有意义,不能约分后再求定义域 例2求函数f(X/=~1 x∈R,在x=0,1,2处的函数值和值域 解:f(0)= =1,f()=12+1 f(2)= 22+1 容易看出,这个函数当x=0时,函数值取得最大值1,当自变量x的绝对值逐渐变大时,函 数值随着逐渐变小且逐渐趋向于0,但永远不会等于0.于是可知这个函数的值域为集合: (yly x∈R}=(0,.1] 变式训练二:已知A={1,2,3,k},B={4,7,a+,a2+3a},a∈N,k∈N, x∈A,y∈B,f:x→y=3x+1是从定义域A到值域B上的一个函数 求a,k,A,B 解:由已知条件和函数的定义可知: 10 10=a2+3a 3k+1=a2+3a(1)或3k+1=a4 (1)显然无解,∵a∈N,解(2)得:a=2,k=5 A={1,2,3,5},B={4,7,10,16} 点评:本题主要理解函数的定义,在求解参数时注意定义域的范围可以简化计算。 四、课堂小结:(可见“板书设计”) 【板书设计】 函数概念 定义 2.三要素 3.二次函数值域 4.区间 典型例题 例2: 【作业布置】 、选择题 1函数P=(x+1) 的定义域是(
4 ∴定义域为｛ｘ｜ｘ≠２且ｘ≠－２，ｘ∈Ｒ｝． ［点评］题中虽然分子分母有公因式，但是要保证原式有意义，不能约分后再求定义域； 例⒉求函数ｆ(ｘ)＝ 1 1 2 x + ，ｘ∈Ｒ，在ｘ＝０，１，２处的函数值和值域． 解： 5 1 2 1 1 , (2) 2 1 1 1 1 1, (1) 0 1 1 (0) 2 2 2 = + = = + = = + f = f f ． 容易看出，这个函数当ｘ＝０时，函数值取得最大值１，当自变量ｘ的绝对值逐渐变大时，函 数值随着逐渐变小且逐渐趋向于０，但永远不会等于０．于是可知这个函数的值域为集合： ｛ x R x y y + = , 1 1 | 2 ｝＝（０，１］． 变式训练二：已知Ａ＝｛１，２，３，ｋ｝，Ｂ＝｛４，７， a 4，a 2＋３ a ｝， a ∈Ｎ+，ｋ∈Ｎ+， ｘ∈Ａ，ｙ∈Ｂ，ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ＋１是从定义域Ａ到值域Ｂ上的一个函数， 求 a ，ｋ，Ａ，Ｂ． 解：由已知条件和函数的定义可知： 10＝ a 4 10＝a 2＋３ a ３ｋ＋１＝ a 2＋３ a ⑴ 或 ３ｋ＋１＝ a 4 ⑵ ⑴显然无解，∵ a ∈Ｎ+，解⑵得： a ＝２，ｋ＝５ ∴Ａ=｛１，２，３，５｝，Ｂ=｛４，７，10，16｝． 点评：本题主要理解函数的定义，在求解参数时注意定义域的范围可以简化计算。 四、课堂小结：（可见“板书设计”） 【板书设计】 【作业布置】 一、选择题 ⒈函数 x x x y − + = | | ( 1) 0 的定义域是（ ） 一、 函数概念 1. 定义 2. 三要素 3. 二次函数值域 4. 区间 二、 典型例题 例 1： 例 2：
x|0≤x≤1} x|x-1} B.{x|x>0 D.{x|x≠-1,x≠0} 2己知函数f(x)=x+1,其定义域为{-1,0,1,2},则函数的值域为 A.[0,3] B.{0,3} C.{0,1,2,3}D.{yy≥0 3已知f(x)=x2+1,则f[f(-1)]的值等于( B.3 C.4 D.5 填空题 4函数y=√x-2+√2-x的定义域是 5已知f(x)=2x+3,则f(1)= ,f(a)= f[ f(a) 三、解答题 6.用长为/的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形底边长为2x,求此框架围成的 面积y与x的函数关系式,并指出其定义域 教学反思:学生对函数概念感觉很抽象,难于理解 第2课时1.21函数的概念(二) 函数概念的应用 【学习目标】 进一步加深对函数概念的理解,掌握同一函数的标准; 2.了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域 3.经历求函数定义域及值域的过程,培养学生良好的数学学习品质。 【教学重难点】 教学重点:能熟练求解常见函数的定义域和值域 教学难点:对同一函数标准的理解,尤其对函数的对应法则相同的理解. 【教学过程设计】 1、创设情境 下列函数(x)与g(x)是否表示同一个函数?为什么? (1)fx)=(x-1)0;g(x)=1:(2)fx)=x;g(x)=VF
5 Ａ．{ x | 0 x 1 } Ｃ．{ x | x −1或x −1 } Ｂ．{ x | x 0 } Ｄ．{ x | x −1, x 0 } ⒉已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ＋１，其定义域为｛－１，０，１，２｝，则函数的值域为（ ） Ａ．［０，３］ Ｂ．｛０，３｝ Ｃ．｛０，１，２，３｝ Ｄ．｛ｙ｜ｙ≥０｝ ⒊已知ｆ(ｘ)＝ｘ2＋１，则ｆ［ｆ(－１)］的值等于（ ） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 二、填空题 4.函数 y = x − 2 + 2 − x 的定义域是_______________________ 5.已知ｆ(ｘ)＝２ｘ＋３，则ｆ(１)＝_________________，f(a)=______________, ｆ[ｆ(a)]＝______________________． 三、解答题 6. 用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为２ｘ，求此框架围成的 面积ｙ与ｘ的函数关系式，并指出其定义域． 教学反思：学生对函数概念感觉很抽象，难于理解。 第 2 课时 1. 2.1 函数的概念（二） ——函数概念的应用 【学习目标】 1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准； 2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域． 3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。 【教学重难点】 教学重点：能熟练求解常见函数的定义域和值域． 教学难点：对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解． 【教学过程设计】 1、创设情境 下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数？为什么？ （1）f(x)＝ (x－1) 0；g(x)＝1 ； （2） f(x)＝x；g(x)＝ x 2 ；
(3)f(x)=x2;g(x)=(x+1)2; (4)x)=x;g(x) 2、讲解新课 总结同一函数的标准:定义域相同、对应法则相同 3、典例 例1求下列函数的定义域: (1)y=√x-1√x+1 (2)y=x2-3 分析:一般来说,如果函数由解析式给出,则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范 围.当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义 的公共部分的集合 解:(1)由 l≥0 得 jx≥L x+1≥0,x≥-1 即x≥21,故函数y=√x-1·√x+1的定义域是[,+∞) (2)由 即-√5≤x≤√5且x≠±√3 5-x2≥0 故函数的定义域是{x-√5≤x≤√5且x≠±√3 点评:求函数的定义域,其实质就是求使解析式各部分有意义的x的取值范围,列出不等式(组) 然后求出它们的解集.其准则一般来说有以下几个 ①分式中,分母不等于零 ②偶次根式中,被开方数为非负数 ③对于y=x°中,要求x≠0 变式练习1求下列函数的定义域:(1)y=(+B:(2)y=2x+3-+1 x-x 解(2)由 x+l≠0. 得 x|-x>0, (x0,即{x<2,∴一≤x<2,且x≠0 x≠0 3 故函数的定义域是{x一≤x<2,且x≠0} 说明:若A是函数y=f(x)的定义域,则对于A中的每一个x,在集合B都有一个值输出值y与之 对应.我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域 因此我们可以知道:对于函数∫A—B而言,如果如果值域是C,那么C≌B,因此不能将
6 （3）f(x)＝x 2 ；g(x)＝(x + 1) 2 ； 、 （4） f(x) ＝|x|；g(x)＝ x 2． 2、讲解新课 总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同 3、典例 例 1 求下列函数的定义域： （1） y = x −1 x +1 ； （2） 2 3 2 5 3 1 x x y + − − = ； 分析： 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范 围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义 的公共部分的集合． 解 ： （1）由 + − 1 0, 1 0, x x 得 − 1, 1, x x 即 x 1 ，故函数 y = x −1 x +1 的定义域是 [1，+ ) ． （2）由 − − 5 0, 3 0, 2 2 x x 得 − 5 5, 3, x x 即 − 5 ≤x≤ 5 且 x≠± 3 ， 故函数的定义域是{x| − 5 ≤x≤ 5 且 x≠± 3 }． 点评： 求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的 x 的取值范围，列出不等式（组）， 然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个： ① 分式中，分母不等于零． ② 偶次根式中，被开方数为非负数． ③ 对于 0 y = x 中，要求 x≠0． 变式练习 1 求下列函数的定义域： （1） x x x y − + = | | ( 1) 0 ；（2） x x y x 1 2 1 2 3 + − = + − ． 解 （2）由 − + | | 0, 1 0, x x x 得 − 0, 1, x x 故函数 x x x y − + = | | ( 1) 0 是{x|x<0，且 x≠−1 }． （4）由 − + 0, 2 0, 2 3 0, x x x 即 − 0 2, , 2 3 x x x ∴ 2 3 − ≤x＜2，且 x≠0， 故函数的定义域是{x| 2 3 − ≤x＜2，且 x≠0}． 说明：若 A 是函数 y = f (x) 的定义域，则对于 A 中的每一个 x，在集合 B 都有一个值输出值 y 与之 对应．我们将所有的输出值 y 组成的集合称为函数的值域． 因此我们可以知道：对于函数 f：A B 而言，如果如果值域是 C，那么 C B ，因此不能将
集合B当成是函数的值域 我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素.如果函数的对应法则与定义域都确定了 那么函数的值域也就确定了 例2.求下列两个函数的定义域与值域 (1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0, (2)f(x)=(x1)2+1 解:(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3}, f-1)=5,f0)=2,f(1)=1,f2)=2,A3)5, 所以这个函数的值域为{1,2,5} (2)函数的定义域为R,因为(x1)2+121,所以这个函数的值域为{y|y≥1} 点评:通过对函数的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,来求出函数的值域的方法我 们称为观察法 变式练习2求下列函数的值域: (1)y=x2-4x+6,x∈[,5) (2)y 解:(1)y=(x-2)2+2 作出函数y=x2-4x+6,x∈[l,5) 的图象,由图观察得函数的值域为 {y|2≤y<11} (2)解法一:y=-41=34,显然一可取0以外的一切实数,即所求函数的值域为 x+1 x+1 ≠3}. 解法二:把y=3X+看成关于x的方程,变形得(-3x+(y+1=0,该方程在原函数定义域{x ≠-1}内有解的条件是 3≠0, 解得y≠3,即即所求函数的值域为{yb≠3 点评:(1)求函数值域是一个难点,应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法 (2)求二次函数在区间上的值域问题,一般先配方,找出对称轴,在对照图象观察 4、课堂小结 (1)同一函数的标准:定义域相同、对应法则相同 (2)求解函数值域问题主要有两种方法:一是根据函数的图象和性质(或借助基本的函数的值域) 由定义域直接推算;二是对于分式函数,利用分离常数法得到y的取值范围
7 集合 B 当成是函数的值域． 我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了， 那么函数的值域也就确定了． 例 2．求下列两个函数的定义域与值域： （1）f (x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}； （2）f (x)=( x-1)2+1． 解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}， f(-1)= 5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5， 所以这个函数的值域为{1，2，5}． （2）函数的定义域为 R，因为(x-1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y∣y≥1} 点评： 通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我 们称为观察法． 变式练习 2 求下列函数的值域： （1） 4 6 2 y = x − x + ， x[1，5) ； （2） 1 3 1 + − = x x y ； 解：（1） ( 2) 2 2 y = x − + ． 作出函数 4 6 2 y = x − x + ，x[1，5) 的图象，由图观察得函数的值域为 {y | 2 ≤ y ＜ 11}． （2）解法一： 1 3( 1) 4 + + − = x x y 1 4 3 + = − x ，显然 1 4 x + 可取 0 以外的一切实数，即所求函数的值域为｛y|y ≠3｝． 解法二：把 1 3 1 + − = x x y 看成关于 x 的方程，变形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，该方程在原函数定义域｛x|x ≠－1｝内有解的条件是 y－3≠0， － y＋1 y－3 ≠－1 ，解得 y≠3，即即所求函数的值域为｛y|y≠3｝． 点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法； （2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察． 4、 课堂小结 （1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同 （2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域） 由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到 y 的取值范围． A B C x f (x) f 1 5 3 112 y O x
【板书设计】 函数三要素 典型例题 例1: 例2 小结: 【作业布置】 1.函数f(x) 2x4y(、》满足几(x)=x,则常数c等于() 或或-3D.5或-3 +1(x≤1 2设f(x3-x(x>1),则f(f(,)的值为( 5 4函数y=2-√-x2+4x的值域是() 12]C.[0,2]D.[-√2,√2 5.已知f(x)=x2+ax2+bx-8,f(-2)=10,则f(2) 若函数f(2x+1)=x2-2x,则f(3) 7求下列函数的值域 ①y=2x-1:②y=-x2+2x+3,x∈(-1,6.③y=3-2x+1
8 【板书设计】 一．函数三要素 二．典型例题 例 1： 例 2： 小结： 【作业布置】 1.函数 ) 2 3 ,( 2 3 ( ) − + = x x cx f x 满足 f [ f (x)] = x, 则常数 c 等于（ ） A. 3 B. − 3 C. 3或− 3 D. 5或− 3 2.设 f (x) = ， 则 5 ( ( )) 2 f f 的值为（ ） A. 1 2 − B. 3 2 C. 5 2 D. 9 2 4.函数 2 y x x = − − + 2 4 的值域是（ ） A.[ 2,2] − B. [1,2] C.[0, 2] D.[ 2, 2] − 5.已知 f（x）＝x 5＋ax 3＋bx－8，f（－2）＝10，则 f（2）=____． 6.若函数 f (2x 1) x 2x 2 + = − ，则 f (3) = 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 http://www.xjktyg.com/wxc/ wxckt@126.com wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/ 王新敞 特级教师 源头学子小屋 新疆 7.求下列函数的值域： ① 1 2 1 + − = x x y ；② 2 3 2 y = −x + x + , x(−1，6]．③ y = 3−| 2x +1|． x +1(x ≤1） 3 − x(x ＞1）
答案 1答案:B x,f(x) 3 2f(x)+3 c-2x2x+3c=-3 2答案:B;f()=3-=51(=+1s3 3答案:A;-2≤x≤3,-1≤x+1≤4,-1≤2x-1≤4,0≤x≤ 4答案:C;-x2+4x=-(x-2)2+4≤4,0≤√-x2+4x≤2-2≤-y-x2+4x≤0 0≤2-√-x2+4x≤2,0≤y≤2 5答案:-26;f(-2)=(-2)+a(-2)-2b-8=10, (-2)+a(-2)-2b=18 r(2)=2+2a+2b-8=-18-8=-26 6答案:-1:令2x+1=3,x=1,f(3)=f(2x+1)=x2-2x=-1 教学反思:函数的三要素是定义域是函数的灵魂。函数由定义域和对应关系确定。求函数的值域是 第3课时1.22函数的表示方法() 函数的几种表示方法 【学习目标】 1.掌握函数的三种主要表示方法 2.能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3.会画简单函数的图像 【教学重难点】 教学重、难点:图像法、列表法、解析法表示函数 【教学过程】 、复习引入: 1.函数的定义是什么?函数的图象的定义是什么? 2.在中学数学中,画函数图象的基本方法是什么? 3.用描点法画函数图象,怎样避免描点前盲目列表计算?怎样做到描最少的点却能显示出图象的 主要特征?
9 教学反思：函数的三要素是定义域是函数的灵魂。函数由定义域和对应关系确定。求函数的值域是 难点。 第 3 课时 1. 2.2 函数的表示方法（一） ——函数的几种表示方法 【学习目标】 1．掌握函数的三种主要表示方法 2．能选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系 3．会画简单函数的图像 【教学重难点】 教学重、难点：图像法、列表法、解析法表示函数 【教学过程】 一、复习引入： 1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？ 2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？ 3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的 主要特征？
、讲解新课:函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法和图象法三种 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简 称解析式 例如,s=6012,A=xr2,S=2mly=ax2+bx+a≠0)y=√x-2(x≥2)等等都是用解析式表示函 数关系的 优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所 对应的函数值中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数 (2列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系 例如,学生的身高 单位:厘米 学号1 2 4 5 6 8 身高125135140 13817 167158169 数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表,银行里的利息表,列车时刻表等等都是用列表法来 表示函数关系的公共汽车上的票价表 优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 ()图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系 例如,气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线,课本 中我国人口出生率变化的曲线,工厂的生产图象,股市走向图等 都是用图象法表示函数关系的 优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的 趋势,这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质 三、例题讲解 例1某种笔记本每个5元,买x∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y(元),试写出以x为自变量的函 数y的解析式,并画出这个函数的图像 解:这个函数的定义域集合是{1,2,3,4},函数的解析式为 y=5x,x∈{1,2,3,4 它的图象由4个孤立点A(1,5)B(2,10)C(3,15)D(4,20)组成,如图所示 变式练习1设f(x+x2)=x3+x3,g(x+x2)=x2+x2求g(x) 解:f(x+-)=(x+-)3-3(x+-)∴f(x)=x3-3x
10 D C B A 二、讲解新课：函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简 称解析式. 例如，s=60 2 t ，A= 2 r ，S= 2 rl ,y=a 2 x +bx+c(a 0),y= x − 2 (x 2)等等都是用解析式表示函 数关系的. 优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过 解析式求出任意一个自变量的值所 对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. ⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 例如，学生的身高 单位：厘米 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高 125 135 140 156 138 172 167 158 169 数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来 表示函数关系的.公共汽车上的票价表 优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本 中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等 都是用图象法表示函数关系的. 优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的 趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 三、例题讲解 例 1 某种笔记本每个 5 元，买 x {1,2,3,4}个笔记本的钱数记为 y（元），试写出以 x 为自变量的函 数 y 的解析式，并画出这个函数的图像 解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为 y=5x，x {1,2,3,4}. 它的图象由 4 个孤立点 A(1， 5) B (2， 10) C (3， 15) D (4， 20)组成，如图所示 变式练习 1 设 ( ) , −1 3 −3 f x + x = x + x 1 2 2 ( ) − − g x + x = x + x 求 f[g(x)]。 解： ) 1 ) 3( 1 ) ( 1 ( 3 x x x x x f x + = + − + ∴ f (x) x 3x 3 = −