人教A版高中数学必修1第一章集合与函数概念1.3 函数的基本性质教案(2).doc_大学文库

1− 3 函数的基本性质学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．（3）了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点（1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。学习过程一、函数的单调性 1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数 f x( ) 的定义域为 I ：如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 1 x 、 2 x ,当 1 x  2 x 时都有 1 2 f x f x ( ) ( )  ，那么就说 f x( ) 在这个区间上是增函数。（2）减函数：如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 1 x 、 2 x ,当 1 x  2 x 时都有 1 2 f x f x ( ) ( )  ，那么就说 f x( ) 在这个区间上是减函数。（3）单调性：如果函数 y f x = ( ) 在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数 y f x = ( ) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y f x = ( ) 的单调区间。 2、单调性的判定方法（1）定义法：判断下列函数的单调区间： 2 1 x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（3）复合函数的单调性的判断：设 y = f (x)，u = g(x) ，x [a,b] ，u [m,n] 都是单调函数，则 y f g x = [ ( )] 在 [a,b] 上也是单调函数。 ①若 y = f (x) 是 [ , ] m n 上的增函数，则 y f g x = [ ( )] 与定义在 [a,b] 上的函数 u = g(x) 的单调性相同。 ②若 y = f (x) 是 [ , ] m n 上的减函数，则 y f g x = [ ( )] 与定义在 [a,b] 上的函数 u = g(x) 的单调性相同。即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）练习：（ 1 ）函数 2 y = 4 − x 的单调递减区间是，单调递增区间

为．（2） 4 5 1 2 − + = x x y 的单调递增区间为． 3、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数 4．例题分析证明：函数 1 f x( ) x = 在 (0, ) + 上是减函数。证明：设任意 1 x ， 2 x ∈（0，+∞）且 1 2 x x  ，则 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) x x f x f x x x x x − − = − = ，由 1 x ， 2 x ∈（0，+∞），得 x x1 2  0 ，又 1 2 x x  ，得 x x 2 1 −  0 ， ∴ 1 2 f x f x ( ) ( ) 0 −  ，即 1 2 f x f x ( ) ( )  所以， 1 f x( ) x = 在 (0, ) + 上是减函数。说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如： x y 1 = 不能说 (−,0)  (0,+) 是原函数的单调递减区间；练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数 3 f x x ( ) 1 = + 的单调性。 2．根据单调函数的定义，判断函数 f x x ( ) = 的单调性。二、函数的奇偶性 1．奇偶性的定义：（1）偶函数：一般地，如果对于函数 f x( ) 的定义域内任意一个 x ，都有 f x f x ( ) ( ) − = ，那么函数 f x( ) 就叫做偶函数。例如：函数 2 f x x ( ) 1 = + , 4 f x x ( ) 2 = − 等都是偶函数。（2）奇函数：一般地，如果对于函数 f x( ) 的定义域内任意一个 x ，都有 f x f x ( ) ( ) − = − ，那么函数 f x( ) 就叫做奇函数。例如：函数 f (x) = x ， x f x 1 ( ) = 都是奇函数。（3）奇偶性：如果函数 f x( ) 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f x( ) 具有奇偶性。说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；

高中数学必修1函数的基本性质奇偶性 (1)定义:如果对于函数fx)定义域内的任意x都有f-x)=-(x),则称(x)为奇函数如果对于函数fx)定义域内的任意x都有f(-x)=(x),则称x)为偶函数。如果函数fx)不具有上述性质,则fx)不具有奇偶性如果函数同时具有上述两条性质则f(x)既是奇函数,又是偶函数。注意: ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质 Q由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则一x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称 Q确定∫-x)与∫x)的关系; ⑥作出相应结论若f(-x)=fx)或f(-x)-fx)=0,则fx)是偶函数; 若f(-x)=-f(x)或f-x)+f(x)=0,则fx)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称:一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称 ②设∫(x),g(x)的定义域分别是D,D2,那么在它们的公共定义域上奇+奇=奇,奇ⅹ奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数y=x)的定义域为L,如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量x,x2,当x<x2时,都有(x)<x2)((x1)(x)),那么就说fx)在区间 D上是增函数(减函数) 注意 ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质 Q必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<fx2) (2)如果函数y=x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=(x)的单调区间。 (3)设复合函数y=1g(x,其中v=gx),A是y=fg(x)定义域的某个区间,B是映射g: x→l∈=g(x)的象集 ①若vF=g(x)在A上是增(或减)函数,y=fl)在B上也是增(或减)函数,则函数 fg(x)在A上是增函数 ②若uF=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f)在B上是减(或增)函数,则函数y=/g(x) 在A上是减函数 (4)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤 ①任取x1,x2∈D,且x<x2 Q作差fx1)-(x2); ⑥变形(通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差x)-fx2)的正负);

高中数学必修 1 函数的基本性质 1．奇偶性（1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(－x)=－f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(－x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意： ○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定 f(－x)与 f(x)的关系； ○3 作出相应结论：若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。（3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称； ②设 f x( ) ， g x( ) 的定义域分别是 1 2 D D, ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇  奇=偶，偶+偶=偶，偶  偶=偶，奇  偶=奇 2．单调性（1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1f(x2)），那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数）；注意： ○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1<x2 时，总有 f(x1)<f(x2) （2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数 y= f[g(x)]，其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间，B 是映射 g : x→u=g(x) 的象集： ①若 u=g(x) 在 A 上是增（或减）函数，y= f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数 y= f[g(x)]在 A 上是增函数； ②若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而 y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数 y= f[g(x)] 在 A 上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： ○1 任取 x1，x2∈D，且 x1<x2； ○2 作差 f(x1)－f(x2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差 f(x1)－f(x2)的正负）；

下结论(即指出函数fx)在给定的区间D上的单调性) (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同 ②偶函数在其对称区间上的单调性相反 ③在公共定义域内增函数f(x)+增函数g(x)是增函数;减函数f(x)+减函数g(x)是减函数;增函数f(x 减函数g(x)是增函数;减函数f(x)-增函数g(x)是减函数 3.最值 (1)定义最大值:一般地,设函数y=(x)的定义域为,如果存在实数M满足:①对于任意的x ∈L,都有fx)≤M;②存在x∈,使得(x)=M。那么,称M是函数y=fx)的最大值最小值:一般地,设函数y=(x)的定义域为,如果存在实数M满足:①对于任意的x ∈L,都有x)≥M;②存在x0∈L,使得fx)=M。那么,称M是函数y=x)的最大值。注意 ①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x0∈l,使得fxo)=M Q函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈,都有fx) ≤M(x)≥M) (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: ①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 Q利用图象求函数的最大(小)值 Q利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=(x)在区间a,b]上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=x)在x=b 处有最大值fb) 如果函数y=x)在区间a,b]上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=x)在x=b 处有最小值f(b) 4.周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+7)=f 则称fx)为周期函数 (2)性质:①(x+=(x)常常写作f(x+)=f(x-),若fx)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f(x)的最小正周期;②若周期函数fx)的周期为T,则fωx)(o≠0)是周期函数,且周期为四.典例解析【奇偶性典型例题】例1.以下五个函数:(1)y=-(x≠0);(2)y=x+1:(3)y=2x;(4)y=og2x; (5)y=lg2(x+√x2+1),其中奇函数是 ,偶函数是,非奇非偶函数是点评:判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定

○5 下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）。（5）简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数 f (x) + 增函数 g(x) 是增函数；减函数 f (x) + 减函数 g(x) 是减函数；增函数 f (x) − 减函数 g(x) 是增函数；减函数 f (x) − 增函数 g(x) 是减函数。 3．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：①对于任意的 x ∈I，都有 f(x)≤M；②存在 x0∈I，使得 f(x0) = M。那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：①对于任意的 x ∈I，都有 f(x)≥M；②存在 x0∈I，使得 f(x0) = M。那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值。注意： ○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0∈I，使得 f(x0) = M； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 x∈I，都有 f(x) ≤M（f(x)≥M）。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数 y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)； 4．周期性（1）定义：如果存在一个非零常数 T，使得对于函数定义域内的任意 x，都有 f(x+T)= f(x)，则称 f(x)为周期函数；（2）性质：①f(x+T)= f(x)常常写作 ), 2 ) ( 2 ( T f x T f x + = − 若 f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为 f(x)的最小正周期；②若周期函数 f(x)的周期为 T，则 f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为 | | T 。四．典例解析【奇偶性典型例题】例 1．以下五个函数：（1） ( 0) 1 = x  x y ；（2） 1 4 y = x + ；（3） x y = 2 ；（4） y x 2 = log ；（5） log ( 1) 2 y = 2 x + x + ，其中奇函数是____ __，偶函数是__ ____，非奇非偶函数是 _________ 点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定

义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。题型二：奇偶性的应用例 2．设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，若当 x≥0 时，f（x）=log3（1+x），则 f（－2）=____ _。例 3．已知 f x( ) 奇函数，当 x ∈（0，1）时， 1 ( ) lg 1 f x x = + ，那么当 x ∈（－1，0）时， f x( ) 的表达式是．例 4．若奇函数 f x( ) 是定义在（ −1，1）上的增函数，试求 a 的范围： 2 f a f a ( 2) ( 4) 0 − + −  ．解：由已知得 2 f a f a ( 2) ( 4) −  − − 因 f(x)是奇函数，故 2 2 − − = − f a f a ( 4) (4 ) ，于是 2 f a f a ( 2) (4 ) −  − ．又 f x( ) 是定义在（ − 1，1）上的增函数，从而 2 2 2 4 3 2 1 2 1 1 3 3 2 1 4 1 5 3 3 5 a a a a a a a a a  −  − −       −  −           −  −  −     或即不等式的解集是 ( 3, 2) 【单调性典型例题】例 1．(1) 设函数f x a x b R ( ) (2 1) , = − + 是上的减函数则 a 的范围为( ) A． 1 2 a  B． 1 2 a  C． 1 2 a  − D． 1 2 a  (2)函数 2 y x bx c x = + +  + ( [0, ) )是单调函数的充要条件是( ) A．b  0 B．b  0 C．b  0 D．b  0 (3)已知 f x( ) 在区间 ( , ) − + 上是减函数， a b R ,  且 a b +  0 ，则下列表达正确的是（） A． f a f b f a f b ( ) ( ) [ ( ) ( )] +  − + B． f a f b f a f b ( ) ( ) ( ) ( ) +  − + − C． f a f b f a f b ( ) ( ) [ ( ) ( )] +  − + D． f a f b f a f b ( ) ( ) ( ) ( ) +  − + − 提示： a b +  0 可转化为 a b − 和 b a − 在利用函数单调性可得. (4) 如右图是定义在闭区间上的函数 y f x = ( ) 的图象,该函数的单调增区间为例 2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1） 2 y x x = − + + 2 | | 1 （2） 2 y x x = − + + | 2 3| 例 3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．

例 4.设 f (x) 是定义在 R 上的函数，对 m 、nR 恒有 f (m + n) = f (m) f (n) ，且当 x  0 时， 0  f (x)  1。（1）求证： f (0) = 1 ；（2）证明： xR 时恒有 f (x)  0 ；（3）求证： f (x) 在 R 上是减函数；（4）若 f x f x ( ) (2 ) 1  −  ，求 x 的范围。解：(1)取 m=0，n= 1 2 则 1 1 ( 0) ( ) (0) 2 2 f f f + = ，因为 1 ( ) 0 2 f  所以 f (0) 1 = (2)设 x  0 则 − x 0 由条件可知 f x o ( ) −  又因为 1 (0) ( ) ( ) ( ) 0 = = − = −  f f x x f x f x ，所以 f x( ) 0  ∴ xR 时，恒有 f (x)  0 （3）设 1 2 x x  则 1 2 1 2 1 1 f x f x f x f x x x ( ) ( ) ( ) ( ) − = − − + = 1 2 1 1 f x f x x f x ( ) ( ) ( ) − − = 1 2 1 f x f x x ( )[1 ( )] − − 因为 1 2 x x  所以 2 1 x x −  0 所以 2 1 f x x ( ) 1 −  即 2 1 1 ( ) 0 − −  f x x 又因为 1 f x( ) 0  ，所以 1 2 1 f x f x x ( )[1 ( )] 0 − −  所以 1 2 f x f x ( ) ( ) 0 −  ，即该函数在 R 上是减函数. (4) 因为 f x f x ( ) (2 ) 1  −  ，所以 2 f x f x f x x f ( ) (2 ) (2 ) (0)  − = −  所以 2 2 0 x x −  ，所以 x x x 的范围为   2 0 或例 5：（复合函数单调性）1.函数 2 y x x = − − + 2 3 的增区间是（）. A． [ − 3, − 1] B． [ − 1,1] C． ( , 3) − − D． [ 1, ) − + 2.函数 y＝ 2 80 1 2 x − x − 的单调递增区间为（） A． ( , 8) − − B． ( ,1) − C．(1, ) + D．( 8, ) − + 题型五：周期问题例 6 ．已知函数 y f x = ( ) 是定义在 R 上的周期函数，周期 T = 5 ，函数 y f x x = −   ( )( 1 1) 是奇函数新疆源头学子小屋特级教师王新敞 http://www.xjktyg.com/wxc/ wxckt@126.com wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/ 王新敞特级教师源头学子小屋新疆又知 y f x = ( ) 在 [0,1] 上是一次函数，在 [1,4] 上是二次函数，且在 x = 2 时函数取得最小值 −5。 ①证明： f f (1) (4) 0 + = ； ②求 y f x x =  ( ), [1,4] 的解析式； ③求 y f x = ( ) 在 [4,9] 上的解析式。解：∵ f x( ) 是以 5 为周期的周期函数，∴ f f f (4) (4 5) ( 1) = − = − ，又∵ y f x x = −   ( )( 1 1) 是奇函数，∴ f f f (1) ( 1) (4) = − − = − ，∴ f f (1) (4) 0 + = 。 ②当 x[1,4] 时，由题意可设 2 f x a x a ( ) ( 2) 5 ( 0) = − − 

人教A版高中数学必修1第一章 集合与函数概念1.3 函数的基本性质教案(2)

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