函数的单调性
函数的单调性
1)(x)=x+1(2)(x)x2 x 1 X 2-1012 思考2:通过上面的观察,如何用图象上动点P(X,y) 的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势? 函数的这种性质称为函数的单调性 在某一区间内, 当x的值增大时函数值y也增大—图象在该区间内逐渐上升; 当x的值增大时函数值y反而减小—图象在该区间内逐渐下降
x y o x O y 1 1 2 4 -2 -1 (1) ( ) 1 f x x = + 2 (2) ( ) f x x = 在某一区间内， 当x的值增大时,函数值y也增大——图象在该区间内逐渐上升； 当x的值增大时,函数值y反而减小——图象在该区间内逐渐下降。 函数的这种性质称为函数的单调性 思考2：通过上面的观察，如何用图象上动点P（x，y） 的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势？
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大,y也增大 ∫(x)}……… 对区间D内任意 当x1x2时,都有r)x2) 2 xa2 方案1:在区间(0,+∞)上取自变量1,2;1<2,八(1)(2)f(x)在 0,+∞)上,图象逐渐上升 方案2:(0,+)取无数组自变量,验证随着x的增大,f(刈)也增大 方案3在(0,+内取任意的x1,x2且x1x2时,都有八x1)fx2)
对区间D内 任意 x1，x2， 当x1<x2时，都有 f(x1 )<f(x2 ) 图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大 0 x x 1x2 f (x1 ) f (x2 ) 1 2 2 2 1 方案1：在区间（0,＋ )上取自变量1，2,∵1<2, f(1)<f(2) ∴f(x)在 (0,+ )上, 图象逐渐 上升 方案2:(0,+ )取无数组自变量，验证随着x的增大，f(x)也增大。 方案3:在(0,+∞)内取任意的x1，x2且x1<x2时，都有f(x1 )<f(x2 ) ∞ ∞ ∞ y
图象在区间D逐渐上升 。●·●●·● 区间D内随着x的增大,y也增大 ●●●● 对区间D内任意x1,x2, ●●●●●●● 当x1x2时,都有(x1)fx2) 设函数yx的定义域为,区间DsI.如果对于区间D上的任意 定 两个自变量的值x1x2,当x1<x2时,都有x1)<八x2), 义那么就说f(x)在区间D单调增函数,D称为∫(x)的单调 增区间
对区间D内 x1，x2， 当x1<x2时， 有f(x1 )<f(x2 都 ) 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 定 义 任意 如果对于区间D上的任意 两个自变量的值x1 ,x2，当x1<x2时，都有f(x1 ) f(x2 < )， D称为 f (x)的单调 增区间. 那么就说 f (x)在区间D上是单调增函数， 区间D内随着x的增大，y也增大 图象在区间D逐渐上升 0 x1 f (x1 ) f (x2 ) 1 2 2 2 1 y
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数 f(r1 设函数yfx)的定义域为L区间D≤.设函数y=/x)的定义域为,区间DL 如果对于属于定义域/内某个区间D上如果对于属于定义域/内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1x2, 的任意两个自变量的值x八x2, 当x2时,都有x)(x2), 那么就说在八x这个区间上是单调增那么就说在八x这个区间上是单调 函数,D称为八)的单调曾区间.减函数,D称为/(x)的单调减区间 如果函数y=f(x)在区间題箄啁增函数或单调减函 数,那么就说函数y=f(x)在区间D上具有单调性
那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数，D称为f(x)的单调 减 区间. O x y x1 x2 f(x1 ) f(x2 ) 类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. O x y x1 x2 f(x1 ) f(x2 ) 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1 ,x2， 设函数y=f(x)的定义域为A,区间D I. 如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1 ,x2， 那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，D称为f(x)的单调增 区间. 当x1 ) ， 如果函数 y =f(x)在区间单调区间 D是单调增函数或单调减函 数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性
注意: (1)函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局部性质; 判断1:函敵∫(x)=x2在(-∞+是单调增函就; y=x (2)x1,x2取值的任意性 判断2:定义在R上的函数 f (2 ∫(x)满足∫(2)>f(1),则 f(1) 函数∫()在R上是增函数 01 2x
（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; 判断1：函数 f (x)= x 2 在 (− + , ) 是单调增函数； x y o 2 y x = （2） x 1, x 2 取值的任意性 判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则 函数 f (x)在R上是增函数； y O 1 2 x f(1) f(2)
例1.如图是定义在闭区间[一5,51上的函数p质发 fx)的图象,根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减疑展 函数? 答思 y=f(x) 辩维 3-2-1 12345x 解:函数y=x的单调区间有-5,-2),|-2,1),,3),3,5 其中y=fx)在区间[2,1),阝3,5上是增函数; 在区间[-5,-2),,3)上是减函数 说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可 a2.图象法判断函数的单调性:从左向右看图象的升降情况
解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5]. 例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减 函数？ 其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数； 说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可. 2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况 在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数. y f x = ( ) -4 3 2 1 1 2 3 4 5 -1 -2 -1 -5 -3 -2 x y O 质发 疑展 答思 辩维
练一练 根据下图说出函数的单调区间,以及在每一单调 区间上,函数是增函数还是减函数 y=f(x) 解函数y=fx)的单调区间有[-1,0),0,2),[2,4),[4,5 其中y=x)在区间[0,2),[4,5上是增函数 在区间[-1,0),[2,4上是减函数
• 练一练 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调 区间上，函数是增函数还是减函数. y f x = ( ) 2 4 5 4 x y O -1 3 2 1 解:函数y=f(x)的单调区间有[－1,0）,[0,2) ，[2，4), [4，5]. 其中y=f(x)在区间[0，2)，[4，5]上是增函数； 在区间[－1，0），[2，4)上是减函数
例2、物理学中的玻意耳定律p=1(为正常数)告诉 我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压 强p将增大。试用函数的单调性证明之
例2、物理学中的玻意耳定律 告诉 我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压 强p将增大。试用函数的单调性证明之。 (k为正常数) V k p =
证明:根据单调性的定义设吃吃是定义域(O,+∞)上的任意两个实数, 且吃0; 由0 1设量(自变量); 又心>0,于是 2作差变形; p(1p(V2>0 3判断; p(V1)>p(V2) 4结论) k 所以,函数=(0,+)是减函数也就是说 当体积V减小时,压强将增大
证明 : 1 2 3 4 1.设量 (自变量); 2.作差变形 ; 3.判断 ; 4. 结 ( 论 )
