山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习函数与方程教案 学习内容 学习指导 即时感悟 学习目标 1、结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程的联系,判断一元二次方程 根的存在性和根的个数。 2、根据函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解。 、体会数形结合、函数与方程、分类讨论的数学思想 学习重点:函数的零点与方程的联系,用二分法求相应方程的近似解。 学习难点:理解函数的零点与方程的联系,用二分法求相应方程的近似解。 回顾.预习 函数的零点(1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D,把使」 成立的实数x叫做函数y= f(x)(x∈D的零点.(2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根分函数y=f(x)的图象与 有交点分函数y=f(x) (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区 间[a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 那么 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得 这个c也就是f(x)=0的根.2.二次函数y=a2+bx+c(a>0)的图象与零点 的关系 ∠>0 ∠0)的图像 与x轴的交点 零点个数 3.二分法 (1)二分法的定义 对于在区间[a,b]上连续不断且 的函数y=f(x),通过不 断地把函数f(x)的零点所在的区间 ,使区间的两个端点逐步 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 (2)用二分法求函数零点近似值的步骤 课前自测 1.若函数f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,那么函数g(x)=bx2+3ax的零
山东省泰安市肥城市第三中学高考数学一轮复习 函数与方程教案 学习内容 学习指导 即时感悟 学习目标： 1、结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程的联系，判断一元二次方程 根的存在性和根的个数。 2、根据函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。 3、体会数形结合、函数与方程、分类讨论的数学思想。 学习重点：函数的零点与方程的联系，用二分法求相应方程的近似解。 学习难点：理解函数的零点与方程的联系，用二分法求相应方程的近似解。 回顾 ﹒预习 1．函数的零点(1)函数零点的定义 对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使 成立的实数 x 叫做函数 y＝ f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点⇔函数y＝f(x) 有 ．(3 )函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y＝f(x)在区 间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲 线，并且有 ，那么 函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 ， 这个 c 也就是 f(x)＝0 的根．2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点 的关系 ⊿>0 ⊿=0 ⊿<0 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a＞0)的图像 与 x 轴的交点 零点个数 3.二分法 (1)二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不 断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步 逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2)用二分法求函数零点近似值的步骤： 课前自测 1．若函数 f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点 3，那么函数 g(x)＝bx2＋3ax 的零
点是(C) B.-1 C.0 D.0,1 0函图与轴有 B C 交点 但不宜用二分法求交点横坐标的是(B 3、方程2-x=5的解所在区间(B) A(0,1),B(1,2) C(2,3) D(3,4) 4、函数∫(x)=x-的零点个数(C) A O D无零点 5、用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[23]内的根,取区间的中点x1=2.5, 则下一个有根区间是(2,2.5) 6、函数f(x)=1gx--的零点所在的区间是(B) (0,1]B.(1,10)C.(10,100)D.(100,+∞) 7、若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点,则实数a的取值是0或0.25 自主.合作,探究 函数、方程间有着密不可分的联系,对函数是否存在的零点,有多少个零 点的判断自然会涉及到函数及其图像、性质,这是学习中应注意的;函数的零 点,二分法是新课标新增的内容,高考证会有一定的体现;这部分内容多以客 观题形式出现,属于低档题 例1、求方程2x3+3x-3=0的一个近似解,(精确度0.1) 解析:用二分法 当x=1时,2x^3+3x-3=2>0 所以取x=(0+1)/2=0.5,代入得: 2x3+3x-3=-1.250 取x=(0.5+0.75)/2=0.625代入得
点是 ( C ) A．0 B．－1 C．0，－1 D．0,1 2．函 数 图 象 与 x 轴 均 有 交点， 但不宜用二分法求交点横坐标的是( B ) 3、方程 1 2 5 x x + − = 的解所在区间（ B ） A (0,1) B (1,2) C (2,3) D(3,4) 4、函数 ( ) x f x x 1 = − 的零点个数 （ C ） A 0 B 1 C 2 D 无零点 5、用二分法求方程 2 5 0 3 x − x − = 在区间 2,3 内的根，取区间的中点 1 x =2.5， 则下一个有根区间是 (2，2.5)。 6、函数 f(x)＝lgx－ x 1 的零点所在的区间是( B ) A．(0,1] B．(1,10) C．(10,100) D．(100，＋∞) 7、若函数 f(x)＝ax2－x－1 仅有一个零点，则实数 a 的取值是_0 或 _0.25_ 自主﹒合作﹒探究 函数、方程间有着密不可分的联系，对函数是否存在的零点，有多少个零 点的判断自然会涉及到函数及其图像、性质，这是学习中应注意的；函数的零 点，二分法是新课标新增的内容，高考证会有一定的体现；这部分内容多以客 观题形式出现，属于低档题。 例 1、求方程 3 2 3 3 0 x x + − = 的一个近似解,（精确度 0.1） 解析：用二分法： 当 x=0 时，2x^3+3x-3=-30 所以取 x=(0+1)/2=0.5,代入得： 2x^3+3x-3=-1.250 取 x=(0.5+0.75)/2=0.625 代入得：
2x3+3x-3=0.6367—0 所以x∈(1,2) 即函数只有一个解 例3、对函数f(x),若存在x0∈R使得f(x0)=x0成立,则称x为f(x)的 不动点。已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b+1(a≠0) (1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点。 (2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的范围。 解析:设y=f(x) 不动点F(x0)=x0实际上就是函数y=f(x)图像与y=x的交点 1.当a=1,b=2时, y=F(X)=aX^2+(b+1)x+(b-1)=x2+3x+1 解得x=-1,y=-1 2.f(x)=ax^2+(b+1)x+(b-1)=x ax2+bx+(b-1)=0 由题,此方程有2个不同实数解,即△>0 b^2-4*a*(b-1)>0 b2-4ab+4a>0 若使得上式恒成立,即关于b的二次函数b^2-4ab+4a最小值大于0 即(4*4a-4a*4a)/4=4a-4a2>0 解不等式a4 例4、已知函数∫(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比 1小.求实数a的取值范围 解析:f(1)<0
2x^3+3x-3=0.6367---<0 显然，精确度 要求为 0.1 时可取 x=0.7 作为方程的一个近似解 例 2．判断方程 3 4 15 0 x x + − = 在 1, 2 内实数解的存在性,以及解得个数，并 说明理由. 解析：利用导数判断出 f(x)是增函数， 又 f(1)=-10＜0 f(2)=19＞0 所以 x0 (1,2) 即函数只有一个解。 例 3、对函数 f (x) ，若存在 0 x R 使得 ( ) 0 0 f x = x 成立，则称 0 x 为 f (x) 的 不动点。已知函数 f (x)= ( 1) 1 2 ax + b + x + b + （a≠0） （1）当 a = 1,b = −2 时，求函数 f (x) 的不动点。 （2）若对任意实数 b,函数 f (x) 恒有两个相异的不动点，求 a 的范围。 解析：设 y=f(x) 不动点 F(x0)=x0 实际上就是函数 y=f(x)图像与 y=x 的交点。 1. 当 a=1,b=2 时， y=F(X)=aX^2 +(b+1)X+(b-1)=x^2+3x+1 y=x 解得 x=-1，y=-1 2. f(x)=ax^2 +(b+1)x+(b-1)=x ax^2 +bx+(b-1)=0 由题，此方程有 2 个不同实数解，即 Δ＞0 b^2-4*a*(b-1)＞0 b^2-4ab+4a＞0 若使得上式恒成立，即关于 b 的二次函数 b^2-4ab+4a 最小值大于 0 即 (4*4a-4a*4a)/4=4a-4a^2＞0 解不等式 a＜0 或 a＞4 例 4、已知函数 2 2 f x x a x a ( ) ( 1) ( 2) = + − + − 的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小.求实数 a 的取值范围. 解析：f(1)＜0
解得:a∈(-2,1 当堂达标 1.函数几()=(1)1m的零点有(B) A.0个 C.2个 2.偶函数f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且f(0)f(a)0,则下列说法中正确的是(B A.f(x)在(a,b)上必有且只有一个零点 B.f(x)在(a,b)上必有正奇数个零点 C.f(x)在(a,b上必有正偶数个零点 D.f(x)在(a,b上可能有正偶数个零点,也可能有正奇数个零点,还可能没 有零点 6.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式af(-2x)>0的解 集是 反思,提升 拓展、延伸 1.已知函数∫(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1 m为何值时,函数与x轴有两个交点? ②若函数的一个零点比1大,一个零点比1小,求m的范围。 解析:若2(m+1)=0则函数为一次函数,图象与x轴至多有1个交点,所以2(m+1) 不等于0 当2(m+1)不等于0时,函数为二次,当△=(4m)^2-8(m+1)(2m-1)>0时,与x 轴有两个交点,即-m+1>0m<1 m的范围是m<1且m不等于 2、若二次函数y=-x2+mx-1的图象与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段 AB有两个不同的交点,求m的取值范围
解得： a (- 2,1) 当堂达标 1．函数 f( x)＝ (x－1)lnx x－3 的零点有( B ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 2．偶函数 f(x)在区间[0，a](a＞0)上是单调函数，且 f(0)f(a)＜0，则方程 f(x)＝0 在区间[－a，a]内根的个数是( B ) A．3 B．2 C．1 D．0 3．函数 f(x)＝ln x＋2x－1 零点的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 4.方程 x x 2 = 2 − 的解的个数 1 个 。 5．若已知 f(a)＜0，f(b)＞0，则下列说法中正确的是( B ) A．f(x)在(a，b)上必有且只有一个零点 B．f(x)在(a，b)上必有正奇数个零点 C．f(x)在(a，b)上必有正偶数个零点 D．f(x)在(a，b)上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没 有零点 6.若函数 f(x)＝x 2＋ax＋b 的两个零点是－2 和 3，则不等式 af(－2x)＞0 的解 集是___ − ，1 2 3 _____ 反思﹒提升 拓展、延伸 1.已知函数 ( ) 2( 1) 4 2 1 2 f x = m + x + mx + m − ①m 为何值时，函数与 x 轴有两个交点？ ②若函数的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求 m 的范围。 解析：若2(m+1)=0 则函数为一次函数,图象与x轴至多有1个交点,所以2(m+1) 不等于 0 当 2(m+1)不等于 0 时,函数为二次,当△=(4m)^2-8(m+1)(2m-1)>0 时,与 x 轴有两个交点, 即-m+1>0 m<1 m 的范围是 m<1 且 m 不等于- 2、若二次函数 2 y x mx = − + −1 的图象与 两端点为 A(0,3) , B(3, 0) 的线段 AB 有两个不同的交点，求 m 的取值范围
解:线段AB的方程为X+y=3, x+y=30≤x≤3① 由题意得方程组p=-x+m-1②在0,3上有两组实数解, 将①代入②,得x2-(m+1)+4=0(0≤X≤3), 此方程有两个不同的实数根 令f(x)=x2-(m+1)x+4,则二次函数f(x)在x∈[0,3]上有两个实根, △=(m+1)2-16>0, +1 f(0=4>0, 故有:f3)=9-3m+1)+4≥0, 10 解得:3<m≤ 故m的取值范围是(3,3] 精美句子 、善思则能“从无字勺处读书”。读沙漠,读岀了它坦荡豪放的胸怀:读太阳,读 出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。读大海,读出了它气势 磅礴的豪情。读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂:幸福是“春种一粒粟,秋 收千颗子”的收获,幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共 欣赏,疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献:幸福是“夜 来风雨声,花落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁
令 f(x)=x2 -(m+1)x+4，则二次函数f(x)在 x∈[0，3]上有两个实根， 故有： 解得：3＜m≤ ， 故 m 的取值范围是(3， ]． 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读 出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势 磅礴的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋 收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共 欣赏，疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜 来风雨声，花落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁
幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧,后 天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节 3、大自然的语言丰富多彩:从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行 列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴 水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美 4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。鲜花,如果害怕凋谢, 那它永远不能开放。矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。 蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。航船,如果害怕风浪,那它永远 不能到达彼岸。 5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。井底的蛙,当你自我欢唱时,视野 便窄了。笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。山中的石!当你背靠群峰时,意 志就坚了。水中的萍!当你随波逐流后,根基就没了。空中的鸟!当你展翅蓝天中, 宇宙就大了。空中的雁!当你离开队伍时,危险就大了。地下的煤!你燃烧自己后, 贡献就大了 6、朋友是什么? 朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一 股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引 向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。一块铀块 可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。一个人,可以碌碌 无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒 8、青舂是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾 的热血;青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着 我们的智慧和心灵
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧，后 天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行 列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴 水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。鲜花，如果害怕凋谢， 那它永远不能开放。矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。 蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。航船，如果害怕风浪，那它永远 不能到达彼岸。 5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野 便窄了。笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。山中的石！当你背靠群峰时，意 志就坚了。水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。空中的鸟！当你展翅蓝天中， 宇宙就大了。空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。地下的煤！你燃烧自己后， 贡献就大了 6、朋友是什么？ 朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一 股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引 向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。 一块铀块， 可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。一个人，可以碌碌 无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾 的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着 我们的智慧和心灵