函数模型及其应用训练题 1.某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月 销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销售y(单位:台)与投 放市场的月数x之间关系的是( A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=50×2 D.y=100log2x+100 解析:选C根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代 入数据验证即可,故选C. 2.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对于进 价),则该家具的进价是() A.118元 B.105元 C.106元 D.108元 解析:选D设进价为a元,由题意知132×(1-10%)一a=10%·a,解得a=108.故选 3.(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿 箭头方向经过点B跑到点G共用时30s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的 过程,设小明跑步的时间为t(s),他与教练间的距离为y(m),表示y与t的函数关系的图 象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的() m D A.点M B.点N C.点P D.点Q 解析:选D假设这个位置在点M则从A至B这段时间,y不随时间的变化改变,与 函数图象不符,故A选项错误;假设这个位置在点M,则从A至C这段时间,A点与C点对 应y的大小应该相同,与函数图象不符,故B选项错误;假设这个位置在点P,则由函数图 象可得,从A到C的过程中,会有一个时刻,教练到小明的距离等于经过30s时教练到小 明的距离,而点P不符合这个条件,故C选项错误;经判断点Q符合函数图象,故D选项正 确,选D. 4.(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度,现准备拟定一函数用于根据 当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100,且教职工平均月评价分数在50分左右,若有突出
函数模型及其应用训练题 1．某品牌电视新品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，第三个月 销售 400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销售 y(单位：台)与投 放市场的月数 x 之间关系的是( ) A．y＝100x B．y＝50x 2－50x＋100 C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100 解析：选 C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代 入数据验证即可，故选 C. 2．某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对于进 价)，则该家具的进价是( ) A．118 元 B．105 元 C．106 元 D．108 元 解析：选 D 设进价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a，解得 a＝108.故选 D. 3．(2018·北京石景山联考)小明在如图 1 所示的跑道上匀速跑步，他从点 A 出发，沿 箭头方向经过点 B 跑到点 C，共用时 30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的 过程，设小明跑步的时间为 t(s)，他与教练间的距离为 y(m)，表示 y 与 t 的函数关系的图 象大致如图 2 所示，则这个固定位置可能是图 1 中的( ) A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q 解析：选 D 假设这个位置在点 M，则从 A 至 B 这段时间，y 不随时间的变化改变，与 函数图象不符，故 A 选项错误；假设这个位置在点 N，则从 A 至 C 这段时间，A 点与 C 点对 应 y 的大小应该相同，与函数图象不符，故 B 选项错误；假设这个位置在点 P，则由函数图 象可得，从 A 到 C 的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过 30 s 时教练到小 明的距离，而点 P 不符合这个条件，故 C 选项错误；经判断点 Q 符合函数图象，故 D 选项正 确，选 D. 4．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据 当月评价分数 x(正常情况下 0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在 50 分左右，若有突出
贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元).要求绩效工资不低于500元,不设上限, 且让大部分教职工绩效工资在600元左右,另外绩效工资越低或越高时,人数要越少.则下 列函数最符合要求的是() A.y=(x-50)2+500 B.y=10。+500 1000 x-50)3+625 D.y=50[10+1g(2x+1)] 解析:选C由题意知,拟定函数应满足:①是单调递增函数,且增长速度先快后慢再 快:②在x=50左右增长速度较慢,最小值为500.A中,函数y=(x-50)2+500先减后增, 不符合要求:B中,函数y=10x+500是指数型函数,增长速度是越来越快,不符合要求 D中,函数y=50[10+lg(2x+1)]是对数型函数,增长速度是越来越慢,不符合要求:而C 中,函数y 100(x-50)3+625是由函数y=x经过平移和伸缩变换得到的,符合要求.故 选C. 5.(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传,在 年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y=1+(x≥0).已知生产 此产品的年固定投入为4万元,每生产1万件此产品仍需再投入30万元,且能全部售完.若 每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品 所占广告费的50%”之和,则当广告费为1万元时,该企业甲产品的年利润为( A.30.5万元 B.31.5万元 C.32.5万元 万元 解析:选B由题意,产品的生产成本为(30+4)万元,销售单价为0-150+y ×50%,故年销售收入为z=(30+》150+×50%·=45+6+x∴年利润卩=z- 45X (30y+4)-x=15y+2 r+ 2-2(万元).∴当广告费为1万元时,即x=1,该企业 451 甲产品的年利润为17+ 1+22=31.5(万元).故选B 6.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出 其中m>0,[m是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通 话6.5分钟的电话费为 解析:∵m=6.5,∴[m=6,则f(m)=1.06×(0.5×6+1)=4.24. 答案:4.24 7.(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车每年
贡献可以高于 100 分)计算当月绩效工资 y(元)．要求绩效工资不低于 500 元，不设上限， 且让大部分教职工绩效工资在 600 元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下 列函数最符合要求的是( ) A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10 x 25＋500 C．y＝ 1 1 000(x－50)3＋625 D．y＝50[10＋lg(2x＋1)] 解析：选 C 由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再 快；②在 x＝50 左右增长速度较慢，最小值为 500.A 中，函数 y＝(x－50)2＋500 先减后增， 不符合要求；B 中，函数 y＝10 x 25＋500 是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求； D 中，函数 y＝50[10＋lg(2x＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而 C 中，函数 y＝ 1 1 000(x－50)3＋625 是由函数 y＝x 3 经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故 选 C. 5．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一 年内预计销售量 y(万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 y＝1＋ 3x x＋2 (x≥0)．已知生产 此产品的年固定投入为 4 万元，每生产 1 万件此产品仍需再投入 30 万元，且能全部售完. 若 每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的 150%”与“年平均每件甲产品 所占广告费的 50%”之和，则当广告费为 1 万元时，该企业甲产品的年利润为( ) A．30.5 万元 B．31.5 万元 C．32.5 万元 D．33.5 万元 解析：选 B 由题意，产品的生产成本为(30y＋4)万元，销售单价为30y＋4 y ×150%＋ x y ×50%，故年销售收入为 z＝ 30y＋4 y ×150%＋ x y ×50% ·y＝45y＋6＋ 1 2 x.∴年利润 W＝z－ (30y＋4)－x＝15y＋2－ x 2 ＝17＋ 45x x＋2 － x 2 (万元)．∴当广告费为 1 万元时，即 x＝1，该企业 甲产品的年利润为 17＋ 45 1＋2 － 1 2 ＝31.5(万元)．故选 B. 6．拟定甲、乙两地通话 m 分钟的电话费(单位：元)由 f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出， 其中 m＞0，[m]是不超过 m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通 话 6.5 分钟的电话费为________元． 解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则 f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 答案：4.24 7．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆 A 型轿车，售价为 14.4 万元，购买后轿车每年
的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%(即这辆 车每年减少它的价值的10%),试问,大约使用 年后,用在该车上的费用(含折旧费 达到14.4万元 解析:设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元,依题意可得,14.4(1-0.9) +2.4x=14.4. 化简得x-6×0.9=0 令f(x)=x-6×0.9, 易得f(x)为单调递增函数,又f(3)=-1.3740,所以函数f(x) 在(3,4)上有一个零点 故大约使用4年后,用在该车上的费用达到14.4万元 答案:4 8.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形ABCD,腰与底边 面积为5平方米,且高度不低于5米。记防洪规断面的限长为 米,外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5米,则其腰长x的取值范围为 解析:根据题意知,95=1(D+10D.其中AD=BC+2×一度+A,b=5 18 所以93=2(2BC+)yx,得B=x-2 得2≤x<6. 18 所以y=BC+2x=18+3x(2≤x<6 由y=-+x≤10.5,解得3≤x≤4. 因为[3,4]s[2,6),所以腰长x的取值范围为[3,4] 答案:[3,4] 9.如图,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4 米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形 ABCDE内截取一个矩形 BWPM,使点P在边DE上 (1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,并求该函数的解 析式及定义域
的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需 2.4 万元，同时汽车年折旧率约为 10%(即这辆 车每年减少它的价值的 10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费) 达到 14.4 万元． 解析：设使用 x 年后花费在该车上的费用达到 14.4 万元，依题意可得，14.4(1－0.9x ) ＋2.4x＝14.4. 化简得 x－6×0.9x ＝0. 令 f(x)＝x－6×0.9x ， 易得 f(x)为单调递增函数，又 f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数 f(x) 在(3,4)上有一个零点． 故大约使用 4 年后，用在该车上的费用达到 14.4 万元． 答案：4 8.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形 ABCD，腰与底边 夹角为 60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断 面面积为 9 3平方米，且高度不低于 3米．记防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米，则其腰长 x 的取值范围为________． 解析：根据题意知，9 3＝ 1 2 (AD＋BC)h，其中 AD＝BC＋2× x 2 ＝BC＋x，h＝ 3 2 x， 所以 9 3＝ 1 2 (2BC＋x) 3 2 x，得 BC＝ 18 x － x 2 ， 由 h＝ 3 2 x≥ 3， BC＝ 18 x － x 2 ＞0， 得 2≤x＜6. 所以 y＝BC＋2x＝ 18 x ＋ 3x 2 (2≤x＜6)， 由 y＝ 18 x ＋ 3x 2 ≤10.5，解得 3≤x≤4. 因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长 x 的取值范围为[3,4]． 答案：[3,4] 9.如图，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 AE＝4 米，CD＝6 米．为了合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM，使点 P 在边 DE 上． (1)设 MP＝x 米，PN＝y 米，将 y 表示成 x 的函数，并求该函数的解 析式及定义域；
(2)求矩形BMPM面积的最大值 解:(1)如图,作P⊥AF于Q,所以PQ=8-y,EQ=x-4 在△EDF中, PQ FD 所以 所以y=-=x+10 定义域为{x|4≤x≤8} (2)设矩形BMM的面积为S 则5()==410-2=-2(x-10)+50, 所以S(x)是关于x的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为直线x=10,所以当x∈ [4,8]时,S(x)单调递增, 所以当x=8时,矩形BMM的面积取得最大值,最大值为48平方米 10.近年来,某企业平均每年缴纳的电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可 使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的费用(单位:万元)与太 阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.5.为了保证正常用电,安装后 采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业平均每年缴纳的电费 C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是C(x) k 20x+0(x≥0,k为常数).记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后 15年共将缴纳的电费之和 (1)试解释C(0)的实际意义,并建立y关于x的函数关系式 2)当x为多少时,y取得最小值?最小值是多少万元? 解:(1)C(O)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时该企业平均每年缴纳的 电费,即未安装太阳能供电设备时,该企业平均每年缴纳的电费,由C(O)=100=24,得k 2400 所以y=15× +051800 20x+100 x+5+0.5x(x≥0) 2)因为y= +0.5(x+5)-2.5≥ h 800×0.5-2.5=57.5, x+5 当且仅当 +5=0.5(x+5),即x=55时取等号, 所以当x为55时,y取得最小值,最小值为57.5万元 11.[选做题]某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高
(2)求矩形 BNPM 面积的最大值． 解：(1)如图，作 PQ⊥AF 于 Q，所以 PQ＝8－y，EQ＝x－4， 在△EDF 中，EQ PQ ＝ EF FD ， 所以x－4 8－y ＝ 4 2 ， 所以 y＝－ 1 2 x＋10， 定义域为{x|4≤x≤8}． (2)设矩形 BNPM 的面积为 S， 则 S(x)＝xy＝x 10－ x 2 ＝－ 1 2 (x－10)2＋50， 所以 S(x)是关于 x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线 x＝10，所以当 x∈ [4,8]时，S(x)单调递增， 所以当 x＝8 时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，最大值为 48 平方米． 10．近年来，某企业平均每年缴纳的电费约 24 万元，为了节能减排，决定安装一个可 使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太 阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为 0.5.为了保证正常用电，安装后 采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业平均每年缴纳的电费 C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积 x(单位：平方米)之间的函数关系是 C(x) ＝ k 20x＋100(x≥0，k 为常数) .记 y 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后 15 年共将缴纳的电费之和． (1)试解释 C(0)的实际意义，并建立 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 x 为多少时，y 取得最小值？最小值是多少万元？ 解：(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时该企业平均每年缴纳的 电费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费．由 C(0)＝ k 100＝24，得 k ＝2 400， 所以 y＝15× 2 400 20x＋100＋0.5x＝ 1 800 x＋5 ＋0.5x(x≥0)． (2)因为 y＝ 1 800 x＋5 ＋0.5(x＋5)－2.5≥2 1 800×0.5－2.5＝57.5， 当且仅当1 800 x＋5 ＝0.5(x＋5)，即 x＝55 时取等号， 所以当 x 为 55 时，y 取得最小值，最小值为 57.5 万元． 11．[选做题]某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高
分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p()(x+x+150万元 600 (1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台? (2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送 达指定落袋格口完成分拣,经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m= m60-m,1≤m≤30, (单位:件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为 1200件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数 量最多可减少百分之几? 解:(1)由总成本p(x 600 +x+150万元,可得每台机器人的平均成本 x2+x+15 11501z26、150 +1=2.当且仅当 11 时,上式等号成立.∴若使每台机器人的平均成本最低,应买300台 (2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量 60-m,1≤m≤30, (m) 当1≤≤30时,300台机器人的日平均分拣量 为160m(60一m)=-160+9600m,∴当m=30时,日平均分拣量有最大值144000件.当 m>30时,日平均分拣量为480×300=14000(件).∴300台机器人的日平均分拣量的最 大值为14100件.若传统人工分拣144000则需要人数为440120(人),…∴日平 200 均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120-×100 75%
分拣效率和降低物流成本，已知购买 x 台机器人的总成本 p(x)＝ 1 600x 2＋x＋150 万元． (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ (2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排 m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送 达 指 定 落 袋 格 口 完 成 分 拣 ， 经 实 验 知 ， 每 台 机 器 人 的 日 平 均 分 拣 量 q(m) ＝ 8 15m 60－m ，1≤m≤30， 480， m＞30 (单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为 1 200 件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数 量最多可减少百分之几？ 解：(1)由总成本 p(x)＝ 1 600x 2＋x＋150 万元，可得每台机器人的平均成本 y＝ p x x ＝ 1 600x 2＋x＋150 x ＝ 1 600x＋ 150 x ＋1≥2 1 600x· 150 x ＋1＝2.当且仅当 1 600x＝ 150 x ，即 x＝300 时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买 300 台． (2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量 q(m)＝ 8 15m 60－m ，1≤m≤30， 480， m＞30， 当 1≤m≤30 时，300 台机器人的日平均分拣量 为 160m(60－m)＝－160m 2＋9 600m，∴当 m＝30 时，日平均分拣量有最大值 144 000 件．当 m＞30 时，日平均分拣量为 480×300＝144 000(件)．∴300 台机器人的日平均分拣量的最 大值为 144 000 件．若传统人工分拣 144 000 件，则需要人数为144 000 1 200 ＝120(人)．∴日平 均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120－30 120 ×100%＝ 75%