第十节函数模型及其应用 ●高考明方向 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具 体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类 型增长的含义 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函 数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用 ★备考知考情 1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问 题,是高考命题的热点 2常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数 的应用交汇命题,考查建模能力及分析问题和解决问题的 能力 3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查,但以解答 题为主 、知识梳理《名师一号》P35 知识点一几类函数模型 函数解析式 一次函数 模型//)=a+ba,b为常数,a≠=0) 次函数八x)=ax2+bx+ca,b,c为常数,a≠0
●高考明方向 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具 体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类 型增长的含义． 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函 数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. ★备考知考情 1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问 题，是高考命题的热点． 2.常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数 的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的 能力． 3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答 题为主. 一、知识梳理《名师一号》P35 知识点一 几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数 模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) 二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
模型 指数型函|/(x)=b+c 数模型(a,b,c为常数,a>0,且a≠1) 对数型函|fx)= slogan+e 数模型a,b,c为常数a>0,月D 幂函数型 函数模型/)=ax+Mb为常数,0 知识点二三种增长型函数之间增长速度的比较 1指数函数y=ar(a>1)与幂函数y=x"(n>0): 在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的 定范围内a会小于x,但由于a的增长快于x的增长 因而总存在一个x0,当x>x0时,有a>x 2.对数函数y= logar(a>1)与幂函数y=xm>0): 对数函数y= logan(a>1)的增长速度,不论a与n值的 大小如何,总会慢于y=x的增长速度,因而在定义域内总 存在一个实数x0,当x>x时,有 logarx时,有aP>x>log 注意:《名师一号》P36问题探究问题1、2 问题1解决实际应用问题的一般步骤是什么?
模型 指数型函 数模型 f(x)＝bax＋c (a，b，c 为常数，a＞0，且 a≠1) 对数型函 数模型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c 为常数，a＞0，且 a≠1) 幂函数型 函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0) 知识点二 三种增长型函数之间增长速度的比较 1.指数函数 y＝a x (a＞1)与幂函数 y＝x n (n＞0)： 在区间(0，＋∞)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的 一定范围内 a x会小于 x n，但由于 a x的增长快于 x n的增长， 因而总存在一个 x0，当 x＞x0时，有 a x＞x n . 2．对数函数 y＝logax(a＞1)与幂函数 y＝x n (n＞0)： 对数函数 y＝logax(a＞1)的增长速度，不论 a 与 n 值的 大小如何，总会慢于 y＝x n的增长速度，因而在定义域内总 存在一个实数 x0，当 x＞x0时，有 logax＜x n 由 1、2 可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数， 但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0， ＋∞)上，总会存在一个 x0，当 x＞x0时，有 a x＞x n＞logax. 注意：《名师一号》P36 问题探究 问题 1、2 问题 1 解决实际应用问题的一般步骤是什么？
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系, 初步选择数学模型; 2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转 化为符号语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型 (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题 以上过程用框图表示如下 际问题 分析、联想 抽象、转化 建立函数模型 数学推演 欧际结果还数学结果 问题2在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题? (1)函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以,要理解 题意,选择适当的函数模型 (2要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函 数的定义域 (3注意问题反馈,在解决函数模型后,必须验证这个数学 解对实际问题的合理性 、例题分析 (一)三种函数模型增长速度的比较 例1.《名师一号》P36对点自测5、6
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系， 初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转 化为符号语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 问题 2 在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题？ (1)函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解 题意，选择适当的函数模型． (2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函 数的定义域． (3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学 解对实际问题的合理性． 二、例题分析： （一）三种函数模型增长速度的比较 例 1.《名师一号》P36 对点自测 5、6
5判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数=2的函数值比y=x2的函数值大,() (2)幂函数增长比直线增长更快.() (3)不存在x0,使a0< cl<logaxo() (4)fx)=x2, g(x)=2, h(x)=log2x 当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)几x)<g(x).() 答案(1)×(2)×(③3)×(4)√ 思考:如何证明:任意x∈(4,+∞),x2<2x恒成立。 6.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实 验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些 数据的规律,其中最接近的一个是 1.95 3.94 5.10 6.12 0.97 1.59 198 2.35 2.61 解析由表格知当x=3时p=159而A中y=23=8
5.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数＝2 x 的函数值比 y＝x 2的函数值大．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在 x0，使 a x0<x n 0<logax0.( ) (4)f(x)＝x 2，g(x)＝2 x、h(x)＝log2x， 当 x∈(4，＋∞)时，恒有 h(x)<f(x)<g(x)．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 思考：如何证明：任意 x∈(4，＋∞)， x 2<2x恒成立。 6．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实 验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些 数据的规律，其中最接近的一个是( ) x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A.y＝2 x B．y＝log2x C．y＝ 1 2 (x 2－1) D．y＝2.61cosx 解析 由表格知当 x＝3 时，y＝1.59，而 A 中 y＝2 3＝8
不合要求,B中y=og23∈(1,近,C中y=32-1)=4 不合要求,D中y=261cos3<0,不合要求,故选B. (二)函数模型应用题 例1.《名师一号》P36对点自测1 1.一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下 的高度h(cm)与燃烧时间th)的函数关系用图象表示为图中 的( h h O|4 O\4 解析由题意知h=20-510≤长≤4),故选B 例2.《名师一号》P36高频考点例1 (2014武汉调研在经济学中,函数八(x)的边际函数M 定义为:Mx)=x+1)-fx),某公司每月生产x台某种产 品的收入为R(x)元,成本为C(x)元,且R(x)=3000x-20x2, C(x)=500x+4000∈N).现已知该公司每月生产该产品
不合要求，B 中 y＝log23∈(1,2)接近，C 中 y＝ 1 2 (32－1)＝4， 不合要求，D 中 y＝2.61cos3<0，不合要求，故选 B. （二）函数模型应用题 例 1.《名师一号》P36 对点自测 1 1.一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下 的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为图中 的( ) A B C D 解析 由题意知 h＝20－5t(0≤t≤4)，故选 B. 例 2.《名师一号》P36 高频考点 例 1 (2014·武汉调研)在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x) 定义为：Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产 x 台某种产 品的收入为 R(x)元，成本为 C(x)元，且 R(x)＝3 000x－20x 2， C(x)＝500x＋4 000(x∈N* )．现已知该公司每月生产该产品
不超过100台 (1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x); (2求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差. 解析:(1)由题意,得x∈[1,100,且x∈N. P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000) =-20x2+2500x-4000 MP()=P(x+1)-P() =|-20(x+1)2+2500x+1)-40001 20x2+2500x-4000=2480-40x 125 (2)Px)=-20x 74125 2 当x=62或x=63时,P(x)取得最大值74120元 因为MP(x)=2480-40x是减函数,所以当x=1时 MPx)取得最大值2440元 故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值 之差为71680元 注意:《名师一号》P36高频考点例1规律方法 二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立二次函数 模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题 值得注意的是:一定要注意自变量的取值范围, 根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间 的位置关系讨论求解
不超过 100 台． (1)求利润函数 P(x)以及它的边际利润函数 MP(x)； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差． 解析：(1)由题意，得 x∈[1,100]，且 x∈N* . P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x 2 )－(500x＋4 000) ＝－20x 2＋2 500x－4 000， MP(x)＝P(x＋1)－P(x) ＝[－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000] －(－20x 2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x. (2)P(x)＝－20 x－ 125 2 2＋74 125， 当 x＝62 或 x＝63 时，P(x)取得最大值 74 120 元； 因为 MP(x)＝2 480－40x 是减函数，所以当 x＝1 时， MP(x)取得最大值 2 440 元． 故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值 之差为 71 680 元． 注意:《名师一号》P36 高频考点 例 1 规律方法 二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数 模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题， 值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围， 根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间 的位置关系讨论求解．
例3.《名师一号》P36高频考点例2 片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年 砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时 间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积 的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的2 (1)求每年砍伐面积的百分比 (2到今年为止,该森林已砍伐了多少年? 解析: (1)设每年降低的百分比为x(0<x<1,则a(1-x)2 即(1-x)0=),解得x=1-4)10 (2)设经过m年剩余面积为原来的 则a1-x)=2a,即 110 解得m=5
例 3.《名师一号》P36 高频考点 例 2 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年 砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时 间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积 的 1 4 ，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 2 2 . (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解析： (1)设每年降低的百分比为 x(0<x<1)，则 a(1－x) 10＝ 1 2 a， 即(1－x) 10＝ 1 2 ，解得 x＝1－ 1 2 1 10 . (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 2 2 ， 则 a(1－x) m＝ 2 2 a，即 1 2 m 10 ＝ 1 2 1 2 ， m 10＝ 1 2 ，解得 m＝5
故到今年为止,该森林已砍伐了5年 注意:《名师一号》P37高频考点例2规律方法 (1)指数函数模型常与增长率相结合进行考查,在实际问题 中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用 指数函数模型来表示 (2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模 型将有关已知数据代入验证,确定参数,从而确定函数模 型 (3)y=a(1+x)通常利用指数运算与对数函数的性质求解 例4.《名师一号》P37高频考点例3 某旅游景点预计2015年1月份起前x个月的旅游人数 的和p(x)(单位:万人)与x的关系近似地满足p(x)=(x+ 1)(39-2x)(x∈N,且≤12).已知第x个月的人均消费额 q(x)单位:元)与x的近似关系是qx)= 35-2x(x∈N,且1≤x≤6), (x∈N,且7≤x≤12) (1)写出2015年第x个月的旅游人数/x)(单位:人) 与x的函数关系式; (2)试问2015年第几个月旅游消费总额最大, 最大月旅游消费总额为多少元?
故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年． 注意:《名师一号》P37 高频考点 例 2 规律方法 (1)指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题 中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用 指数函数模型来表示． (2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模 型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模 型． (3)y＝a(1＋x) n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 例 4.《名师一号》P37 高频考点 例 3 某旅游景点预计 2015 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数 的和 p(x)(单位：万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)＝ 1 2 x(x＋ 1)(39－2x)(x∈N*，且 x≤12)．已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单位：元)与 x 的近似关系是 q(x)＝ (1)写出 2015 年第 x 个月的旅游人数 f(x)(单位：人) 与 x 的函数关系式； (2)试问 2015 年第几个月旅游消费总额最大， 最大月旅游消费总额为多少元？
解析:(1)当x=1时,f1)=p(1)=37, 当2≤x≤12,且x∈N时, fx)=p(x)-p(x-1) 式(x+1)39-2y)-1(x-1)x(41-2x 3x2+40x,验证x=1也满足此式, 所以fx)=-3x2+40x(x∈N,且1≤r≤12) (2)第x个月旅游消费总额为 g(x)= 3x2+40x)35-2x)x∈N,且1≤x≤6), =3+10e,且7≤x≤12 即g(x 6x3-185x2+1400(x∈N,且1≤x≤6), 480x+6400∈N,且7≤x≤12 ①当1≤x≤6,且x∈N时, g′(x)=18x2-370x+1400,令g′(x)=0, 解得x=5或x=14(舍去 当1≤x5时,g′(x)>0,当5<≤6时,g!(x)<0, ∴当x=5时,g(x)mnx=g(5)=3125(万元) ②当7≤x≤12,且x∈N时, gx)=-480x+6400是减函数, ∴当x=7时,g(x)mx=g(7)=3040万元) 综上,2015年5月份的旅游消费总额最大,最大旅游
解析：(1)当 x＝1 时，f(1)＝p(1)＝37， 当 2≤x≤12，且 x∈N*时， f(x)＝p(x)－p(x－1) ＝ 1 2 x(x＋1)(39－2x)－ 1 2 (x－1)x(41－2x) ＝－3x 2＋40x，验证 x＝1 也满足此式， 所以 f(x)＝－3x 2＋40x(x∈N*，且 1≤x≤12)． (2)第 x 个月旅游消费总额为 g(x)＝ 即 g(x)＝ ①当 1≤x≤6，且 x∈N*时， g′(x)＝18x 2－370x＋1 400，令 g′(x)＝0， 解得 x＝5 或 x＝ 140 9 (舍去)． 当 1≤x0，当 5<x≤6 时，g′(x)<0， ∴当 x＝5 时，g(x)max＝g(5)＝3 125(万元)． ②当 7≤x≤12，且 x∈N*时， g(x)＝－480x＋6 400 是减函数， ∴当 x＝7 时，g(x)max＝g(7)＝3 040(万元)． 综上，2015 年 5 月份的旅游消费总额最大，最大旅游
消费总额为3125万元 注意:《名师一号》P37高频考点例3规律方法 (1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式 给出,这时就需要构建分段函数模型 如出租车的票价与路程的函数就是分段函数 (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调 性等方法.在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最 值,然后比较得最大值、最小值 练习:温故知新P32第6题 某辆汽车购买时的费用是15万元,每年使用的保险费 路桥费、汽油费等约为1.5万元,年维修保养费用第一年 3000元,以后逐年递增3000元,则这辆汽车报废的最佳年 限(即年平均费用最少)是
消费总额为 3 125 万元． 注意:《名师一号》P37 高频考点 例 3 规律方法 (1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式 给出，这时就需要构建分段函数模型， 如出租车的票价与路程的函数就是分段函数． (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调 性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最 值，然后比较得最大值、最小值． 练习：温故知新 P32 第 6 题 某辆汽车购买时的费用是 15 万元，每年使用的保险费、 路桥费、汽油费等约为 1.5 万元，年维修保养费用第一年 3000 元，以后逐年递增 3000 元，则这辆汽车报废的最佳年 限（即年平均费用最少）是