函数与方程及函数的应用
专题5 函数与方程及函数的应用 函数与方程及函数的应用
能力目标解读点考题诠释 本部分主要考査函数的零点、方程的根、实际应用中常见函数模型等 知识 (1)对于函数的零点、方程的根,在高考中既会出现在选择题、填空题 中,也会在解答题中出现客观题型中考查形式主要有以下几种:①找零点的 个数②判断零点的范围③根据零点的情况求参数;在解答题中考查较为综 合在考查方程的根、函数的零点的基础上,又注重考查函数与方程、等价 化归、分类讨论及数形结合等数学思想方法此类题目综合性较强 (2)对于函数实际应用问题的考查,多以实际生活、常见的自然现象为 背景,较新颖、灵活解决此类问题所涉及的数学知识范围较广,但抽象岀来 的数学模型一定是我们高中学习过的数学知识及其思想方法解决实际应 用题的关键是对于数学问题的抽象及结论的回归
- 2 - 能力目标解读 热点考题诠释 本部分主要考查函数的零点、方程的根、实际应用中常见函数模型等 知识.(1)对于函数的零点、方程的根,在高考中既会出现在选择题、填空题 中,也会在解答题中出现,客观题型中考查形式主要有以下几种:①找零点的 个数,②判断零点的范围,③根据零点的情况求参数;在解答题中考查较为综 合,在考查方程的根、函数的零点的基础上,又注重考查函数与方程、等价 化归、分类讨论及数形结合等数学思想方法,此类题目综合性较强. (2)对于函数实际应用问题的考查,多以实际生活、常见的自然现象为 背景,较新颖、灵活,解决此类问题所涉及的数学知识范围较广,但抽象出来 的数学模型一定是我们高中学习过的数学知识及其思想方法,解决实际应 用题的关键是对于数学问题的抽象及结论的回归
能力目标解读点考题诠释 (3)预测2015年的高考在零点方面重点考查函数零点、方程的根和两 函数图象交点之间的等价转化运用导数来研究函数零点是后面所研究的 对于实际应用题仍将凸显实际背景的常规化,重点考查学生处理问题的能 力最后的归宿是二次函数、分段函数、指数函数、对数函数、幂函数或结 合情景本身构造的函数等数学问题
- 3 - 能力目标解读 热点考题诠释 (3)预测 2015 年的高考,在零点方面,重点考查函数零点、方程的根和两 函数图象交点之间的等价转化,运用导数来研究函数零点是后面所研究的; 对于实际应用题仍将凸显实际背景的常规化,重点考查学生处理问题的能 力,最后的归宿是二次函数、分段函数、指数函数、对数函数、幂函数或结 合情景本身构造的函数等数学问题
能力目标解读热点考题诠释①1234 1(2014北京高考,文6已知函数(x)=logx在下列区间中包含fx)零 点的区间是( A.(0,1 B(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 命题定位:本题主要考查对数、零点的存在性定理,考查基本运算能力 及推理论证能力 关闭 由题意知f1)=log21=6>02)=log2=3-1-2>0, f4)=10a,4=320故f2):f4)》答案
-4- 能力目标解读 热点考题诠释 1 2 3 4 1.(2014 北京高考,文 6)已知函数 f(x)= 6 𝑥 -log2 x.在下列区间中,包含 f(x)零 点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 命题定位:本题主要考查对数、零点的存在性定理,考查基本运算能力 及推理论证能力. 解析 答案 关闭 由题意知 f(1)= 6 1 -log2 1=6>0,f(2)= 6 2 -log2 2=3-1=2>0, f(4)= 6 4 -log2 4= 3 2 -2=- 1 2 <0.故 f(2)·f(4)<0. 由零点存在性定理可知,包含 f(x)零点的区间为(2,4). 关闭 C
能力目标解读热点考题诠释 2 2.(2014陕西高考,文10)如图修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与 两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分, 关闭 由已知图形,可知该三次函数有0和2两个零点,因此可设其解析式 为y=ax(x-2)(x+m) 因为y=ax(x-2)(x+m)=ax3+amx2-2ax2-2amx, 所以y=3ax2+2amx-4ax-2am 又因为直线y=x和y=3x6分别是该三次函数图象在点(00)和(2,0) 处的切线由导数的几何意义知y1x=0=1y1x2=3,于是有 2m=-1, 1 解得{=2所以所求三次函数的解析式为 1.2a.Lgmm.a2am.- 关闭 A 解析>》答案
-5- 能力目标解读 热点考题诠释 1 2 3 4 2.(2014 陕西高考,文 10)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与 两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分, 则该函数的解析式为( ) A.y= 1 2 x 3 - 1 2 x 2 -x B.y= 1 2 x 3 + 1 2 x 2 -3x C.y= 1 4 x 3 -x D.y= 1 4 x 3 + 1 2 x 2 -2x 命题定位:本题主要考查函数零点应用、三次函数、导数及导数的几 何意义等知识,对运算求解能力、应用意识有一定要求. 解析 答案 关闭 由已知图形,可知该三次函数有 0 和 2 两个零点,因此可设其解析式 为 y=ax(x-2)(x+m). 因为 y=ax(x-2)(x+m)=ax 3 +amx2 -2ax 2 -2amx, 所以 y'=3ax 2 +2amx-4ax-2am. 又因为直线y=-x和y=3x-6分别是该三次函数图象在点(0,0)和(2,0) 处的切线,由导数的几何意义知 y'|x=0=-1,y'|x=2=3,于是有 -2𝑎𝑚 = -1, 12𝑎 + 4𝑎𝑚-8𝑎-2𝑎𝑚 = 3, 解得 𝑎 = 1 2 , 𝑚 = 1. 所以所求三次函数的解析式为 y= 1 2 x 3 - 1 2 x 2 -x.故选 A. 关闭 A
能力目标解读热点考题诠释 2(34 关 分别作出函数y=fx)与y=ax的图象, 由图知0 当x>0,a≥2时,函数y=x)与y=ax有 个交点 当x>0,01时,函数y=(x)与y=ax有两个交点; 当r》答案
-6- 能力目标解读 热点考题诠释 1 2 3 4 3.(2014 天津高考,文 14)已知函数 f(x)= |𝑥 2 + 5x + 4|,x ≤ 0, 2|𝑥-2|,𝑥 > 0, 若函数 y=f(x)-a|x|恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范围为 . 命题定位:本题主要考查函数零点、绝对值、函数图象等知识,画图过 程去掉绝对值符号,体现了分类讨论的思想方法,对问题的化归能力要求较 高. 解析 答案 关闭 分别作出函数 y=f(x)与 y=a|x|的图象, 由图知,a0. 当 x>0,a≥2 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有 一个交点; 当 x>0,01 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有两个交点; 当 x<0,a=1 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有三个交点; 当 x<0,0<a<1 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|有四个交点. 所以当且仅当 1<a<2 时,函数 y=f(x)与 y=a|x|恰有 4 个零点. 关闭 (1,2)
能力目标解读热点考题诠释 23(4 4(2014浙江高考,文16)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a+b+c=1,则a 的最大值是 关闭 由a+b+c=0可得c=(a+b) 又a2+b2+c2=1,所以a2+b2+-(a+b)2=1, 整理得2b2+2ab+2a2-1=0 又由a2+b2+c2=1易知0≤b2≤1,-1≤b≤1因此关于b的方程 =4a2-8(2a2-1)≥0, 2b2+2ab+2a2-1=0在[-1,1上有解,所以 2 2-2a+2a2-1≥0, 2+2a+.2a2-1>0 关闭 解析>》答案
-7- 能力目标解读 热点考题诠释 1 2 3 4 4.(2014 浙江高考,文 16)已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,a 2 +b2 +c2 =1,则 a 的最大值是 . 命题定位:本题主要考查方程的应用、二次方程求解、二次方程有解的 条件、不等式的解法等知识,体现了对基本运算能力、问题的化归能力、抽 象概括能力和方程思想,以及分析问题、解决问题及综合运用知识的能力的 考查. 解析 答案 关闭 由 a+b+c=0 可得 c=-(a+b). 又 a 2 +b2 +c2 =1,所以 a 2 +b2 +[-(a+b)]2 =1, 整理得 2b 2 +2ab+2a 2 -1=0. 又由 a 2 +b2 +c2 =1 易知 0≤b 2 ≤1,-1≤b≤1,因此关于 b 的方程 2b 2 +2ab+2a 2 -1=0 在[-1,1]上有解,所以 𝛥 = 4𝑎 2 -8(2𝑎 2 -1) ≥ 0, -1 ≤ - 𝑎 2 ≤ 1, 2-2𝑎 +2𝑎 2 -1 ≥ 0, 2 +2𝑎 + 2𝑎 2 -1 ≥ 0, 解得 a≤ 6 3 ,即 a 的最大值是 6 3 . 关闭 6 3
能力突破点一能力突破点 能力突破点 能力突破方略能力突破模型能力迁移训练 函数零点的判断 思考判断函数零点个数的常见方法有哪些? 提示(1)直接法:解方程八(x)=0,方程有几个解函数八(x)就有几个零 点 (2)图象法:画出函数fx)的图象,函数八x)的图象与x轴的交点个数 即为函数八(x)的零点个数 (3)将函数八x)拆成两个常见函数h(x)和8(x)的差,从而 八x)=0÷h(x)g(x)=0÷h(x)=g(x),则函数fx)的零点个数即为函数y=h(x) 与y=g(x)的图象的交点个数; (4)二次函数的零点问题通过相应的二次方程的判别式4来判断
-8- 能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 函数零点的判断 思考:判断函数零点个数的常见方法有哪些? 提示:(1)直接法:解方程 f(x)=0,方程有几个解,函数 f(x)就有几个零 点; (2)图象法:画出函数 f(x)的图象,函数 f(x)的图象与 x 轴的交点个数 即为函数 f(x)的零点个数; (3)将函数 f(x)拆成两个常见函数 h(x)和 g(x)的差,从而 f(x)=0⇔h(x)-g(x)=0⇔h(x)=g(x),则函数 f(x)的零点个数即为函数 y=h(x) 与 y=g(x)的图象的交点个数; (4)二次函数的零点问题,通过相应的二次方程的判别式 Δ 来判断
能力突破点一能力突破点 能力突破点 能力突破方略能力突破模型能力迁移训练 关闭 在同一平面直角坐标系中作出函数八x)及y=-1的图象如下图 当k>0时八f(x)=1 则1∈(-:)或)=∈(01对于1)存在两个零点x ,,》,,, ,人,,,,,…,L, 关闭 D 解析>》答案
-9- 能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 【例 1】若函数 f(x)= 𝑘𝑥 + 1,𝑥 ≤ 0, ln𝑥,𝑥 > 0, 则当 k>0 时,函数 y=f(f(x))+1 的零 点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析推理本题的切入点是将函数 y=f(f(x))+1 的零点化归 为方程 f(f(x))=-1,进而转化为两函数图象的交点问题,而找准 f(f(x))对应的 解析式是准确解答的关键. 解析 答案 关闭 在同一平面直角坐标系中作出函数 f(x)及 y=-1 的图象如下图. 当 k>0 时,f(f(x))=-1, 则f(x)=t1∈ -∞,- 1 𝑘 或f(x)=t2∈(0,1),对于f(x)=t1,存在两个零点x1,x2; 对于 f(x)=t2 存在两个零点 x3,x4;共计存在 4 个零点. 故选 D. 关闭 D
能力突破点一能力突破点 能力突破点 能力突破方略能力突破模型能力迁移训练 点评:确定函数零点的常用方法 (1)解方程判定法,若方程易求解时用此法; (2)数形结合法,在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时,当从 正面求解难以入手时,可以转化为某一易入手的等价问题求解,如求解含有 绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题常转化为熟 悉的两个函数图象的交点问题处理
-10- 能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 点评:确定函数零点的常用方法: (1)解方程判定法,若方程易求解时用此法; (2)数形结合法,在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时,当从 正面求解难以入手时,可以转化为某一易入手的等价问题求解,如求解含有 绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟 悉的两个函数图象的交点问题处理