函数与方程
函数与方程
下列命题正确的是 (c) (A)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 (B)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不 断),则fa)b)<0. (C)二次函数y=ax2+bx+c(a+0)在b2-4c<0时没有零 点 (D)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的 近似值
下列命题正确的是 （ ） (A)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． (B)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不 断)，则f(a)·f(b)＜0. (C)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b 2－4ac＜0时没有零 点． (D)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的 近似值． C
考点、函数零点的判断与求解 【例1】(1)(2014唐山一模)设∫x)=e+x-4,则函数fx)的零点 位于区间() 利用零点有在性定 理 A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) (2)见下一页 解析(1)∵fx)=e+x-4 f(x)=ex+1>0, ∴函数(x)在R上单调递增, 对于A项,f(-1)=e-1+(-1)-4=-5+e 10,A不正确; 同理可验证B,D不正确, 对于C项,∵∫(1)=e+1-4=e=3<0
解析 (1)∵f(x)＝e x＋x－4， ∴f′(x)＝e x＋1＞0， ∴函数f(x)在R上单调递增， 对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－ 1＜0， f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A不正确； 同理可验证B，D不正确， 对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3＜0， f(2)＝e 2＋2－4＝e 2－2＞0，f(1)f(2)＜0. 考点一 函数零点的判断与求解 【例 1】(1)(2014·唐山一模)设 f(x)＝e x ＋x－4，则函数 f(x)的零点 位于区间( ) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) (2)见下一页 利用零点存在性定 理
【例1】(2)(2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0 时,八x)=x2-3x则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为( B.{-3,-1,1,3} 转化为求方程g(x)=0的 1,3}D.{-2- 根 (2)当x≥20时,八x)=x2-3x, 令g(x)=x2-3x-x+3=0,得x1=3,x2=1 当x0,∴f-x)=(-x)2-3( 八2计3￥24备 3x x+3=0 函数(x)=(x)=x+3的零点的集合是{-2-V,1,3}, 答案(1)C(2)D
(2)当x≥0时，f(x)＝x 2－3x， 令g(x)＝x 2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1. 当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝(－x) 2－3(－ x)， ∴－f(x)＝x 2＋3x，∴f(x)＝－x 2－3x. 令g(x)＝－x 2－3x－x＋3＝0， 【例 1】(2)(2014·湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥ 0 时，f(x)＝x 2 －3x.则函数 g(x)＝f(x)－x＋3 的零点的集合为( ) A．{ 1，3} B．{－3，－1，1，3} C．{ 2－ 7，1，3} D．{－2－ 7，1，3} 转化为求方程g(x)＝0的 根 得 x3＝－2－ 7，x4＝－2＋ 7＞0(舍)， ∴函数 g(x)＝f(x)－x＋3 的零点的集合是{－2－ 7，1，3}， 答案 (1)C (2)D
规律方法 (1)确定函数的零点所在的区间时,通常利用零 点存在性定理,转化为确定区间两端点对应的 函数值的符号是否相反 (2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知, 求函数的零点与求相应方程的根是等价的.对 于求方程x)=g(x)的根,可以构造函数F(x)= f(x)-g(x),函数F(x)的零点即方程(x)=g(x)的 根
规律方法 (1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零 点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的 函数值的符号是否相反． (2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知， 求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对 于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝ f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x)＝g(x)的 根．
2x-1,x1, 【训练1(2015莱若一模已知函数八x21+gx,x> 函数f(x)的零点为( 0B.-2,0C.D.0 解析当x≤1时,由(x)=2x-1=0,解得 x=0 解得x 因为x>1 正时程鬼)=1+1gx=0, 综上,函数(x)的零点只有0 答案D
解析 当x≤1时，由f(x)＝2 x－1＝0，解得 x＝0； 当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0， 【训练 1】 (2015·莱芜一模)已知函数 f(x)＝ 2 x －1，x≤1， 1＋log2x，x＞1， 则 函数 f(x)的零点为( ) A． 1 2 ，0 B．－2，0 C． 1 2 D．0 解得 x＝ 1 2 ， 又因为x＞1， 所以此时方程无解． 综上，函数f(x)的零点只有0. 答案 D
【例2】已知函数几(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0) (1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围利用数形结 (2)确定m的取值范围,使得g(x)-x)=0有两个相异实根 解(1)法一∵g(x)=x+≥2Ve2=2e,等号成立的条件是x=e, 故g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需 m≥2e, 则y二雅g就有点小的大致图象 /y=g( 2el y=m 如图. 可知若使y=g(x)-m有零点, O x 则只需m≥2e
解 (1)法一 ∵g(x)＝x＋ e 2 x ≥2 e 2＝2e， 故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需 m≥2e， 则y＝g(x)－m就有零点． 可知若使y＝g(x)－m有零点， 则只需m≥2e. 【例 2】已知函数 f(x)＝－x 2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ e 2 x (x＞0)． (1)若 y＝g(x)－m 有零点，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根． 等号成立的条件是x＝e， 法二 作出 g(x)＝x＋ e 2 x (x＞0)的大致图象 如图． y=m 利用数形结 合
(2)若g(x)-x)=0有两个相异实根, 即y=g(x)与y=fx)的图象有两个不同的交点-1+e /y=g(x) 作出g(x)=x+(x>0的大致图象,如图 f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2 其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m 1+e2 故当m-1+2>2e,即m>-2+2e+1时, gx)与fx)有两个交点,即g(x)-x)=0有两个相异实 根 m的取值范围是(e2+2e+1,+)
∵f(x)＝－x 2＋2ex＋m－1＝－(x－e) 2＋m－1＋e 2 . ∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－ 1＋e 2 . 故当m－1＋e 2＞2e，即m＞－e 2＋2e＋1时， g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实 根． ∴m的取值范围是(－e 2＋2e＋1，＋∞)． (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根， 即y＝g(x)与y＝f(x)的图象有两个不同的交点， 作出 g(x)＝x＋ e 2 x (x＞0)的大致图象，如图. y＝f(x) m－1＋e 2
规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围, 若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围, 若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两 个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会 使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合 思想的应用
规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围， 若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围， 若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两 个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会 使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合 思想的应用．
【训练2】(1)函数fx)=2 a的一个零点在区间(1,2)内,则 实数a的取值范围是() A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2) (2)见下一页 解析(1)因为函数fx)=2 a在区间(1,2)上单调递增, 又函数fx)=2x a的一个零点在区间(1,2)内, 则有f(1)f(2)<0, 所以(-a(4-1-a)<0,即a(a-3)<0. 所以0<a<3
则有f(1)·f(2)＜0， 所以(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0. 所以0＜a＜3. 【训练 2】(1)函数 f(x)＝2 x － 2 x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则 实数 a 的取值范围是( ) A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2) (2)见下一页 解析 (1)因为函数 f(x)＝2 x － 2 x －a 在区间(1，2)上单调递增， 又函数 f(x)＝2 x － 2 x －a 的一个零点在区间(1，2)内