第三章函数的基本性质 3.4.6函数的基本性质 347函数的基本性质 零点
第三章 函数的基本性质 3.4.6 函数的基本性质 3.4.7 函数的基本性质 零点
函数的零点( Zeropoint 一般地,如果函数y=f(x)在实数C处的值等于 零,即 f(c)=0 则x=C叫做函数y=f(x)的零点 例一次函数y=2x-4,x∈R的零点是x=2 零点就是方程f(x)=0的实数根; 零点就是函数图像与x轴交点的横坐标
一、函数的零点(zero point) 一般地，如果函数 y f x = ( ) 在实数 处的值等于 零点就是方程 f x( ) 0 = 的实数根； 零点就是函数图像与 轴交点的横坐标. 例 一次函数 y x x R = − 2 4, 的零点是 x = 2 x c 零，即 f c( ) 0 = 则 x c = 叫做函数 y f x = ( ) 的零点
函数的零点( Zeropoint 一般地,如果函数y=f(x)在实数C处的值等于 零,即 f(c)=0 则x=C叫做函数y=f(x)的零点 思考在怎样的区问 中必定有零点的存在? /xo 0 x
一、函数的零点(zero point) 一般地，如果函数 y f x = ( ) 在实数 处的值等于 零，即 f c( ) 0 = 则 叫做函数 y f x = ( ) 的零点. c x c = x y x0 O 1 x 2 x 思考 在怎样的区间 中必定有零点的存在？
二、闭区间上连续函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在闭区间[ab的图像是连续的 条曲线,并且有f(a),f(b)<0 那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0 思考 为什么要连续函数? xo o x
二、闭区间上连续函数零点存在定理 如果函数 y f x = ( ) 在闭区间 [ , ] a b 的图像是连续的 一条曲线，并且有 f a f b ( ) ( ) 0 那么函数 y f x = ( ) 在区间 ( , ) a b 内有零点， 即存在 c a b ( , ) ，使得 f c( ) 0 = x y x0 O 1 x 2 x 思考 为什么要连续函数？
例1填写函数f(x)=x3-6x+2,x∈R 的部分函数值并判断该函数零点的个数与范围: x-3-2-10123 f(x)-7672-3-211 解:此函数为连续函数,因此在任意闭区间上图 像都是连续的曲线. f(-3)·f(-2)<0,f(0)·f(1)<0,f(2)·f(3)<0 f(x)在(-3,-2,(0,1,(2,3)内各有一个零点 思考(0,1)中的零点在(0,0.5内还是在(0.5,1)内?
例1.填写函数 3 f x x x x R ( ) 6 2, = − + 的部分函数值并判断该函数零点的个数与范围: 解：此函数为连续函数，因此在任意闭区间上图 f f ( 3) ( 2) 0, − − f f (0) (1) 0 , (2) (3) 0 f f f x( ) 在 ( 3, 2), (0,1), (2,3) − − 内各有一个零点. 像都是连续的曲线. 思考 (0,1)中的零点在(0, 0.5)内还是在(0.5,1)内 ? x f x( ) −3 −2 −1 0 1 2 3 −7 6 7 2 −3 −2 11
例1填写函数f(x)=x3-6x+2,x∈R 的部分函数值并判断该函数零点的个数与范围: x-3|-2-10123 f(x)-7672-3-211 零点所在区间: 05(分 (0,1)Y(0,0.5 0.875 0.5 O0.25 Y(0.25.0 5) 0.25 0.515
例1.填写函数 3 f x x x x R ( ) 6 2, = − + 的部分函数值并判断该函数零点的个数与范围: 0.5 −0.875 0.25 0.515 零点所在区间： (0,1) Ý (0, 0.5) Ý (0.25, 0.5) x f x( ) −3 −2 −1 0 1 2 3 −7 6 7 2 −3 −2 11 O 0.25 0.5 1 x y
三、二分法 对于区间[a,b]上连续且f(a)·f(b)<0的函数f(x) 通过不断地把零点所在区间一分为二,使区间端 点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法 C≈q+b 2 a+c 2
x 三、二分法 对于区间 [ , ] a b 上连续且 f a f b ( ) ( ) 0 的函数 f x( ) 通过不断地把零点所在区间一分为二，使区间端 点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. a 2 b a b c + = 2 a c +
例2用二分法计算函数f(x)=x3-6x+2,x∈R 在区间(2,3)内的零点c,(精确度0.1) 解:f(2)0→c∈(2,3) f(2.5)=2625>0→c∈(2,2.5) f(2.25)≈-0.110→c∈(2.25,2.375) f(2.3125)≈0.49>0→c∈(225,2.3125) ∵2,25-2.3125=0.0625<0.1 c可取(225,2.3125)内任意一值为近似值 注意如果要求“精确到0.1”,则c≈2.3
例2.用二分法计算函数 3 f x x x x R ( ) 6 2, = − + 在区间 内的零点 ，(精确度0.1). 解： f f (2) 0, (3) 0 f (2.5) 2.625 0 = f (2.25) 0.11 0 − (2,3) c f (2.375) 1.15 0 f (2.3125) 0.49 0 c (2,3) c (2, 2.5) c (2.25, 2.5) c (2.25, 2.375) c (2.25, 2.3125) | 2.25 2.3125 | 0.0625 0.1 − = c 可取 (2.25, 2.3125) 内任意一值为近似值. 注意 如果要求“精确到0.1”，则 c 2.3
选讲)四、“二分法”计算步 噪给定区间ab,精确度E,验证fa)f(b)<0 (2)求区间中点C (3)计算f(c) ①若f(c)=0,则x=c就是零点 ②若f(a)f(c)<0,则令b=c; ③若f(c),f(b)<0,则令a=C (4)判断是否达到精确度E:即若a-b≤E 则得到零点近似值为a(或b); 否则重复(2)-(4
(选讲 )四、“二分法”计算步 (1) 骤给定区间 [ , ] a b ，精确度 , 验证 f a f b ( ) ( ) 0 . (2)求区间中点c . (3)计算 f c( ) : ① 若 f c( ) 0 = ，则 x c = 就是零点； ② 若 f a f c ( ) ( ) 0 ，则令 b c = ； ③ 若 f c f b ( ) ( ) 0 ，则令 a c = . (4)判断是否达到精确度 ：即若 | | a b − 则得到零点近似值为 a ( 或 b ) ； 否则重复(2)~(4)