函数的概念 ①设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则∫,对于集合A中任何一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到 B的对应法则f)叫做集合A到B的一个函数,记作f:4→B ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. 求函数的定义域时,一般遵循以下原则 ①f(x)是整式时,定义域是全体实数 ②f(x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1 x≠k+(k∈z ⑤y=tanx中, ⑥零(负)指数幂的底数不能为零 二函数的表示法 函数的表示方法:表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 映射的概念 ①设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则J,对于集合A中任何一个元素,在集合 B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则 )叫做集合4到B的映射,记作fA→B ②给定一个集合A到集合B的映射,且a∈Ab∈B.如果元素a和元素b对应,那么我 们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象 三单调性与最大(小)值 1函数的单调性
一 函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个数 x ， 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x( ) 和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ，B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到 B 的一个函数，记作 f A B : → ． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① f x( ) 是整式时，定义域是全体实数． ② f x( ) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③ f x( ) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1． ⑤ y x = tan 中， ( ) 2 x k k Z + ． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． 二 函数的表示法 函数的表示方法：表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 映射的概念 ①设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ，B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到 B 的映射，记作 f A B : → ． ② 给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 a A b B , ．如果元素 a 和元素 b 对应，那么我 们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象． 三 单调性与最大（小）值 1 函数的单调性
①定义及判定方法 函数的定义 图象 判定方法 如果对于属于定义域1内 (1)利用定义 某个区间上的任意两个yy=mx) (2)利用已知函数 自变量的值x1、x2,当x1< f(x) 的单调性 x2时,都有f(x1}kfx2),那 (3)利用函数图象 么就说f×)在这个区间上 fx (在某个区间图 是增函数 象上升为增 函数的 (4)利用复合函数 单调性 如果对于属于定义域1内 (1)利用定义 某个区间上的任意两个/y y=(X) (2)利用已知函数 自变量的值x1、x2,当x<x 的单调性 x2时,都有f(x1)fx2),那 (3)利用函数图象 么就说fx)在这个区间上 (在某个区间图 是减函数 象下降为减) (4)利用复合函数 2最大(小)值定义 ①一般地,设函数y=f(x)的定义域为1,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈1, 都有f(x)≤M;(2)存在x∈1,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数f(x)的 最大值,记作Jm(x)=M ()一般地,设函数y=(x)的定义域为1,如果存在实数m满足:(1)对于任意的x∈I 都有f(x)≥m;(2)存在x∈,使得(x)=m那么,我们称m是函数f(x)的最小 值,记作:f(x)min=m 四函数的奇偶性 ①定义及判定方法
①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、x2,当 x1f(x2)，那 么就说 f(x)在这个区间上 是减函数． （1）利用定义 （2）利用已知函数 的单调性 （3）利用函数图象 （在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数 2 最大（小）值定义 ①一般地，设函数 y f x = ( ) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：（1）对于任意的 x I ， 都有 f x M ( ) ；（2）存在 0 x I ，使得 0 f x M ( ) = ．那么，我们称 M 是函数 f x( ) 的 最大值，记作 max f x M ( ) = ． (2) 一般地，设函数 y f x = ( ) 的定义域为 I ，如果存在实数 m 满足：（1）对于任意的 x I ， 都有 f x m ( ) ；（2）存在 0 x I ，使得 0 f x m ( ) = ．那么，我们称 m 是函数 f x( ) 的最小 值，记作: f x( ) min = m 四 函数的奇偶性 ① 定义及判定方法 x1 x 2 y=f(X) x y f(x )1 f(x )2 o y y=f(X) o x x 2 x f(x ) f(x )2 1 1
函数的定义 图象 判定方法 如果对于函数f(x)定义域 (1)利用定义(要 内任意一个x,都有f( (a, f(a)) 先判断定义域是否 x=-fx),那么函数f(x)叫 关于原点对称) 做奇函数 (2)利用图象(图 (-a,f(-a)) 象关于原点对称) 函数的 奇偶性如果对于函数fx)定义域 (1)利用定义(要 内任意一个x,都有f- (-a,f(-a)(a,f(a) 先判断定义域是否 x)=f(x,那么函数f(x)叫做 关于原点对称) 偶函数 (2)利用图象(图 象关于y轴对称) ②函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f()=0 ③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相 偶函数关于y(即x0)轴对称,偶函数有关系式f(-x)=f(x) 奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式f(x)+f(-x)=0 五函数周期性、对称性 1周期性:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每 个值时,都有∫(x+7)=∫(x)都成立,那么就把函数y=∫(x)叫做周期函数,不为零 的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的 正数叫做最小正周期。nT(n∈Z,n≠0) 2函数y=f(x)满足如下关系系,则f(x)的周期为27 或f(x+T) f(x+r)=-f(x) f(x+T=f(x-T) 3、函数f(x满足fx+a)=f(x+b,则函数f(x)的周期是T=|(x+a)-(x+b)|=|a-b 六两个函数的图象对称性 f(x)ey=-f(x) 关于X轴对称
函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域 内任意一个 x，都有 f(－ x)=－f(x),那么函数 f(x)叫 做奇函数． （1）利用定义（要 先判断定义域是否 关于原点对称） （2）利用图象（图 象关于原点对称） 如果对于函数 f(x)定义域 内任意一个 x，都有 f(－ x)=f(x),那么函数 f(x)叫做 偶函数． （1）利用定义（要 先判断定义域是否 关于原点对称） （2）利用图象（图 象关于 y 轴对称） ② 函数 f x( ) 为奇函数，且在 x = 0 处有定义，则 f (0) 0 = ． ③ 奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相 反． 偶函数关于 y（即 x=0）轴对称，偶函数有关系式 f (−x) = f (x) 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 f (x) + f (−x) = 0 五 函数周期性、对称性 1 周期性：对于函数 y = f (x) ，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每 一个值时，都有 f (x + T) = f (x) 都成立，那么就把函数 y = f (x) 叫做周期函数，不为零 的常数 T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的 正数叫做最小正周期。nT（ n∈Z,n≠0 ） 2 函数 y = f (x) 满足如下关系系，则 f (x)的周期为2T f (x + T) = − f (x) ； ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) f x f x T f x f x + T = 或 + = − ； ƒ(x+T)=ƒ( x-T ) 3、函数 f(x)满足 f(x＋a)=f(x＋b),则函数 f(x)的周期是 T=|(x＋a)－(x＋b)|=|a－b| 六 两个函数的图象对称性 1、 与 关于 X 轴对称。 y = f (x) y = − f (x)
2、y=(x)与y=f(-x)关于Y轴对称。 3函数y=f(x)与y=-f(-x)图象关于原点对称 a+b 4y=/(a-x)与y=(x-关=2则称 七函数零点 1、函数零点的概念:对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数 y=f(x)x∈D)的零点。 2、函数零点的意义:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根,亦即函数y=f(x)的 图象与x轴交点的横坐标。即:方程f(x)=0有实数根兮函数y=f(x)的图象与x轴 有交点→函数y=f(x)有零点 3、函数零点的求法: 求函数y=f(x)的零点 ①(代数法)求方程(x)=0的实数根 ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并 利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点: 二次函数y=ax+bx+c(a≠0) 1)△>0,方程ax2+bx+c=0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点 次函数有两个零点 2)△=0,方程ax2+bx+c=0有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x轴有 个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点 3)△<0,方程ax2+bx+c=0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零
2、 与 关于 Y 轴对称。 3 函数 y = f (x) 与 y = − f (−x) 图象关于原点对称 4 y = f (a − x) 与 y = (x − b) 关于直线 2 a b x + = 对称。 七 函数零点 1、函数零点的概念：对于函数 y = f(x )(x D ) ，把使 f (x) = 0 成立的实数 x 叫做函数 y = f (x)(x D) 的零点。 2、函数零点的意义：函数 y = f (x) 的零点就是方程 f (x) = 0 实数根，亦即函数 y = f (x) 的 图象与 x 轴交点的横坐标。即：方程 f (x) = 0 有实数根 函数 y = f (x) 的图象与 x 轴 有交点 函数 y = f (x) 有零点． 3、函数零点的求法： 求函数 y = f (x) 的零点： ○1 （代数法）求方程 f (x) = 0 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y = f (x) 的图象联系起来，并 利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点： 二次函数 ( 0) 2 y = ax + bx + c a ． １）△＞０，方程 0 2 ax + bx + c = 有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二 次函数有两个零点． ２）△＝０，方程 0 2 ax + bx + c = 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 x 轴有一 个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． ３）△＜０，方程 0 2 ax + bx + c = 无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零 点． y = f (x) y = f (−x)