教师辅导讲义 年级:高 辅导科目:数学 课时数:3 课题 函数的基本性质 教学目的通过综合的练习与巩固,是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法 教学内容 知识梳理】 函数的基本性质:奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点(周期性后面讲) 【典型例题分析】 例1、函数∫(x)的定义域为R,且对任意x、y∈R,有f(x+y)手(x)+f(y),且当x>0时,f(x)0.:f(x-x1)0,即f(x)>f(x2),从而f(x)在R上是减函数 (3)解:由于f(x)在R上是减函数,故f(x)在[-3,3]上的最大值是f(-3),最小值是∫(3),由f(1) 2,得f(3)可(1+2)可(1)+f(2)可(1)+f(1+1)-f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(-2)=-6,f (-3)=-f(3)=6从而最大值是6,最小值是-6 例2、关于x的方程x2-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根,则实数a的值是 解析:作函数 4x+3的图象,如下图
1 教师辅导讲义 年 级： 高一 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 函数的基本性质 教学目的 通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法 教学内容 【知识梳理】 函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲） 【典型例题分析】 例 1、函数 f（x）的定义域为 R，且对任意 x、y∈R，有 f（x+y）=f（x）+f（y），且当 x＞0 时，f（x）＜0，f（1）= －2. （1）证明 f（x）是奇函数； （2）证明 f（x）在 R 上是减函数； （3）求 f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值. （1）证明：由 f（x+y）=f（x）+f（y），得 f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+ f（－x）=f（0）.又 f（0+0） =f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有 f（x）+f（－x）=0. ∴f（－x）=－f（x）.∴f（x）是奇函数. （2）证明：任取 x1、x2∈R，且 x1＜x2，则 f（x1）－f（x2）=f（x1）－f［x1+（x2－x1）］=f（x1）－［f（x1）+f （x2－x1）］=－f（x2－x1）.由 x1＜x2，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0. ∴－f（x2－x1）＞0，即 f（x1）＞f（x2），从而 f（x）在 R 上是减函数. （3）解：由于 f（x）在 R 上是减函数，故 f（x）在［－3，3］上的最大值是 f（－3），最小值是 f（3）.由 f（1） =－2，得 f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×（－2）=－6，f （－3）=－f（3）=6.从而最大值是 6，最小值是－6. 例 2、关于 x 的方程|x 2－4x+3|－a=0 有三个不相等的实数根，则实数 a 的值是___________________. 解析：作函数 y=|x 2－4x+3|的图象，如下图
由图象知直线y=1与=x2-4x+3的图象有三个交点,即方程x2-4x+3=1也就是方程x2-4x+3-1=0有三个 不相等的实数根,因此a=1 答案:1 例3、已知二次函数∫(x)=x2+bx+c(b≥0,c∈R) 若∫(x)的定义域为[-1,0]时,值域也是[-1,0],符合上述条件的函数∫(x)是否存在?若存在,求出 ∫(x)的表达式;若不存在,请说明理由 解:设符合条件的f(x)存在, ∵函数图象的对称轴是x=-b 又b≥0,∴:-b≤0 ①当一<-≤0,即0≤b<1时, 2 函数x=-有最小值一1,则 +c=-1b=0.Jb=4,(舍去) 1-b+c=0 ②当一1<一≤-,即1≤b<2时,则 (舍去)或 (舍去) f(0)=0 ③当一≤-1,即b≥2时,函数在[-1,0]上单调递增,则 ∫f(-1)=-1 解得 f(o)=0. C=0 综上所述,符合条件的函数有两个 f(x) =x2-1或f(x) 变式练习 已知二次函数f(x)=x2+(b+1)x+c(b≥0,c∈R) 若∫(x)的定义域为[-1,0]时,值域也是[-1,0],符合上述条件的函数∫(x)是否存在?若存在,求出 (x)的表达式:若不存在,请说明理由 解:∵函数图象的对称轴是 2,又b≥0,∴-b+1 设符合条件的f(x)存在 2
2 x y O 1 2 3 - 1 1 2 3 由图象知直线 y=1 与 y=|x 2－4x+3|的图象有三个交点，即方程|x 2－4x+3|=1 也就是方程|x 2－4x+3|－1=0 有三个 不相等的实数根，因此 a=1. 答案：1 例 3、已知二次函数 f（x）=x 2+bx+c（b≥0，c∈R）. 若 f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数 f（x）是否存在？若存在，求出 f（x）的表达式；若不存在，请说明理由. 解：设符合条件的 f（x）存在， ∵函数图象的对称轴是 x=－ 2 b ， 又 b≥0，∴－ 2 b ≤0. ①当－ 2 1 ＜－ 2 b ≤0，即 0≤b＜1 时， 函数 x=－ 2 b 有最小值－1，则 = − = − + = − + = − − = − = − 1 0, 1 0 1 4 2 ( 1) 0 ) 1 2 ( 2 2 c b b c c b b f b f 或 = = 3 4, c b （舍去）. ②当－1＜－ 2 b ≤－ 2 1 ，即 1≤b＜2 时，则 = = = − = − 0 2, (0) 0 ) 1 2 ( c b f b f （舍去）或 = = − 0 2, c b （舍去）. ③当－ 2 b ≤－1，即 b≥2 时，函数在［－1，0］上单调递增，则 = − = − (0) 0, ( 1) 1, f f 解得 = = 0. 2, c b 综上所述，符合条件的函数有两个， f（x）=x 2－1 或 f（x）=x 2+2x. 变式练习： 已知二次函数 f（x）=x 2+（b+1）x+c（b≥0，c∈R）. 若 f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数 f（x）是否存在？若存在，求出 f（x）的表达式；若不存在，请说明理由. 解：∵函数图象的对称轴是 x=－ 2 b +1 ，又 b≥0，∴－ 2 b +1 ≤－ 2 1 . 设符合条件的 f（x）存在
①当-b+1 ≤-1时,即b≥1时,函数∫(x)在[一1,0]上单调递增,则 (b+1) 1|b=1, 1f(0)=0 C=0 2 (舍去) 综上所述,符合条件的函数为f(x)=x2+2x 例4、设∫(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意a、b∈[-1,1],当a+b≠0时,都有f(a)+f(b b (1)若a>b,比较∫(a)与∫(b)的大小 (2)解不等式f(x-)b,∵f(a)>f(b) (2)))≤f4),得 ∴不等式的解集为{-5x5 (3)由-1≤x-c≤1,得-1+c≤x≤1+c, P={x-1+c≤x≤1+c} 由-1≤x-c2≤1,得-1+c2≤x≤1+c2, 1+c2≤x≤1+c2
3 ①当－ 2 b +1 ≤－1 时，即 b≥1 时，函数 f（x）在［－1，0］上单调递增，则 = = = − + + = − = − = − 0. 1, 0 1 ( 1) 1 (0) 0 ( 1) 1 c b c b c f f ②当－1＜－ 2 b +1 ≤－ 2 1 ，即 0≤b＜1 时，则 = = − + − (0) 0 ) 1 2 1 ( f b f = = = + = − + − + 0 1, 0 1 2 ( 1) ) 2 1 ( 2 2 c b c c b b （舍去）. 综上所述，符合条件的函数为 f（x）=x 2+2x. 例 4、设 f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意 a、b∈［－1，1］，当 a+b≠0 时，都有 a b f a f b + ( ) + ( ) ＞0. （1）若 a＞b，比较 f（a）与 f（b）的大小； （2）解不等式 f（x－ 2 1 ）＜f（x－ 4 1 ）； （3）记 P={x|y=f（x－c）}，Q={x|y=f（x－c 2）}，且 P∩Q= ，求 c 的取值范围. 解：设－1≤x1＜x2≤1，则 x1－x2≠0， ∴ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 x x f x f x + − + − ＞0. ∵x1－x2＜0，∴f（x1）+f（－x2）＜0. ∴f（x1）＜－f（－x2）. 又 f（x）是奇函数，∴f（－x2）=－f（x2）. ∴f（x1）＜f（x2）. ∴f（x）是增函数. （1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）. （2）由 f（x－ 2 1 ）＜f（x－ 4 1 ），得 − − − − − − , 4 1 2 1 1, 4 1 1 1, 2 1 1 x x x x ∴－ 2 1 ≤x≤ 4 5 . ∴不等式的解集为{x|－ 2 1 ≤x≤ 4 5 }. （3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c， ∴P={x|－1+c≤x≤1+c}. 由－1≤x－c 2≤1，得－1+c 2≤x≤1+c 2， ∴Q={x|－1+c 2≤x≤1+c 2}
P∩O=②, ∴1+c1+c2 解得c>2或cf(-5) B.f(4)>f(3) C.f(-2)>f(2) D.f(-8)≥f(8) 2.如果奇函数∫(x)在区间3,7上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-上是() A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5 3.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是() -x+1 √xC.y=x2-4x+5D.y= 4.对于定义域是R的任意奇函数∫(x)有() A.f(x)-f(-x)20 B.f(x)-f(-x)≤0 ∫(x)f(-x)≤0 D.f(x)f(-x)20 求函数y=x-x2(-1≤x≤1)的最大值,最小值
4 ∵P∩Q= ， ∴1+c＜－1+c 2 或－1+c＞1+c 2， 解得 c＞2 或 c＜－1. 例 5、建筑一个容积为 8000 m3、深 6 m 的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为 a 元／米 2，池底造价为 2a 元／米 2，把总造价 y 元表示为底的一边长 x m 的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________ m 时总造价最低是___________元. 解析：设池底一边长 x（m），则其邻边长为 6x 8000 （m），池壁面积为 2·6·x＋2·6· 6x 8000 ＝12（x＋ 6x 8000 ）（m2）， 池底面积为 x· 6x 8000 ＝ 6 8000 （m2），根据题意可知蓄水池的总造价 y（元）与池底一边长 x（m）之间的函数关系式 为 y＝12a（x＋ 6x 8000 ）＋ 3 8000 a. 定义域为（0，＋∞）. x＋ 6x 8000 ≥2 x x 6 8000 ＝ 3 40 30 （当且仅当 x= 6x 8000 即 x= 3 20 30 时取“=”）. ∴当底边长为 3 20 30 m 时造价最低，最低造价为（160 30 a＋ 3 8000 a）元. 答案：y=12a（x+ 6x 8000 ）+ 3 8000 a （0，+∞） 3 20 30 160 30 a+ 3 8000 a 【课堂小练】 1．已知 f x( ) 是定义 (− + , ) 上的奇函数，且 f x( ) 在 0,+) 上是减函数．下列关系式中正确的是 ( ) A． f f (5 5 ) −( ) B． f f (4 3 ) ( ) C． f f (− 2 2 ) ( ) D． f f (− 8 8 ) ( ) 2．如果奇函数 f x( ) 在区间[3，7]上是增函数且最小值为 5，那么 f x( ) 在区间 − − 7, 3 上是 ( ) Ａ．增函数且最小值为 −5 Ｂ．增函数且最大值为−5 Ｃ．减函数且最小值为 −5 Ｄ．减函数且最大值为−5 3．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是 ( ) A． y x = − +1 B． y x = C． 2 y x x = − + 4 5 D． 2 y x = 4．对于定义域是 R 的任意奇函数 f x( ) 有 ( ) A． f x f x ( ) − − ( ) 0 B． f x f x ( ) − − ( ) 0 C． f x f x ( ) (− ) 0 D． f x f x ( ) (− ) 0 5．求函数 ( ) 2 y x x x = − − 1 1 的最大值，最小值．
6.将长度为l的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆,要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周 长应为 7.函数∫(x)=kx+b(k≠0)的单调性是 函数f(x)是偶函数,而且在(0,+)上是减函数,判断∫(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并加以证 如果二次函数()=x2(=)+5在区间2)上是增函数,求/(2)的取值范围 10.求函数y=3-√2-2x+x2的最大值 11.已知函数f(x)=x+-.判断f(x)在区间(O,1和1,+)上的单调性,说明理由 12.已知函数∫(x)是偶函数,且x≤0时,f(x)= 1+x 求 (1)f(5)的值 (2)f(x)=0时x的值
5 6．将长度为 l 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周 长应为__________． 7．函数 f x kx b k ( ) = + ( 0) 的单调性是____________． 8．函数 f x( ) 是偶函数，而且在 (0,+) 上是减函数，判断 f x( ) 在 (−,0) 上是增函数还是减函数，并加以证 明． 9．如果二次函数 ( ) ( ) 2 f x x a x = − − + 1 5 在区间 1 ,1 2 上是增函数，求 f (2) 的取值范围． 10．求函数 2 y x x = − − + 3 2 2 的最大值． 11．已知函数 ( ) 1 f x x x = + ．判断 f x( ) 在区间(0，1]和[1，+∞)上的单调性，说明理由． 12．已知函数 f x( ) 是偶函数，且 x 0 时， ( ) 1 . 1 x f x x + = − ．求 (1) f (5) 的值， (2) f x( ) = 0 时 x 的值；
(3)当x>0时,f(x)的解析式 13.作出函数y=x-2(x+1)的图象,并根据函数的图象找出函数的单调区间 答案
6 (3)当 x >0 时， f x( ) 的解析式． 13．作出函数 y x x = − + 2 1 ( ) 的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间． 答案：
C2B3B4C.5.4 7.k>0函数为R上的增函数;k-x2>0. ∵f(x)是偶函数,而且在(0,+∞)上是减函数,∴f(-x1)0时,f(x) 13.解:(1)当x≥2,即x-2≥0时, y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x-2)-4 当x<2,即x-2<0时, y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x-2)+ 所以 这是分段函数,每段函数图象可根据二次函数图象作出(见 右图)其中(-∞,][2,+∞)是函数的增区间 [2 ,2是函数的减区间 【课后练习】(可作为单元测试卷) 、选择题 1.下面说法正确的选项
7 【课后练习】（可作为单元测试卷） 一、选择题 1．下面说法正确的选项 （ ）
A.函数的单调区间可以是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2.在区间(-∞,0)上为增函数的是 1+ 3.函数y=x2+bx+c(x∈(-,1)是单调函数时,b的取值范围( -2B.b≤-2C.b>-2D.bf(x2) C.f(x1)=f(x2) D.无法确定 7.函数f(x)在区间[-2,3是增函数,则y=f(x+5)的递增区间是 [3.8]B.[-7。-2]C.[0,5]D.[-2,3] 8.函数y=(2k+1)x+b在实数集上是增函数,则 9.定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+1)=-f(x),且在区间[-1,0]上为递增,则 A.f(3)<f(√2)<f(2) B.f(2)<f(3)<f(√2) C.f(3)<f(2)<f(√2) D.f(√2)<f(2)<f(3) 10.已知f(x)在实数集上是减函数,若a+b≤0,则下列正确的是( A.f(a)+∫(b)≤-f(a)+f(bB.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
8 A．函数的单调区间可以是函数的定义域 B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间 (−,0) 上为增函数的是 （ ） A． y = 1 B． 2 1 + − = x x y C． 2 1 2 y = −x − x − D． 2 y =1+ x 3．函数 y = x + bx + c 2 (x (−,1)) 是单调函数时， b 的取值范围 （ ） A．b −2 B．b −2 C ．b −2 D． b −2 4．如果偶函数在 [a,b] 具有最大值，那么该函数在 [−b,−a] 有 （ ） A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值 5．函数 y = x | x | + px ， xR 是 （ ） A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与 p 有关 6．函数 f (x) 在 (a,b) 和 (c, d) 都是增函数，若 ( , ), ( , ) x1 a b x2 c d ，且 1 2 x x 那么（ ） A． ( ) ( ) 1 2 f x f x B． ( ) ( ) 1 2 f x f x C． ( ) ( ) 1 2 f x = f x D．无法确定 7．函数 f (x) 在区间 [−2,3] 是增函数，则 y = f (x + 5) 的递增区间是 （ ） A．[3,8] B． [−7,−2] C．[0,5] D．[−2,3] 8．函数 y = (2k +1)x + b 在实数集上是增函数，则 （ ） A． 2 1 k − B． 2 1 k − C．b 0 D．b 0 9．定义在 R 上的偶函数 f (x) ，满足 f (x +1) = − f (x) ，且在区间 [−1,0] 上为递增，则（ ） A． f (3) f ( 2) f (2) B． f (2) f (3) f ( 2) C． f (3) f (2) f ( 2) D． f ( 2) f (2) f (3) 10．已知 f (x) 在实数集上是减函数，若 a +b 0 ，则下列正确的是（ ） A． f (a) + f (b) −[ f (a) + f (b)] B． f (a) + f (b) f (−a) + f (−b)
C·f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 、填空题 11.函数f(x)在R上为奇函数,且f(x)=√x+1,x>0,则当x0) ④ 0(x=0 x-2(x 17.已知∫(x)=x 2005 b 8,f(-2)=10,求f(2)
9 C． f (a) + f (b) −[ f (a) + f (b)] D． f (a) + f (b) f (−a) + f (−b) 二、填空题 11．函数 f (x) 在 R 上为奇函数，且 f (x) = x +1, x 0 ，则当 x 0， f (x) = . 12．函数 | | 2 y = −x + x ，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 . 13．定义在 R 上的函数 s(x) （已知）可用 f (x), g(x) 的和来表示，且 f (x) 为奇函数， g(x) 为偶函 数，则 f (x) = . 14．构造一个满足下面三个条件的函数实例， ①函数在 (−,−1) 上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； . 三、解答题 15．已知 ( ) ( 2) , [ 1,3] 2 f x = x − x − ，求函数 f (x +1) 得单调递减区间. 16．判断下列函数的奇偶性 ① x y x 3 1 = + ； ② y = 2x −1 + 1− 2x ； ③ y = x + x 4 ； ④ − − = + = 2( 0) 0( 0) 2( 0) 2 2 x x x x x y 。 17．已知 ( ) 8 2005 3 = + − − x b f x x ax ， f (−2) = 10 ，求 f (2)
18.函数f(x),g(x)在区间[a,b]上都有意义,且在此区间上 ①f(x)为增函数,f(x)>0 ②g(x)为减函数,g(x)<0. 判断f(x)g(x)在[ab]的单调性,并给出证明 19.在经济学中,函数f(x)的边际函数为M(x),定义为M(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生产100 台报警系统装置。生产x台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单 位元),利润的等于收入与成本之差 ①求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x) ②求出的利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x)是否具有相同的最大值 ③你认为本题中边际利润函数№(x)最大值的实际意义 20.已知函数∫(x)=x2+1,且g(x)=[f(x),G(x)=g(x)-4(x),试问,是否存在实数λ,使得G(x) 在(-∞,-1上为减函数,并且在(-1,0)上为增函数
10 18．函数 f (x), g(x) 在区间 [a,b] 上都有意义，且在此区间上 ① f (x) 为增函数， f (x) 0 ； ② g(x) 为减函数， g(x) 0. 判断 f (x)g(x) 在 [a,b] 的单调性，并给出证明. 19．在经济学中，函数 f (x) 的边际函数为 Mf (x) ，定义为 Mf (x) = f (x +1) − f (x) ，某公司每月最多生产 100 台报警系统装置。生产 x 台的收入函数为 2 R(x) = 3000x − 20x （单位元），其成本函数为 C(x) = 500x + 4000 （单 位元），利润的等于收入与成本之差. ①求出利润函数 p(x) 及其边际利润函数 Mp(x) ； ②求出的利润函数 p(x) 及其边际利润函数 Mp(x) 是否具有相同的最大值； ③你认为本题中边际利润函数 Mp(x) 最大值的实际意义. 20．已知函数 ( ) 1 2 f x = x + ，且 g(x) = f [ f (x)]，G(x) = g(x) − f (x) ，试问，是否存在实数 ，使得 G(x) 在 (−,−1] 上为减函数，并且在 (−1,0) 上为增函数