第二节函教的基本性质
第二节 函数的基本性质
知识点一函数的单调性 1.单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 般地,设函数f(x)的定义域为L.如果对于定义 域内某个区间D上的任意两个自变量x,x2,当 定x〈x时,都有 义x1)(x2) f(ruf( ,那么就说函数f(x)在,那么就说函数f(x)在 区间D上是增函数 区间D上是减函数
知识点一 函数的单调性 1.单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义 域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当 x1<x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在 区间D上是增函数 ，那么就说函数f(x)在 区间D上是减函数 f(x1 )<f(x2 ) f(x1 )<f(x2 )
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做 f(x)的单调区间 2.函数的最值 前提设函数厂=f(x)的定义城为,如果存在实数满足 对于任意x∈I,都有对于任意x∈I,都有 条件 fx)≤ f(x2M 存在x∈,使得)=M存在x∈,使得 f(xo=M 结论 M为最大值 M为最小值
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 ，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做 f(x)的单调区间. 2.函数的最值 减函数 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有 ； 存在x0∈I，使得f(x0 )＝M 对于任意x∈I，都有 ； 存在x0∈I，使得 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x)≥M 0 f x M ( ) =
°学妙用 单调性定义的两种变式 (1)设任意x1,x2∈[a,b],且x10(0(<0f(x)在[a,b]上是增(减)函数 例如定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2(x1≠x)都有 f(xrf(x2) <0,若f2x+1)≤x-1),则x的取值范围为 x1-x2
►单调性定义的两种变式. (1)设任意 x1，x2∈[a，b]，且 x1＜x2，则 ① f（x1）－f（x2） x1－x2 ＞0(＜0)⇔f(x)在[a，b]上是增(减)函数. ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0(＜0)⇔f(x)在[a，b]上是增(减)函数. 例 如 定义在 R 上的函数 f(x)对任意 x1，x2(x1≠x2)都 有 f（x1）－f（x2） x1－x2 ＜0，若 f(2x＋1)≤f(x－1)，则 x 的取值范围为 ________
解析由f(x1)-f(x2) <0知函数fx)为减函数, 所以2x+1≥x-1,解得x≥-2 答案[-2,+∞) 单调性的两个易错点:单调性;单调区间 (2)函数的单调递增(减)区间有多个时,不能用并集表示, 可以用逗号或“和” 例如函数f(x)=x+的单调递增区间为 解析由八x)图象易知递增区间为(-∞,-1],[1,+∞) 答案 1],[1
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间. 解析 由 f（x1）－f（x2） x1－x2 ＜0 知函数 f(x)为减函数， 所以 2x＋1≥x－1，解得 x≥－2. 答案 [－2，＋∞) （2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。 例如 函数 f(x)＝x＋ 1 x 的单调递增区间为________. 解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
知识点二函数的奇偶性与周期性 1函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 如果对于函数的定义域内任意一个x 关于1轴对 偶函数都有-x)=(x),那么函数x)是偶 称 函数 如果对于函数x的定义域内任意一个x 奇函数都有八一x)=-八x),那么函数x)是奇 关于原点对 称 函数
知识点二 函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 ，那么函数f(x)是偶 函数 关于 对 称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 ，那么函数f(x)是奇 函数 关于 对 称 f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点
2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非 零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x +T=mx,那么就称函数y=f(x)为周期函 数,称/这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数,那么这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非 零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝ ，那么就称函数y＝f(x)为周期函 数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数，那么这个 正数就 叫做f(x)的最小正周期. f(x) 最小
题型归纳 题型一判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性 (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义 (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单 调区间. (4)复合函数y=tg(x)]根据“同增异减”判断
判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义. (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单 调区间. (4)复合函数y＝f[g(x)]根据“同增异减”判断. 题型归纳 题型一 判断函数的单调性
(5)利用函数的性质:如 ①当k>0时,y=kf(x)与y=(x)单调性相同,当k0或只 有f(x)<0) ③若y=(x),y=g(x)都为增(减)函数,则y=f(x)+gx) 为增(减)函数; 若y=fx)为增函数,y=g(x)为减函数,则y=f(x)-g(x) 为增函数,y=g(x)-f(x)为减函数
(5)利用函数的性质：如： ①当 k＞0 时，y＝k f(x)与 y＝f(x)单调性相同，当 k＜0 时，y＝k f(x)与 y＝f(x)单调性相反. ②y＝ 1 f（x） 与 y＝f(x)单调性相反(此时只能 f(x)＞0 或只 有 f(x)＜0). ③若 y＝f(x)，y＝g(x)都为增(减)函 数，则 y＝f(x)＋g(x) 为增(减)函数； 若 y＝f(x)为增函数，y＝g(x)为减函数，则 y＝f(x)－g(x) 为增函数，y＝g(x)－f(x)为减函数
【例1】函数(x)=0g,(x2-x-2)的单调递增区间为() A Bl2,+ C.(一∞,-1) D.(2,+∞) 解题指导」 利用复合函数 考虑定义域 结论 单调性法则 解析由x2-x-2>0得x2,又u=x2-x-2在 (-∞,-1)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,y=log2u为 减函数,故八x)的单调递增区间为(-∞,-1)故选C 「点评]判断函数的单调性,应首先求出函数的定义域,在 定义域内求解
【例 1】 函数 f(x)＝log1 2 (x 2－x－2)的单调递增区间为( ) A. －∞， 1 2 B. 1 2 ，＋∞ C .(－∞，－1) D.(2，＋∞) 解析 由 x 2－x－2＞0 得 x＜－1 或 x＞2，又 u＝x 2－x－2 在 (－∞，－1)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝log1 2 u 为 减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C. [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在 定义域内求解