函数与方程典型例题习题 例1:已知二次函数y=f(x)的图象经过点(0,-8),(1-5),(3,7)三点, (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)的零点; (3)比较f(2)f(4),f(1)f(3),f(-5)f(1),f(3)f(-6)与0的大小关系 分析:可设函数解析式为y=ax2+bx+c,将已知点的坐标代入方程解方程组求a、b、c 【解】(1)设函数解析式为y=ax2+bx+c, 由{a+b+c=-5解得b=2, a+36 ∴f(x)=x2+2x-8 (2)令f(x)=0得x=2或-4, ∴零点是x1=2,x2=-4 (3)f(2)f(4)=0, ∫(-1)f(3)=-9×7=-630 点评:当二次函数y=f(x)的两个零点x1x2(x≠x2)都在(或都不在)区间(mm)中时,f(m)f(m)>0 有且只有一个零点在区间(m,n)中时,f(m)f(n)0时,f(x)的图象是开口向上的抛物线,必须)1370 解得0<k≤1 2K 综上可得k的取值范围为(-∞,1] 追踪训练 函数f(x)=log2(x2-4x+5)的图象与x轴交点横坐标为(D) C.2或0 2.已知0<a<1则方程a2+logx=0的解的个数是(A) A.1 B.2C.3D.不确定 3.直线y=kx+与曲线y2-2y-x+3 0只有一个公共点,则k的值为(A) 11 4 4.函数y=x2-6x+5与x轴交点坐标是(10)(5,0),方程x2-6x+5=0的根为1或5 5.已知方程x2-kx+2=0在区间(0,3)中有且只有一解,则实数k的取值范围为k≥ 11 6.已知函数f(x)=a2-2过点(1,0),则方程∫(x)=x的解为-1.7
函数与方程典型例题习题 例 1：已知二次函数 y f x = ( ) 的图象经过点 (0, 8),(1, 5),(3,7) − − 三点， （1）求 f x( ) 的解析式； （2）求 f x( ) 的零点； （3）比较 f f (2) (4) ， f f (1) (3) ， f f ( 5) (1) − ， f f (3) ( 6) − 与 0 的大小关系． 分析：可设函数解析式为 2 y ax bx c = + + ，将已知点的坐标代入方程解方程组求 a 、b 、c ． 【解】（1）设函数解析式为 2 y ax bx c = + + ， 由 8 5 9 3 7 c abc a b c = − + + = − + + = 解得 1 2 8 a b c = = = − ， ∴ 2 f x x x ( ) 2 8 = + − ． （2）令 f x( ) 0 = 得 x = 2 或 −4， ∴零点是 1 2 x x = = − 2, 4 ． （3） f f (2) (4) 0 = ， f f ( 1) (3) 9 7 63 0 − = − = − ， f f ( 5) (1) 35 0 − = − ， f f (3) ( 6) 112 0 − = ． 点评：当二次函数 y f x = ( ) 的两个零点 1 2 x x, 1 2 ( ) x x 都在（或都不在）区间 ( , ) m n 中时， f m f n ( ) ( ) 0 ； 有且只有一个零点在区间 ( , ) m n 中时， f m f n ( ) ( ) 0 ． 例 2：已知函数 2 f x kx k x ( ) ( 3) 1 = + − + 的图象与 x 轴在原点的右侧有交点，试确定实数 k 的取值范围． 分析： 【解】（1）当 k = 0 时， f x x ( ) 3 1 = − + 与 x 轴的交点为 1 ( ,0) 3 ，符合题意； （2） k 0 时， f (0) 1 = ， k 0 时， f x( ) 的图象是开口向下的抛物线，它与 x 轴的两交点分别在原点的两侧； k 0 时， f x( ) 的图象是开口向上的抛物线，必须 2 ( 3) 4 0 3 0 2 k k k k = − − − − ，解得 0 1 k 综上可得 k 的取值范围为 ( ,1] − . 追踪训练一 1．函数 2 2 f x x x ( ) log ( 4 5) = − + 的图象与 x 轴交点横坐标为 （ D ） ） A.1 B. 0 C. 2 或 0 D. 2 2．已知 0 1 a 则方程 a + log a x = 0 x 的解的个数是（ A ） A.1 B. 2 C. 3 D.不确定 3．直线 2 3 y = kx + 与曲线 2 y y x − − + 2 3 = 0 只有一个公共点，则 k 的值为（ A ） A. 0， 4 1 , 2 1 − B.0， 4 1 − C. 4 1 , 2 1 − D.0， 4 1 , 2 1 − 4．函数 2 y x x = − + 6 5 与 x 轴交点坐标是 (1,0) 、(5,0) ，方程 2 x x − + = 6 5 0 的根为 1 或 5 ． 5．已知方程 2 x kx − + = 2 0 在区间 (0,3) 中有且只有一解，则实数 k 的取值范围为 11 3 k . 6．已知函数 ( ) 2 x f x a = − 过点 (1,0) ，则方程 f x x ( ) = 的解为−1.7．
7.求方程2x2-8x+5=0的近似解(精确到0.1) 答案:3.2和08 8.判断方程x2-(2a+2)x+2a+5=0(其中a>2)在区间(1,3)内是否有解 答案:有解 函数与方程测试题(时间45分钟) 填空题(共计6小题,每题10分) 1、函数f(x)=x2-2x-1在区间(2,3)上零点的个数为 2、已知:f(x)=a2+b的图象如图所示,则a与b的值分别为 3、设f(x)是偶函数,g(x)是奇函教,且f(x)+g(x)=e2+1,则f(x) 4、建造一个容积为8m3,深为2m的长方形无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和 80元,则水池的最低造价为 、若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,]成立,则a的最小值是 、如果y=x2-mx,x∈[-1]的最小值为-4,则m的值为 、解答题(共计2小题,每题20分) 7、设集合P={x|42-2x+2+a=0,x∈R} (1)若P中仅有一个元素,求实数a的取值集合Q (2)若对于任意a∈Q,不等式x2-6x0,x>0) x (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求a的取值范围
7．求方程 2 2 8 5 0 x x − + = 的近似解（精确到 0.1 ）． 答案： 3.2 和 0.8 8．判断方程 2 x a x a − + + + = (2 2) 2 5 0 （其中 a 2 ）在区间 (1,3) 内是否有解． 答案：有解． 函数与方程测试题（时间 45 分钟） 一、填空题（共计 6 小题，每题 10 分） 1、函数 f(x)= 2 1 2 x − x − 在区间（2，3）上零点的个数为 . 2、已知：f(x)= a b x + 的图象如图所示，则 a 与 b 的值分别为 3、设 f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且 f（x）+g（x）＝ x e +1，则 f（x）＝ . 4、建造一个容积为 8 3 m ，深为 2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元，则水池的最低造价为________元 5、若不等式 2 x +ax+1≥0 对于一切 x∈（０， 2 1 ］成立，则 a 的最小值是 . 6、如果 y= x − mx 2 ， x−1,1 的最小值为－４，则 m 的值为 . 二、解答题（共计 2 小题，每题 20 分） 7、设集合 P=｛x| 2 4 2 + − x x +a=0，x∈R｝. （１）若 P 中仅有一个元素，求实数 a 的取值集合 Q； （２）若对于任意 a∈Q，不等式 x 2 -6x0，x>0）. （1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数； （2）若 f（x）在［m，n］上的值域是［m，n］（m≠n），求 a 的取值范围. x y O 2 -2
试题答案: 1、根据求根公式得方程两根x2=1±√2,故答案为1个。另法:因为f(2)=-10)进而得128,当l=8,x=2=2.n=8,此时水池的总造价最低,为 4 l20×4+80×2×8=1760元) 分离变量有a≥-(x+1),x∈(0,1]恒成立右端的最大值为-5,故答案为-5另法:设f(x) x2+ax+1结合二次函数图象,分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论 6、解:原式化为y=(x-7 当x0),设f(t)=t2-4ta 由f(t)=0,在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根,则有 ①f(t)=0有两等根时,∴△=0∴16-4a=0∴a=4 验证:t2-4t+4=0:t=2∈(0,+∞),这时x=1 f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)0恒成立
试题答案： 1、根据求根公式得方程两根 x1,2 =1 2 ，故答案为 1 个。另法：因为 f(2)=-10,而二次函数 f(x)= 2 1 2 x − x − 在区间（2，3）上的图象是连续的，表明此函数的图象在区间（2，3）上一定穿过 x 轴，而另一解显然不在（2，3）内。 2、由图象可知，函数图象过（2，0），（0，-2）两点，从而得 a,b 的方程组，解得 a= 3 ,b=-3. 3、 提示：构造 f（x）与 g（x）的方程组.答案：f（x）＝ 2 + + 2 x −x e e 4、提示：因水池容积是定值 3 8m ，高度也是定值 2m，所以底面积是定值 2 4m ，而底面积一定时，只有底 面周 长最 小时 ，才 能使 总造 价最 低， 从而 建立 周长 l 与池 底矩 形一 边长 x 的函 数关 系： ) 4 2( x l = x + (x 0). 进而得 l 8 ,当 2. 4 = 8, = = l l x 8, lmin = 此时水池的总 造价最 低，为 1204 +8028 =1760(元). 5、分离变量有 a≥-（x+ x 1 ），x∈（０， 2 1 ］恒成立.右端的最大值为 2 5 − ，故答案为 2 5 − 另法:设 f（x） ＝x 2 +ax+1 结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论. 6、解：原式化为. 4 ) 2 ( 2 m 2 m y = x − − 当 1, 1 4 2 − ymin = + m = − m ，故 m=-5 当-1≤ 2 m ≤1 时，ymin= 4 2 m − =-4，故 m=±4 不符， 当 2 m >1 时，ymin＝１－m=-4 m=5.答案：±５.。 7．（１）令 2 x =t（t>0），设 f（t）=t2 -4t+a. 由 f（t）＝０，在（０，＋∞）有且仅有一根或两相等实根，则有 ①f（t）＝０有两等根时， Δ＝０ １６－４a=0 a=4； 验证：t 2 -4t+4=0 t=2∈（０，＋∞），这时 x=1； ②f（t）=0 有一正根和一负根时，f（０）0 恒成立
x-2≤0 只须{8(4)>0得5-√170 8.(1)证明:任取x1>x2>0 f(x1)-f(x2) =x-x2>0,f(x)f(x,) x 故f(x)在(0,+∞)上是增函数 2)解:由(1)f(x)在定义域上是增函数.∴m=f(m),n=f(n) m+1=0,n 故方程x-1x+1-0有两个不相等的正根m,n,注意到m,n=1,则只需要△=(1)2-40, 由于a>0,则00,由二次函数的图象可知,t>0故只需要 f(0)>0 f(1)0
只须 − (0) 0 (4) 0 2 0 g g x 得 5- 17 x2>0， f（x1）-f（x2）= ) 1 1 ( 1 1 1 2 a x a x − − − = 1 2 1 2 x x x − x >0, f( 1 x )>f( 2 x ) 故 f（x）在（０，＋∞）上是增函数. （2）解：由（１）f（x）在定义域上是增函数.∴ m=f（m），n=f（n），即 m 2 - a 1 m+1=0，n 2 - a 1 n+1=0. 故方程 x 2 - a 1 x+1=0 有两个不相等的正根 m，n，注意到 m·n＝１，则只需要 Δ＝（ a 1 ）2 -4>0， 由于 a>0，则 00,由二次函数的图象可知，t>0 故只需要 (2) 0 (1) 0 (0) 0 f f f 进而得 4 7 <t<5