教学设计案例《函数与方程》教学设计 武平一中林静 关于新课程改革下的数学高考方案还没有具体公布而普通高中教学的任务之一是为高考 服务因而根据数学课程标准如何拓展,拓展到什么程度,什么时候拓展是在一线的老师一直在 探讨的问题笔者就此问题作一尝试 教学目标 (1)复习函数零点的概念利用函数零点与对应方程的根的关系解题培养学生的函数与方 程思想; (2)利用函数的零点讨论方程根的个数;解简单的不等式及一元二次方程根的分布,提高学 生的使用数形结合的能力 (3)使学生体会函数与方程、不等式之间的有机联系,感受数学的整体性,进一步理解数学 的本质,提高学生分析、解决综合问题的能力,提高学生的数学素养. 重点与难点 重点:函数图象的应用 难点:感受数学内部的联系 教学方法:启发式,探究式,讲练结合 教学准备 教师:制作投影片.学生:科学计算器,熟悉科学计算器的使用 教学导图 采用多种形式复习本大节的有关内容 例题选讲 课堂练习 教学情境设计: 教学内容:利用函数的零点与方程的根的关系判断方程根的个数 设计意图:让学生复习本节的主要内容,(函数的零点,(函数零点存在的条 件.提出使用函数图象解决相应方程根的有关问题的方法,培养学生使用数形结合 的能力 老师提问 O什么叫函数0的零点?函数0的零点与方程O的实数根有怎样的关系? O已知函数Q的图象在区间[上连续不断,当时在0)区间(上必有零点;当时Q 在区间(上有唯一的零点 学生回答:老师根据学生回答情况进行总结同时放出投影 0方程∫(x)=0有实数根台函数0有零点,则可以通过函数的零点来讨论对 应方程的有关根的问题.这节课的重点就是用函数图象解题
教学设计案例《函数与方程》教学设计 武平一中 林静 关于新课程改革下的数学高考方案还没有具体公布,而普通高中教学的任务之一是为高考 服务.因而根据数学课程标准如何拓展,拓展到什么程度,什么时候拓展是在一线的老师一直在 探讨的问题.笔者就此问题作一尝试. 教学目标: ⑴复习函数零点的概念,利用函数零点与对应方程的根的关系解题,培养学生的函数与方 程思想; ⑵利用函数的零点讨论方程根的个数;解简单的不等式及一元二次方程根的分布,提高学 生的使用数形结合的能力; ⑶使学生体会函数与方程、不等式之间的有机联系,感受数学的整体性,进一步理解数学 的本质,提高学生分析、解决综合问题的能力,提高学生的数学素养. 重点与难点: 重点:函数图象的应用. 难点:感受数学内部的联系. 教学方法:启发式,探究式,讲练结合 教学准备 教师:制作投影片.学生:科学计算器,熟悉科学计算器的使用. 教学导图: 教学情境设计: 教学内容：利用函数的零点与方程的根的关系判断方程根的个数. 设计意图:让学生复习本节的主要内容,()函数的零点,()函数零点存在的条 件.提出使用函数图象解决相应方程根的有关问题的方法,培养学生使用数形结合 的能力. 老师提问: ()什么叫函数()的零点?函数()的零点与方程()的实数根有怎样的关系? ()已知函数()的图象在区间[]上连续不断,当时在()区间()上必有零点;当时() 在区间()上有唯一的零点. 学生回答:老师根据学生回答情况进行总结同时放出投影. ()方程 f (x) = 0 有实数根 函数()有零点,则可以通过函数的零点来讨论对 应方程的有关根的问题.这节课的重点就是用函数图象解题 采用多种形式复习本大节的有关内容 例题选讲 课堂练习
0已知函数O的图象在区间[上连续不断,当(Q) → a+b x,是f(x)=0零点 O≠不妨O0 使f(x)=0 x2=x+3/-f(x2)=0→米x2是(x)=0 f(x2)≠0不妨设f(x2)>0
()已知函数()的图象在区间[]上连续不断,当()()) 2 1 a b x + = () ()≠不妨()< x1是f (x) = 0零点 ( ) 0 ( , ), ( ) 0, ( ) 0, 1 1 = f x x x b f x f b 使 → → ① → → → ② → →
则x=xn是的方程f(x)=0的近似解 例利用计算器,求方程gx=2-x的近似解(精确度) 师生活动:同桌之间互相合作解题,教师巡视课堂,进行个别辅导 教学内容:函数零点的应用 设计意图:使学生进一步掌握数形结合的应用方法,培养学生的分析,解决问 题的能力 例用图象法解不等式 02x2x+1 师生活动 老师投影例,引导学生画图,并指导方法.使用数形结合解方程实际上是找使 方程两边对应函数的函数值相等.那解不等式呢?对同一个比较不等式两边对应函 数的函数值的大小,即比较两个函数图象的高低 学生:根据老师的提示独立完成,画图,找两个函数图象的交点,比较两个函数 图象的高低,写出正确的答案. 叫三个学生到黑板上作答 师生总结,评价学生的答题情况.得到答案:0x3, 00≤x<1 引申:若没有方法限制还可以怎么做?如√x<2-x,可以用换元法完成 设x=l(t≥0),x=t 原不等式可化 为:t<2-t2,-2<t<1:0≤t<1,0≤√x<1:0≤x< 所以应根据具体的题目选用自己比较熟悉的方法答题
… 则 x = xn是的方程f (x) = 0的近似解 例 利用计算器,求方程 lg x = 2 − x 的近似解(精确度) 师生活动:同桌之间互相合作解题,教师巡视课堂,进行个别辅导. 教学内容:函数零点的应用. 设计意图:使学生进一步掌握数形结合的应用方法,培养学生的分析,解决问 题的能力.. 例 用图象法解不等式 () 2 −2x +1 x () 2 2 1 2 x − x + () x 2 − x 师生活动: 老师 投影例,引导学生画图,并指导方法.使用数形结合解方程实际上是找使 方程两边对应函数的函数值相等.那解不等式呢?对同一个比较不等式两边对应函 数的函数值的大小,即比较两个函数图象的高低 学生:根据老师的提示独立完成,画图,找两个函数图象的交点,比较两个函数 图象的高低,写出正确的答案. 叫三个学生到黑板上作答. 师生 总结,评价学生的答题情况.得到答案:() x 0 ,() x −1或x 3 , () 0 x 1 引申:若没有方法限制还可以怎么做?如 x 2 − x ,可以用换元法完成. 设 2 x = t(t 0), x = t ; 原 不 等 式 可 化 为: 2 t 2 − t , − 2 t 10 t 1, 0 x 1,0 x 1 所以应根据具体的题目选用自己比较熟悉的方法答题. →
例二次方程x2-2(m-1)x+2m+6=0 (1)若方程有两个正根,求实数的取值范围? 2)若方程一根比大,另一根比小,求实数的取值范围? (3)若两根都比大,求实数的取值范围? 老师投影例,引导学生分析问题,找到解题方法 学生认真思考,积极动手演算推理,能顺利解出Om≥5和∈,但O碰到麻 烦啦 老师根据巡视学生的答题情况叫两个学生到黑板上板书 学生甲..△=4(m-1)2-4(2m+6)=4(m2-4m-5)≥0 m≥5m或≤-1 (x1-1)x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1>0 △=4(m2-4m-5)≥0 x1+x> 2 ∴m≥5 学生乙 x1x2>1 老师根据学生的答案分析.若使用初中的解法解答0题,设方程两根为x、x2 若x1=-1,x2=-3,满足(x1-1)x2-1)>0,但不满足x1>1,x2>1;同样 x1=4,x2= 满足{+马>2 x2S1,但不满足x1>1x2>1的条件所以甲与乙的转换都 不是等价转换.所以初中的方法已不够用了.那怎么解()呢?使用函数的零点的观 点来分析这个问题 由对应f(x)=x2-2m-1)x+2m+6的图象可以得到 △=4(m2-4m-5)≥0 m≥5 2 f(1)>0 A≥0 师生使用函数图象同样可以分析0和0得:0-21m->0:;0f()0 老师启发学生从例入手探究 般结 论.f(x)=ax2+bx+c=0(a>0)有两个根,设为x1,x2 (1)若方程有两个正根, (2)若两根都比大, (3)若方程一根比大,另一根比小
例 二次方程 2( 1) 2 6 0 2 x − m − x + m + = (1)若方程有两个正根,求实数的取值范围? (2)若方程一根比大,另一根比 小, 求实数的取值范围? (3)若两根都比大, 求实数的取值范围? 老师 投影例,引导学生分析问题,找到解题方法. 学生 认真思考,积极动手演算推理,能顺利解出() m 5 和()∈,但()碰到麻 烦啦. 老师根据巡视学生的答题情况叫两个学生到黑板上板书: 学生甲: 5 1 ( 1)( 1) ( ) 1 0 4( 1) 4(2 6) 4( 4 5) 0 1 2 1 2 1 2 2 2 − − − = − + + = − − + = − − m m或 x x x x x x m m m m 学生乙: 5 1 2 4( 4 5) 0 1 2 1 2 2 + = − − m x x x x m m 老师 根据学生的答案分析.若使用初中的解法解答()题,设方程两根为 1、x 2 x . 若 1, 3, x1 = − x2 = − 满 足 (x1 −1)(x2 −1) 0 , 但不满足 1, 1 x1 x2 ; 同 样 满足 2 1 4, x1 = x2 = + 1 2 1 2 1 2 x x x x ,但不满足 x1 1, x2 1 的条件.所以甲与乙的转换都 不是等价转换.所以初中的方法已不够用了.那怎么解()呢?使用函数的零点的观 点来分析这个问题. 由对应 ( ) 2( 1) 2 6 2 f x = x − m − x + m + 的图象可以得到: 5 (1) 0 1 2 2( 1) 4( 4 5) 0 2 − = − − m f m m m 师生使用函数图象同样可以分析()和()得:() − − (0) 0 0 2 2( 1) 0 f m ;() f (1) 0 . 老 师 启 发 学 生 从 例 入 手 探 究 一 般 结 论. 1 2 2 f (x) = ax + bx + c = 0(a 0)有两个根,设为x , x (1)若方程有两个正根, (2)若两根都比大, (3)若方程一根比大,另一根比 小
分别应满足什么条件? △≥0 A≥0 老师根据学生的回答进行总结:0 0 >m of(m)0|f(m)>0 强调注意根据函数图象分析. 课堂小结:这节课围绕函数零点的问题而展开的,体现数形结合(函数思想)方 法的应用 (1)函数零点与对应方程的实数根的关系 (2)判断方程的解的个数 (3)二分法求函数零点的近似值的方法 (4)函数零点的应用. 作业设计 (1)判断方程lg2x-x2+2=0解的个数及解的大致范围 (2)解不等式-x2-x+20>0 (3)方程x2+2(m-1)x+2m+6=0有两个实数根, ①若两根为正根 ②若两根都比大, ③若两根有一根比大,另一根比小,分别求实数的取值范围 (4)预习的函数模型及其应用 预习提纲:①解应用题的基本方法是什么?关键应抓住什么? ②阅读理解问题时应抓住什么? ③例题中依据什么标准选择投资方案? ④例题如何根据公司要求选择恰当的方案?
分别应满足什么条件? 老师 根据学生的回答进行总结:() − (0) 0 0 2 0 f a b () − ( ) 0 2 0 f m m a b () f (m) 0 强调注意根据函数图象分析. 课堂小结:这节课围绕函数零点的问题而展开的，体现数形结合(函数思想)方 法的应用 (1)函数零点与对应方程的实数根的关系; (2)判断方程的解的个数: (3)二分法求函数零点的近似值的方法: (4)函数零点的应用. 作业设计 (1)判断方程 log 2 0 2 2 x − x + = 解的个数及解的大致范围 (2)解不等式 20 0 2 − x − x + (3)方程 2( 1) 2 6 0 2 x + m − x + m + = 有两个实数根 , ①若两根为正根, ②若两根都比大, ③若两根有一根比大,另一根比小,分别求实数的取值范围? (4)预习的函数模型及其应用 预习提纲:①解应用题的基本方法是什么?关键应抓住什么? ②阅读理解问题时应抓住什么? ③例题 中依据什么标准选择投资方案? ④例题如何根据公司要求选择恰当的方案? 虽然在学习的过程中会遇到许多不顺心的事，但古人说得好——吃一堑，长一智。多了一次失败，就多了一次教训；多了一次挫折，就多了一次经验。没有失败和挫折的人，是永远不会成功的。 快 乐学习并不是说一味的笑，而是采用学生容易接受的快乐方式把知识灌输到学生的大脑里。因为快乐学习是没有什么大的压力的，人在没有压力的情况下会表现得更好。青春的执迷和坚持会撑起 你的整个世界，愿你做自己生命中的船长，在属于你的海洋中一帆风顺，珍惜生命并感受生活的真谛！ 老师知道你的字可以写得更漂亮一些的，对吗,智者千虑，必有一失；愚者千虑，必有一得, 学习必须与实干相结合,学习，就要有灵魂，有精神和有热情，它们支持着你的全部！灵魂，认识到自我存在，认识到你该做的是什么；精神，让你不倒下，让你坚强，让你不畏困难强敌；热情， 就是时刻提醒你，终点就在不远方，只要努力便会成功的声音，他是灵魂与精神的养料，它是力量的源泉