13函数的基本性质
1.3.1函数的单调性 1.3 函数的基本性质
131函数的单调性 单调性定义 y=f(x) y=f(x) If(xv f(x2) 1f(x1) x1(1) X (2) x 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数,区间D就叫做函数y=f(x)一个 单调增区间 如果函数y=f(x)在区间D上是减函数,区间D就叫做函数y=(x)一个 单调减区间 单调增区间单调减区间统称为单调区间。 如果函数在区间D上是增函数(或减函数)就称该函数在区间D上具有单调性
1.3.1函数的单调性 单调性定义： 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数，区间D就叫做函数y=f(x)一个 单调增区间. 如果函数y=f(x)在区间D上是减函数，区间D就叫做函数y=f(x)一个 单调减区间. 单调增区间,单调减区间,统称为单调区间。 如果函数在区间D上是增函数(或减函数)就称该函数在区间D上具有单调性
131函数的单调性 证明函数单调性的一般步骤: 取值 不择手段 定号结论
1.3.1函数的单调性 证明函数单调性的一般步骤: 取值 作差变形 定号结论 不择手段
131函数的单调性 想一想 若函数y=(x)对区间D上任意两个数x1,x2,都 有(x-x)(x1)f(x2)>0成立,能否确定该 函数在区间D上是增函数?为什么? 如果(×1×2)(f(×1)-f(×2)<0呢?
1.3.1函数的单调性 若函数y=f(x)对区间D上任意两个数x1 ,x2 ,都 有(x1 -x2 )〔f(x1 )-f(x2 )〕>0成立，能否确定该 函数在区间D上是增函数？为什么？ 想一想 如果(x1 -x2 )〔f(x1 )-f(x2 )<0呢？
131函数的单调性 想一想:对于函数(x)定义域内某个区间D上的任 两个自变量的值x,x2(x1≠x,若x)x2>0, 则函数f(x)在区间D上的单调性如何? 若 (x)-f(x2) <0呢? x1-x2
1.3.1函数的单调性 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x − 若 − 呢？ 想一想：对于函数 定义域内某个区间D上的任意 两个自变量的值 ，若 1 2 ， 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x − − 则函数 在区间D上的单调性如何？ f x( ) 1 2 x x, 1 2 ( ) x x f x( )
131函数的单调性 练习:已知函数f(x)在R上是减函 数,且 f(2a-1)-f(1-a)>0,求实数 的范围
1.3.1函数的单调性 练习： 已知函数f(x)在R上是减函 数，且 f(2a-1) - f(1-a) >0，求实数 a 的范围
131函数的单调性 函数最值
1.3.1函数的单调性
131函数的单调性 观察下列两个函数的图象: M Xo 0 图1 图2 思考1这两个函数图象有何共同特征? 函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称? 思考2设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M, 则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小 关系如何?
1.3.1函数的单调性 观察下列两个函数的图象： 图1 o x0 x M y 思考1:这两个函数图象有何共同特征？ 思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？ y o x0 x 图2 M 函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？
131函数的单调性 思考:设函数f(x)=1-x,则f(x)≤2成立吗? f(x)的最大值是2吗?为什么? 般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在 实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈1,使得f(x)=M 那么称M是函数y=f(x)的最大值,记作 f(x)max=M
1.3.1函数的单调性 思考:设函数 ，则 成立吗？ 的最大值是2吗？为什么？ 2 f x x ( ) 1 = − f x( ) 2 f x( ) 一般地，设函数 的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的 , 都有 ； （2）存在 ，使得 . 那么称M是函数 的最大值，记作 y f x = ( ) 0 f x M ( ) = f x M ( ) 0 x I x I y f x = ( ) max f x M ( ) =
131函数的单调性 思考:函数的最大值是函数值域中的一个元 素吗?如果函数f(x)的值域是(a,b),则函 数f(x)存在最大值吗? 思考:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大 值吗?为什么?
1.3.1函数的单调性 思考:函数的最大值是函数值域中的一个元 素吗？如果函数 的值域是(a,b)，则函 数 存在最大值吗？ f x( ) f x( ) 思考: 函数 有最大 值吗？为什么？ y x x = − + − + 2 1, ( 1, )