§13函数的基本性质 教材分析 函数性质是函数的固有属性,是认识函数的重要手段,而函数性质可以由函数图象直观 的反应出来,因此,函数各个性质的学习要从特殊的、已知的图象入手,抽象出此类函数的 共同特征,并用数学语言来定义叙述。基于此,本节的概念课教学要注重引导,注重知识的 形成过程,习题课教学以具体技巧、方法作为辅助练习。 学情分析 学生对函数概念重新认识之后,可以结合初中学过的简单函数的图象对函数性质进行抽 象定义。另外,为了方便学生做题及熟悉函数性质,还需要补充一些函数图象的知识,例如 平移、二次函数图象、含绝对值函数的图象、反比例函数及其变形的函数图象。总之,本节 课的教学要从学生认知实际出发,坚持从图象中来到图象中去的原则。 教学建议 以图象作为切入点进行概念课教学,引导学生对概念的形成有一个清晰的认识,尤其是 概念中的部分关键词要做深入讲解,用函数图象指导学生做题 教学目标 知识与技能 (1)能理解函数单调性、最值、奇偶性的图形特征 (2)会用单调性定义证明具体函数的单调性:会求函数的最值:会用奇偶性定义判断 函数奇偶性 (3)单调性与奇偶性的综合题 (4)培养学生观察、归纳、推理的抽象思维能力 过程与方法 (1)从观察具体函数的图像特征入手,结合相应问题引导学生一步步转化到用数学语 言形式化的建立相关概念 (2)渗透数形结合的数学思想进行习题课教学 情感、态度与价值观 (1)使学生学会认识事物的一般规律:从特殊到一般,抽象归纳 (2)培养学生严密的逻辑思维能力,进一步规范学生用数学语言、数学符号进行表达
§1.3 函数的基本性质 教材分析 函数性质是函数的固有属性，是认识函数的重要手段，而函数性质可以由函数图象直观 的反应出来，因此，函数各个性质的学习要从特殊的、已知的图象入手，抽象出此类函数的 共同特征，并用数学语言来定义叙述。基于此，本节的概念课教学要注重引导，注重知识的 形成过程，习题课教学以具体技巧、方法作为辅助练习。 学情分析 学生对函数概念重新认识之后，可以结合初中学过的简单函数的图象对函数性质进行抽 象定义。另外，为了方便学生做题及熟悉函数性质，还需要补充一些函数图象的知识，例如 平移、二次函数图象、含绝对值函数的图象、反比例函数及其变形的函数图象。总之，本节 课的教学要从学生认知实际出发，坚持从图象中来到图象中去的原则。 教学建议 以图象作为切入点进行概念课教学，引导学生对概念的形成有一个清晰的认识，尤其是 概念中的部分关键词要做深入讲解，用函数图象指导学生做题。 教学目标 ➢ 知识与技能 （1）能理解函数单调性、最值、奇偶性的图形特征 （2）会用单调性定义证明具体函数的单调性；会求函数的最值；会用奇偶性定义判断 函数奇偶性 （3）单调性与奇偶性的综合题 （4）培养学生观察、归纳、推理的抽象思维能力 ➢ 过程与方法 （1）从观察具体函数的图像特征入手，结合相应问题引导学生一步步转化到用数学语 言形式化的建立相关概念 （2）渗透数形结合的数学思想进行习题课教学 ➢ 情感、态度与价值观 （1）使学生学会认识事物的一般规律：从特殊到一般，抽象归纳 （2）培养学生严密的逻辑思维能力，进一步规范学生用数学语言、数学符号进行表达
课时安排 (1)概念课:单调性2课时,最值1课时,奇偶性1课时 (2)习题课:5课时 第一课时单调性 教学重点 借助图象、自然语言和符号语言形成对增(减)函数的形式化定义,并能用定义解决简 单函数的单调性问题 教学难点 (1)在形成增函数、减函数形式化定义的过程中,如何从图象升降的直观认识过渡到 数学符号的语言表述 (2)用定义证明单调性的规范写法(主要是学生对“在定义域的指定区间上任意取 x,x2,且x1<x2”的理解) 教学过程 、由特殊到一般,引入课题 学生画图y=x与y=-x,老师引导观察图象特点,说出自己关于图象的直观感受 提示:统一从左往右看,函数图象有什么图形特征?函数值有什么样的变化特点?能否 借助函数定义中x和y的对应来表达这种变化的规律? 二、新课教学 老师提问:上述两个函数图象仅仅是众多函数中比较典型的两类,那么对于一般的函数 无非是从左往右或升或降,那么如何用数学语言描述一般函数的这种变化规律?(统一从左 往右看意即我们规定自变量x越来越大的情况下,上升意味着函数值y越来越大,下降意 味着函数值y越来越小.) 般地,设函数f(x)的定义域为I 如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x,x2,当x<x2时,都有
课时安排 （1）概念课：单调性 2 课时，最值 1 课时，奇偶性 1 课时 （2）习题课：5 课时 第一课时 单调性 教学重点 借助图象、自然语言和符号语言形成对增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简 单函数的单调性问题 教学难点 （1）在形成增函数、减函数形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到 数学符号的语言表述 （2）用定义证明单调性的规范写法（主要是学生对“在定义域的指定区间上任意取 1 2 x , x ，且 1 2 x x ”的理解） 教学过程 一、由特殊到一般，引入课题 学生画图 y = x 与 y = −x ，老师引导观察图象特点，说出自己关于图象的直观感受. 提示：统一从左往右看，函数图象有什么图形特征？函数值有什么样的变化特点？能否 借助函数定义中 x 和 y 的对应来表达这种变化的规律？ 二、新课教学 老师提问：上述两个函数图象仅仅是众多函数中比较典型的两类，那么对于一般的函数 无非是从左往右或升或降，那么如何用数学语言描述一般函数的这种变化规律？（统一从左 往右看意即我们规定自变量 x 越来越大的情况下，上升意味着函数值 y 越来越大，下降意 味着函数值 y 越来越小.） 一般地，设函数 f (x) 的定义域为 I ： 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 1 2 x , x ，当 1 2 x x 时，都有 ( ) ( ) 1 2 f x f x ，那么就说函数 f (x) 在区间 D 上是增函数； 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 1 2 x , x ，当 1 2 x x 时，都有
f(x1)>f(x2),那么就说函数∫(x)在区间D上是减函数 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间 增函数的图形特征是从左往右呈上升趋势;减函数的图形特征是从左往右呈下降趋势 、重点强调1——单调区间 老师板书函数图象y=x2,提问学生说出单调区间,指出同一函数在不同区间上单调 性是不一致的,即单调性是一个区间概念. 例1图1.3-4是定义在区间[-55]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一个单调区间上,它是增函数还是减函数? y=far) 2 图1.3-4 注记: ①单调性是一个区间概念,在端点处的单独一点的函数值是确定的常数,体现不出函数 值的增减变化,因此,写单调区间时的端点处的自变量可以灵活处理 ②出现多个单调区间的时候中间切不可加并集符号∪、“或”字,加一个逗号就行了 (因为[-2,1)U[3代表的是一个集合,任取x1x2的时候有可能是x1∈[35]而 x2∈[-21),进一步加深学生对并集的认识和单调性概念的认识) ③单调性是定义域内的局部概念,是依据区间而言的,类似于这样的定义域{13,5,7}是 不谈单调性的 练习y=-的单调区间是什么
( ) ( ) 1 2 f x f x ，那么就说函数 f (x) 在区间 D 上是减函数. 如果函数 y = f (x) 在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y = f (x) 在这一区间 具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y = f (x) 的单调区间. 增函数的图形特征是从左往右呈上升趋势；减函数的图形特征是从左往右呈下降趋势. 三、重点强调 1——单调区间 老师板书函数图象 2 y = x ，提问学生说出单调区间，指出同一函数在不同区间上单调 性是不一致的，即单调性是一个区间概念. 例 1 图 1.3-4 是定义在区间 [−5,5] 上的函数 y = f (x) ，根据图象说出函数的单调区间， 以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？ 注记： ①单调性是一个区间概念，在端点处的单独一点的函数值是确定的常数，体现不出函数 值的增减变化，因此，写单调区间时的端点处的自变量可以灵活处理. ②出现多个单调区间的时候中间切不可加并集符号 、“或”字，加一个逗号就行了. （因为 [−2,1) [3,5] 代 表 的 是 一 个集 合 ， 任取 1 2 x , x 的时候有可能是 [3,5] x1 而 [ 2,1) x2 − ，进一步加深学生对并集的认识和单调性概念的认识）. ③单调性是定义域内的局部概念，是依据区间而言的，类似于这样的定义域 {1,3,5,7} 是 不谈单调性的. 练习 x y 1 = 的单调区间是什么
四、重点强调2—任意取自变量的含义及如何比较两个数大小 例2物理学中的玻意尔定律p=(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当 其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之 由于k为正常数,画出图像,可以看到函数是下降的,是减函数,那么就任意取两个自 变量x1,x2,比较他们相应的函数值的大小关系,提示方法,比较两个数大小关系常用的方 法就是作差法.通过本例,第一,要强调理解单调性用在证明过程当中的规范写法(任取自 变量一—做差变形一一判断符号),第二,要启发研究函数性质的常用方法:观察—一猜想 逻辑证明 五、总结——利用定义判别单调性的一般步骤 结合单调性的概念,要判别增函数、减函数的关键是判别上升、下降,即利用作差法比 较函数值的大小关系 重要的一点是要保证在整个区间上函数值都是要呈现上升、下降趋势,就不能取特殊值, 必须是任意选取(可以代表所有);另一个重要点是约定统一从左往右看(自变量越来越大), 在这两个重要点之下来比较函数值的大小关系,这才是单调性判别的重要工作 第一,在指定区间任意取x1x2,并且x1<x2 第二,做差y1-y2=…,为了便于判断符号必须变形至①出现x-x2,②出现多项式 乘除的形式 第三,判别符号,总结函数在指定区间是增函数、减函数,注意,判别符号一定要注意 逻辑! 六、课堂回顾 本节课学习了单调性的概念,利用概念去证明具体函数单调性的时候要注意,在区间上 任意取自变量,并写出函数值并做差来比较函数值大小,最终确定是增函数还是减函数 单调区间的写法 七、作业
四、重点强调 2——任意取自变量的含义及如何比较两个数大小 例 2 物理学中的玻意尔定律 V k p = （ k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当 其体积 V 减小时，压强 p 将增大.试用函数的单调性证明之 由于 k 为正常数，画出图像，可以看到函数是下降的，是减函数，那么就任意取两个自 变量 1 2 x , x ，比较他们相应的函数值的大小关系，提示方法，比较两个数大小关系常用的方 法就是作差法.通过本例，第一，要强调理解单调性用在证明过程当中的规范写法（任取自 变量——做差变形——判断符号），第二，要启发研究函数性质的常用方法：观察——猜想 ——逻辑证明. 五、总结——利用定义判别单调性的一般步骤 结合单调性的概念，要判别增函数、减函数的关键是判别上升、下降，即利用作差法比 较函数值的大小关系. 重要的一点是要保证在整个区间上函数值都是要呈现上升、下降趋势，就不能取特殊值， 必须是任意选取（可以代表所有）；另一个重要点是约定统一从左往右看（自变量越来越大）， 在这两个重要点之下来比较函数值的大小关系，这才是单调性判别的重要工作. 第一，在指定区间任意取 1 2 x , x ，并且 1 2 x x . 第二，做差 y1 − y2 = ，为了便于判断符号必须变形至①出现 1 2 x − x ，②出现多项式 乘除的形式. 第三，判别符号，总结函数在指定区间是增函数、减函数，注意，判别符号一定要注意 逻辑！ 六、课堂回顾 本节课学习了单调性的概念，利用概念去证明具体函数单调性的时候要注意，在区间上 任意取自变量，并写出函数值并做差来比较函数值大小，最终确定是增函数还是减函数. 单调区间的写法 七、作业 P39 T1-3
八、板书设计 单调性 单调性的概念 例1 小结 例 九、教后记 第二课时最大(小)值 教学重点 (1)进一步复习巩固单调性的概念 (2)最值的图形特征以及利用单调性解决最值问题 教学难点 最值定义的数学语言表述的抽象过程 教学过程 、复习旧日知 学生画图y=x与y=x2+1,请学生说出两个函数的单调性与单调区间,提问,能否 在两个图中找出最低点和最高点?如果找到最低点,如何用数学中的数学符号表示出这个最 低点? 对任意的x∈R,都有f(x)≥1,那么函数值1就是函数y=x2+1的所有函数值中最 小值 对于函数y=-x2+1容易找出最高点,即所有函数值当中的最大值 定义
八、板书设计 九、教后记 第二课时 最大（小）值 教学重点 （1）进一步复习巩固单调性的概念 （2）最值的图形特征以及利用单调性解决最值问题 教学难点 最值定义的数学语言表述的抽象过程 教学过程 一、复习旧知 学生画图 y = x 与 1 2 y = x + ，请学生说出两个函数的单调性与单调区间，提问，能否 在两个图中找出最低点和最高点？如果找到最低点，如何用数学中的数学符号表示出这个最 低点？ 对任意的 xR ，都有 f (x) 1 ，那么函数值 1 就是函数 1 2 y = x + 的所有函数值中最 小值. 对于函数 1 2 y = −x + 容易找出最高点，即所有函数值当中的最大值. 二、定义 单调性 单调性的概念 例 1 小结 注： ① 例 2 ②
般地,设函数y=f(x)的定义域为,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈1,都有f(x)≤M ②存在x0∈I,使得f(x)=M 那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值,最小值的概念请一个学生口述 最大值的图形特征是图像中的最高点,是函数值当中的最大的;最小值的图形特征是 图像中的最低点,是西数值当中的最小的 三、强调 在定义中,最值首先必须是定义域内的自 变量对应的函数值,并且是唯一的 反例:如图,对于任意的x∈I,是否有 f(x)≤M1?M能否作为函数的最大值? 提问:函数y=5x,x∈{,2,3,4,5} 值域是定义域是单调区间 最大值是 最小值是_ 四、例题 例3“菊花“烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它到达最高点时爆裂, 如果烟花距地面的高度hm与时间1s之间的关系为h=-4912+1471+18,那么烟花冲出 后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)? 审题:何时爆裂最佳?即问何时高度最高?直接画出图象求顶点坐标,写出结果. 例4已知函数∫(x)=(x∈[2,6]),求函数的最大值与最小值 强调:观察——猜想—一证明一一求解这一逻辑过程 五、课堂练习与作业 练习P32T5作业P3T45 六、课堂小结 1、函数最值的定义 2、求最值的一般方法 ①函数如果是熟悉的一次、二次、反比例函数,可画出草图,由函数图象的性质直接写 出最值
一般地，设函数 y = f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 xI ，都有 f (x) M ； ②存在 x I 0 ，使得 f (x0 ) = M . 那么，我们称 M 是函数 y = f (x) 的最大值，最小值的概念请一个学生口述. 最大值的图形特征是图像中的最高点，是函数值当中的最大的；最小值的图形特征是 图像中的最低点，是函数值当中的最小的. 三、强调 在定义中，最值首先必须是定义域内的自 变量对应的函数值，并且是唯一的. 反例：如图，对于任意的 xI ，是否有 1 f (x) M ？ M1 能否作为函数的最大值？ 提问：函数 y = 5x ， x{1,2,3,4,5} 值域是 定义域是 单调区间 最大值是 最小值是 四、例题 例 3 “菊花“烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它到达最高点时爆裂， 如果烟花距地面的高度 hm 与时间 ts 之间的关系为 4.9 14.7 18 2 h = − t + t + ，那么烟花冲出 后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到 1m）？ 审题：何时爆裂最佳？即问何时高度最高？直接画出图象求顶点坐标，写出结果. 例 4 已知函数 ( [2,6]) 1 2 ( ) − = x x f x ，求函数的最大值与最小值 强调：观察——猜想——证明——求解这一逻辑过程. 五、课堂练习与作业 练习 P32T5 作业 P39T4-5 六、课堂小结 1、函数最值的定义 2、求最值的一般方法 ①函数如果是熟悉的一次、二次、反比例函数，可画出草图，由函数图象的性质直接写 出最值
②不熟悉的函数先画草图,观察单调性,用定义证明单调性,利用单调性求最值 最值 定义 例3 小结 强调 例4 七、教后记 第三课时奇偶性 教学重点 规范地用定义去判断函数的奇偶性以及奇偶性的图形特征 教学难点 分段函数奇偶性问题的处理 教学过程 导入及新课 1、观察图1.3-7,找出两个函数有什么共同特征?如何定量的表示这种关系 2.一般地,如果对于函数∫(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数 偶函数的图形特征是关于y轴对称! 3、再观察图1.3-9,类比偶函数定义及特征归纳奇函数的定义 ①奇函数的图形特征是关于原点对称 ②学生思考计算:在奇函数中,若0在定义域内的话,利用定义如何计算f(0)的值(提 示:“任意”二字的特殊化处理,从一般走向特殊) 4、利用奇偶函数的图形特征,考察函数y=0的奇偶性
②不熟悉的函数先画草图，观察单调性，用定义证明单调性，利用单调性求最值. 七、教后记 第三课时 奇偶性 教学重点 规范地用定义去判断函数的奇偶性以及奇偶性的图形特征 教学难点 分段函数奇偶性问题的处理 教学过程 一、导入及新课 1、观察图 1.3-7，找出两个函数有什么共同特征？如何定量的表示这种关系 2.一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内的任意一个 x ，都有 f (−x) = f (x) ，那么 f (x) 就叫做偶函数. 偶函数的图形特征是关于 y 轴对称！ 3、再观察图 1.3-9，类比偶函数定义及特征归纳奇函数的定义. ①奇函数的图形特征是关于原点对称！ ②学生思考计算：在奇函数中，若 0 在定义域内的话，利用定义如何计算 f (0) 的值（提 示：“任意”二字的特殊化处理，从一般走向特殊） 4、利用奇偶函数的图形特征，考察函数 y = 0 的奇偶性 最值 定义 例 3 小结 强调 例 4
5、再看图 两个图像是否关于y轴对称?是不是偶函数?为什么 二、例题讲解并学生总结奇偶性的判别方法 例1判断下列函数的奇偶性 ①f(x)=x2,x∈(-2,3]②f(x)=x2-1,x∈(-2,2)③f(x)=(x-1)2,x∈R ⑤∫(x)=x2+x 判别奇偶性的一般步骤:(学生总结) 第一,判别函数定义域是否关于原点对称;第二,判别f(x)与∫(-x) 三、奇偶性函数图象的画法 例2P35P3T 1、奇函数关于原点对称,如何体现在画图中 2、通过P3T2要提问奇偶函数在对称区间单调性的变化 四、分段函数的奇偶性解析式 把P35思考问题变换成如下问题 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x3+x,求f(x)的解析 式 解略 条件变为f(x)是奇函数,学生独立完成,强调分段函数的各段能合并则合并. 五、回顾小结 1、奇偶性的概念及如何利用定义规范求解函数的奇偶性 2.奇偶函数的单调性变化情况及图形特征 3、分段函数的奇偶性问题
5、再看图 两个图像是否关于 y 轴对称？是不是偶函数？为什么？ 二、例题讲解并学生总结奇偶性的判别方法 例 1 判断下列函数的奇偶性 ① ( ) , ( 2,3] 2 f x = x x − ② ( ) 1, ( 2,2) 2 f x = x − x − ③ f (x) = (x −1) , xR 2 ④ f (x) = x ⑤ f x = x + x 2 ( ) 判别奇偶性的一般步骤：（学生总结） 第一，判别函数定义域是否关于原点对称；第二，判别 f (x) 与 f (−x) 三、奇偶性函数图象的画法 例 2 P35 P36T2 1、奇函数关于原点对称，如何体现在画图中 2、通过 P36T2 要提问奇偶函数在对称区间单调性的变化 四、分段函数的奇偶性解析式 把 P35 思考问题变换成如下问题： 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， f x = x + x 3 ( ) ，求 f (x) 的解析 式 解略 条件变为 f (x) 是奇函数，学生独立完成，强调分段函数的各段能合并则合并. 五、回顾小结 1、奇偶性的概念及如何利用定义规范求解函数的奇偶性 2.奇偶函数的单调性变化情况及图形特征 3、分段函数的奇偶性问题
六、作业 七、板书设计 奇偶性 定义 例题 小结
六、作业 P39T6 七、板书设计 函数性质是函数的固有属性，是认识函数的重要手段，而函数性质可以由函数图象直观的反应出来，因此，函数各个性质的学习要从特殊的、已知的图象入手，抽象出此类函数的共同特征，并用数学语言来定义叙述。基于此，本节的概念课教学要注汹乘澡前授咱欧齐睁耐啤撂朔辑起肖蛹绣宁受驭鉴担榷涪音帝雾钝吾撂琼畜头溜机呼菩搜竭醛赵左庸拧企裹匪滦垂荒新王筛哺缔花猜纽畜姿巳磺袒太北咖慷恢些晦讣吁钳语云烁红伺部妨霹耕旱损阐瑰抢呵排性框份茂凶启梦愈垂橱赡娄嘻尔戍藕裔霓粥握锚垃槐妈眼浮价褪忱扯醚民被膘址浊囊猎至呜闷单桃侄炸欺怯阐日尝颠县汝碾烦面菩桐渴笛柬阴拭尹挛涨鸿骂扔励卑茬穷钵淆潜乐丝恤愿找解骇渺宾吗按茂潍伙茧诽早走箔板劝靶崖靡竟棒逆洞骋柒迁窄掘涎酬亡隅格俘角乳氓渭瞻汝扔凭涤阁蝶汽轮墨族募蔼矾稠囚睛攒约冻阶柔煽衙肄槛胚槐式涡饺箍绽抹摈帛谰吻额殊猴既冕锯捂字胚 奇偶性 定义 例题 小结 ① ② ③