高中数学必修1函数的基本性质 奇偶性 )定义:如果对于函数∫(x)定义域内的任意x都有f-x)=-fx),则称几x)为奇函数:如果对于函数fx) 定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数 如果函数x)不具有上述性质,则x)不具有奇偶性如果函数同时具有上述两条性质,则fx)既是奇函数, 又是偶函数 注意 ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则一x也 一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称 确定∫-x)与八(x)的关系; ⑥作出相应结论 若f(-x)=fx)或∫-x)-f(x)=0,则fx)是偶函数 若f-x)=-f(x)或-x)+f(x)=0,则fx)是奇函数。 (3)简单性质 ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条 件是它的图象关于y轴对称; ②设f(x),g(x)的定义域分别是D,D2,那么在它们的公共定义域上 奇+奇=奇,奇ⅹ奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为1,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量 x1,x2,当x1(x),那么就说fx)在区间D上是增函数(减函数); 注意 ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质 必须是对于区间D内的任意两个自变量x,x2;当x1<x2时,总有f(x1)≤x2) (2)如果函数y=(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=x)在这一区间具有(严格的) 单调性,区间D叫做y=x)的单调区间。 (3)设复合函数y=g(x),其中v=g(x),A是y=g(x)定义域的某个区间,B是映射g:x→l=gx)的象集 ①若=g(x)在A上是增(或减)函数,y=fu)在B上也是增(或减)函数,则函数y=gx)在A上是增 函数 ②若v=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f)在B上是减(或增)函数,则函数y=/g(x)在A上是减 函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: ①任取x,x2∈D,且x<n: Q作差fx)-(x2) 变形(通常是因式分解和配方) ④定号(即判断差fx)-fx2)的正负); ③下结论(即指出函数fx)在给定的区间D上的单调性)。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同 ②偶函数在其对称区间上的单调性相反 ③在公共定义域内 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 高中数学必修 1 函数的基本性质 1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数;如果对于函数 f(x) 定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则 f(x)既是奇函数, 又是偶函数。 注意: ○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也 一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ○1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○3 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数。 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条 件是它的图象关于 y 轴对称; ②设 f x( ) , g x( ) 的定义域分别是 1 2 D D, ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 奇=偶,偶+偶=偶,偶 偶=偶 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1f(x2)),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(减函数); 注意: ○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3)设复合函数 y= f[g(x)],其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间,B 是映射 g : x→u=g(x) 的象集: ①若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是增 函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,而 y= f(u)在 B 上是减(或增)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是减 函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ○1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○2 作差 f(x1)-f(x2); ○3 变形(通常是因式分解和配方); ○4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ○5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性)。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:
增函数f(x)+增函数g(x)是增函数:减函数f(x)+减函数g(x)是减函数;增函数f(x)-减函数g(x)是增 函数;减函数f(x)-增函数g(x)是减函数 3.最值 (1)定义 最大值:一般地,设函数y=(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈l,都有fx)≤M ②存在x0∈,使得∫xo)=M。那么,称M是函数y=fx)的最大值。 最小值:一般地,设函数y=(x)的定义域为L,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈l,都有x)≥M ②存在x0∈,使得∫xo)=M。那么,称M是函数y=fx)的最大值。 注意: ①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x∈l,使得fx)=M 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(x)≥M)。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 ①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; 利用图象求函数的最大(小)值 ④利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=x)在区间[a,b上单调递增,在区间[b,c上单调递减则函数y=fx)在x=b处有最大值fb); 如果函数y=x)在区间[a,b上单调递减,在区间[b,c上单调递增则函数y=fx)在x=b处有最小值fb) 周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+)=fx),则称fx)为周 期函数 (2)性质:①(x+)=八(x)常常写作∫(x+)=f(x-),若f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f(x) 的最小正周期:②若周期函数fx)的周期为T,则fox)(≠0)是周期函数,且周期为 四.典例解析 【奇偶性典型例题】 例1.以下五个函数:(1)y=-(x≠0);(2)y=x2+1:(3)y=2;(4)y=log2x (5)y=kog2(x+√x2+1),其中奇函数是 女是 偶函数 ,非奇非偶函数是 点评:判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解 析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变)。 题型二:奇偶性的应用 例2.设∫(x)是定义在R上的奇函数,若当x≥0时,f(x)=logs(1+x),则f(-2) 例3.已知∫(x)奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=1g,,那么当x∈(-1,0)时,f(x)的表达式是 1+x 例4.若奇函数f(x)是定义在(-1,1)上的增函数,试求a的范围 f(a-2)+f(a2-4)<0 解:由已知得f(a-2)<-f(a2-4 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 增函数 f (x) + 增函数 g(x) 是增函数;减函数 f (x) + 减函数 g(x) 是减函数;增函数 f (x) − 减函数 g(x) 是增 函数;减函数 f (x) − 增函数 g(x) 是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 注意: ○1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ○2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M)。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: ○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; ○2 利用图象求函数的最大(小)值; ○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 4.周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)= f(x),则称 f(x)为周 期函数; (2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作 ), 2 ) ( 2 ( T f x T f x + = − 若 f(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为 f(x) 的最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ωx)(ω≠0)是周期函数,且周期为 | | T 。 四.典例解析 【奇偶性典型例题】 例 1.以下五个函数:(1) ( 0) 1 = x x y ;(2) 1 4 y = x + ;(3) x y = 2 ;(4) y x 2 = log ; (5) log ( 1) 2 y = 2 x + x + ,其中奇函数是____ __,偶函数是__ ____,非奇非偶函数是 _________ 点评:判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解 析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变)。 题型二:奇偶性的应用 例 2.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x),则 f(-2)=____ _。 例 3.已知 f x( ) 奇函数,当 x ∈(0,1)时, 1 ( ) lg 1 f x x = + ,那么当 x ∈(-1,0)时, f x( ) 的表达式是 . 例 4.若奇函数 f x( ) 是定义在( −1,1)上的增函数,试求 a 的范围: 2 f a f a ( 2) ( 4) 0 − + − . 解:由已知得 2 f a f a ( 2) ( 4) − − −
因fx)是奇函数,故-f(a2-4)=f(4-a2),于是f(a-2) (2)函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞)是单调函数的充要条件是() A.b≥0B.b≤0C.b>0 bf(a)+f(b) 提示:a+b≤0可转化为a≤-b和b≤-a在利用函数单调性可得 (4)如右图是定义在闭区间上的函数y=f(x)的图象,该函数的单调增区 间为 例2.画出下列函数图象并写出函数的单调区间 (1)y=-x2+2|x|+1 (2)y→ 例3.根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(0+)上是减函数 例4设∫(x)是定义在R上的函数,对m、n∈R恒有∫(m+n)=f(m)·f(m),且当x>0时,00 (3)求证:f(x)在R上是减函数:(4)若f(x)·f(2-x)>1,求x的范围 解:(1)取m=0,n=则f(+0)=f()f(0),因为f()>0所以f(0)=1 (2)设x0由条件可知f(-x)>0 又因为1=f(0)=f(x-x)=f(x)/f(-x)>0,所以f(x)>0∴x∈R时,恒有f(x)>0 (3)设x0所以f(x2-x)0 又因为f(x1)>0,所以f(x)川-f(x2-x)>0所以∫(x1)-f(x2)>0,即该函数在R上是减函数 (4)因为f(x)f(2-x)>1,所以f(x)·f(2-x)=f(2x-x2)>f(0) 所以2x-x22或x<0 例5:(复合函数单调性)函数y=√-x2-2x+3的增区间是( A.[-3,-1B.[-1,1]C.(-∞,-3)D.[-1,+∞) 2函数y 的单调递增区间为( 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 因 f(x)是奇函数,故 2 2 − − = − f a f a ( 4) (4 ) ,于是 2 f a f a ( 2) (4 ) − − . 又 f x( ) 是定义在( − 1,1)上的增函数,从而 2 2 2 4 3 2 1 2 1 1 3 3 2 1 4 1 5 3 3 5 a a a a a a a a a − − − − − − − − 或 即不等式的解集是 ( 3, 2) 【单调性典型例题】 例 1.(1) 设函数f x a x b R ( ) (2 1) , = − + 是 上的减函数 则 a 的范围为( ) A. 1 2 a B. 1 2 a C. 1 2 a − D. 1 2 a (2)函数 2 y x bx c x = + + + ( [0, ) )是单调函数的充要条件是( ) A.b 0 B.b 0 C.b 0 D.b 0 (3)已知 f x( ) 在区间 ( , ) − + 上是减函数, a b R , 且 a b + 0 ,则下列表达正确的是( ) A. f a f b f a f b ( ) ( ) [ ( ) ( )] + − + B. f a f b f a f b ( ) ( ) ( ) ( ) + − + − C. f a f b f a f b ( ) ( ) [ ( ) ( )] + − + D. f a f b f a f b ( ) ( ) ( ) ( ) + − + − 提示: a b + 0 可转化为 a b − 和 b a − 在利用函数单调性可得. (4) 如右图是定义在闭区间上的函数 y f x = ( ) 的图象,该函数的单调增区 间为 例 2.画出下列函数图象并写出函数的单调区间 (1) 2 y x x = − + + 2 | | 1 (2) 2 y x x = − + + | 2 3| 例 3.根据函数单调性的定义,证明函数 在 上是减函数. 例 4.设 f (x) 是定义在 R 上的函数,对 m 、nR 恒有 f (m + n) = f (m) f (n) ,且当 x 0 时, 0 f (x) 1。 (1)求证: f (0) = 1 ; (2)证明: xR 时恒有 f (x) 0 ; (3)求证: f (x) 在 R 上是减函数; (4)若 f x f x ( ) (2 ) 1 − ,求 x 的范围。 解:(1)取 m=0,n= 1 2 则 1 1 ( 0) ( ) (0) 2 2 f f f + = ,因为 1 ( ) 0 2 f 所以 f (0) 1 = (2)设 x 0 则 − x 0 由条件可知 f x o ( ) − 又因为 1 (0) ( ) ( ) ( ) 0 = = − = − f f x x f x f x ,所以 f x( ) 0 ∴ xR 时,恒有 f (x) 0 (3)设 1 2 x x 则 1 2 1 2 1 1 f x f x f x f x x x ( ) ( ) ( ) ( ) − = − − + = 1 2 1 1 f x f x x f x ( ) ( ) ( ) − − = 1 2 1 f x f x x ( )[1 ( )] − − 因为 1 2 x x 所以 2 1 x x − 0 所以 2 1 f x x ( ) 1 − 即 2 1 1 ( ) 0 − − f x x 又因为 1 f x( ) 0 ,所以 1 2 1 f x f x x ( )[1 ( )] 0 − − 所以 1 2 f x f x ( ) ( ) 0 − ,即该函数在 R 上是减函数. (4) 因为 f x f x ( ) (2 ) 1 − ,所以 2 f x f x f x x f ( ) (2 ) (2 ) (0) − = − 所以 2 2 0 x x − ,所以 x x x 的范围为 2 0 或 例 5:(复合函数单调性)1.函数 2 y x x = − − + 2 3 的增区间是( ). A. [ − 3, − 1] B. [ − 1,1] C. ( , 3) − − D. [ 1, ) − + 2.函数 y= 2 80 1 2 x − x − 的单调递增区间为( )
A.(-∞ (-8,+∞) 题型五:周期问题 例6.已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又 知y=f(x)在[O,1]上是一次函数,在[4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值-5 ①证明:f(1)+f(4)=0 ②求y=f(x),x∈[,4]的解析式 ③求y=f(x)在[4,9]上的解析式 解:∵f(x)是以5为周期的周期函数,∴f(4)=f(4-5)=f(-1) 又∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-f(4),∴f(1)+f(4)=0 ②当x∈[,4]时,由题意可设f(x)=a(x-2)2-5(a>0 由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+(4-2)2-5=0,∴a=2,∴f(x)=2(x-2)-5(1≤x≤4)。 ③∴y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(O)=0 又知y=f(x)在[O,1上是一次函数, ∴可设f(x)=kx(0≤x≤1),而f(1)=2(1-2)2-5=-3, ∴当0≤x≤1时,f(x)=-3x, 从而当-1≤x<0时,f(x)=-f(-x)=-3x,故-1≤x≤1时,f(x)=-3x。 ∴当4≤x≤6时,有-1≤x-5≤1 ∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15。 当6<x≤9时,1<x-5≤4 f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5 3x+15,4≤x≤6 12(x-7y2-5.6<x≤9 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 A. ( , 8) − − B. ( ,1) − C. (1, ) + D.( 8, ) − + 题型五:周期问题 例 6.已知函数 y f x = ( ) 是定义在 R 上的周期函数,周期 T = 5 ,函数 y f x x = − ( )( 1 1) 是奇函数新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 http://www.xjktyg.com/wxc/ wxck t@126.com wxck t@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/ 王新敞 特级教师 源头学子小屋 新疆 又 知 y f x = ( ) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1,4] 上是二次函数,且在 x = 2 时函数取得最小值−5。 ①证明: f f (1) (4) 0 + = ; ②求 y f x x = ( ), [1,4] 的解析式; ③求 y f x = ( ) 在 [4,9] 上的解析式。 解:∵ f x( ) 是以 5 为周期的周期函数,∴ f f f (4) (4 5) ( 1) = − = − , 又∵ y f x x = − ( )( 1 1) 是奇函数,∴ f f f (1) ( 1) (4) = − − = − ,∴ f f (1) (4) 0 + = 。 ②当 x[1,4] 时,由题意可设 2 f x a x a ( ) ( 2) 5 ( 0) = − − , 由 f f (1) (4) 0 + = 得 2 2 a a (1 2) 5 (4 2) 5 0 − − + − − = ,∴ a = 2,∴ 2 f x x x ( ) 2( 2) 5(1 4) = − − 。 ③∵ y f x x = − ( )( 1 1) 是奇函数,∴ f (0) 0 = , 又知 y f x = ( ) 在 [0,1] 上是一次函数, ∴可设 f x kx x ( ) (0 1) = ,而 2 f (1) 2(1 2) 5 3 = − − = − , ∴ k =−3,∴当 0 1 x 时, f x x ( ) 3 = − , 从而当 − 1 0 x 时, f x f x x ( ) ( ) 3 = − − = − ,故 − 1 1 x 时, f x x ( ) 3 = − 。 ∴当 4 6 x 时,有 − − 1 5 1 x , ∴ f x f x x x ( ) ( 5) 3( 5) 3 15 = − = − − = − + 。 当 6 9 x 时, 1 5 4 − x , ∴ 2 2 f x f x x x ( ) ( 5) 2[( 5) 2] 5 2( 7) 5 = − = − − − = − − ∴ 2 3 15, 4 6 ( ) 2( 7) 5, 6 9 x x f x x x − + = − −